P二次曲线的类型和形状的判别

a b 2a b b a b a b 2a12b1b2 a b (1)
' '2 11 1 ' ' ' 12 1 2 ' '2 22 2 2 11 1 2 22 2
b b b b 2
'2 1 '2 2 2 1 2 2
' a12 0 又因为
公式推导
' ' (2)两边分别乘以a11 a22和a11 a22再减(1)得
*
中心型曲线的方程可以用 I1 , I 2 , I 3 完全确定。
I3 1 x 2 y 0 I2 2 I1 I 2 0 的两个特征 1 , 2是特征方程
*2
根
中心型曲线标准方程 x*2 y*2 I 3 0 1 2
I2
(I)椭圆型：
I2 0
b1' b1cos b2sin
' b2 b1sin b2 cos
要使得新方程中没有 ' 混乘项，即 a12 0
c c
'
a11 a22 cot 2 . 2a12
' ' a11 a22 a11 a22 , ' ' a11 a22 (a11 a22 ) cos 2 2a12 sin 2 .
中心型：I 2 0
I (III)抛物型： I 2 0 （非中心型：2 0）
x xy y 2 x 4 y 0.
2 2
是双曲型
标准方程里面的系数可以由下面的关系来确定
a a a a a11 a22 ,
* 11 * 22 ' 11 ' 22 * * ' ' 2 a11a22 a11a22 a11a22 a12 I 2 ,
I1 0 8 8,
双曲型曲线
0 3 I2 9 0 3 8
0 3 6 I3 3 8 13 81 0 6 13 11
特征方程是 8 9 0.
2
方程可以化简为
9 x*2 y*2 9 0.
例3 确定二次曲线 x 2 2 xy y 2 8 x 4 0 的类型的形状. 解：计算 I1,I 2 , I 3
记
I1 a11 a22
* * a11 , a22 就是下面方程的根 那么
I1 I 2 0
2
上面的方程称做二次方程的特征方程，它的根 记作1 , 2 ，叫做特征根。
接下来我们进一步确定曲线的形状，也就是说要确 定标准方程中的其它系数. 中心型曲线 标准方程：
a x a y c 0
( X , Y ) t 2 2 F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0 (4)
a y 2b x c 0
'' 22 ''2 '' 1 '' ''
c* 0, * * a11a22 0 双曲型 * (4) 双曲线： c 0, * c (5) 两条直线： 0,
抛物型曲线
问题：如何从二次曲线的方程，直接判断二次曲 线的类型？
F ( x, y ) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2b1 x 2b2 y c 0 (1).
* 22 ' 22 ' ' 1
b2 c
因为a a a11 a22 I1 , c c, b 0 b b b ,
'2 2 2 1 2 2
所以 a c b (a11 a22 )c (b b ).
' ' 22 '2 2 2 1 2 2 2 K1 (a11 a22 )c (b12 b2 ). 记 K1 * * * c= 于是 a22 c =K1 I1
'' ''2 11 '' 22 ''2 '' '' 1 '' '' * * a11 0, a11 x*2 a22 y*2 c* 0
(1)
(2) (3)点
* * a11 0, a22 0 '' '' * *2 * * (6) 抛物线 b 0 b '' 0 b1 0 a22 y 2b1 x 0 1 1 '' a11 0 (7) 一对平行的直线 a * c* 0 22 '' * *2 * '' b1 =0 a22 y c =0, (8) 无轨迹 b 0, a* c* 0 1 22 '' * (9) 一条直线 b 0, c 0 1
定义：
a11 I 2 a11a22 a a12
2 12
' ' 11 22
a12 ' ' a11a22 . a22
* * 11 22
所以二次曲线的类型可以用 I 2 来判别：
I2 a a a a a a .
'' '' 11 22
(I)椭圆型：
I2 0
(II)双曲型： I 2 0 例1：二次曲线的方程是
标准方程可以 写成
K1 y 2 =0, I1
*2
非中心型曲线
K1 I3 * *2 标准方程 I1 y 2 x 0， y 2 =0, I1 I1
*2
（III）抛物型： （6）抛物线 ：I 3 0. （7）一对平行的直线： 3 0, K1 0 I （8）无轨迹：
I 3 0,
I3 * I3 * *2 I1 y 2 x 0.即y 2 3 x I1 I1
*2
I3 焦参数为 p 3 I1
I 3 0，即b1' =0,曲线的标准方程
* 22 *2 *
a11 b1 a22 a y c =0, K1 b1 c b2 '2 ' ' '2 b2 a22c b2 * ' c c ' . ' a22 a22
2 2
与直线
x x0 Xt (2) y y0 Yt
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程
(a11 X 2a12 XY a22Y )t
2 2 2 2 11 0 2 22 0
2(a11 x0 a12 y0 b1 ) X (a12 x0 a22 y0 b2 )Y t (3)
* *2 11 * 22 *2 *
* ' * ' a11 a11 , a22 a22
b b c c . a a
* '
'2 1 ' 11
'2 2 ' 22
c* 求
因为
'2 ' ' ' '2 ' b1'2 b2 c 'a11a22 a11b2 a22b1'2 c* c ' ' ' ' ' a11 a22 a11a22
4：二次曲线类型和形状的判别
' ' ' a11 x '2 a22 y '2 2b1' x ' 2b2 y ' c ' （a22 0）* 0 ' . * 椭圆型 a11a22 0
* c* 0，a11c* 0; 椭圆 * * * 无轨迹 c 0，a11c 0
a x a y 2b x c 0.
（1）椭圆： I 3 0, I1 I3 0
I （2）无轨迹： 3 0, I1 I3 0
（3）点：
I 3 0.
(II)双曲型： I 2 0 （4）双曲线： I 3 0,
（5）一对相交的直线：I 3 0.
非中心型曲线 ' 非中心型曲线的特点是 a11 0, I 2 0. 它的标准方程分 b1' 0, b1' 0 两种情况
' a12 0 新方程中没有混乘项，即 cos 2 a11 a22 a11 a22 2a12 cot 2 2a12 cot 2 sin 2 2a12 2a12 cos 2 2 ' ' a11 a22 2a12 2a12 sin 2 . sin 2 sin 2 1 ' ' ' ' 2 ' ' 2 a11a22 [(a11 a22 ) (a11 a22 ) ] 4 1 2a12 2 2 [(a11 a22 ) ( ) ] 4 sin 2 1 2 [(a11 a22 )2 (2a12 csc2 ) 2 ] a11a22 a12 . 4
a b a b a11b2 2a12b1b2 a b
' '2 11 2 ' '2 22 1 2
2 22 1
' ' ' '2 ' c 'a11a22 a11b2 a22b1'2 2 (a11a22 a12 )c a22b12 a11b2 2 2a12b1b2 I3
I1 1 1 2,
1 1 I2 0 1 1
1 1 4 I 3 1 1 0 16 0 4 0 4
方程可以化简为
*2 *
抛物线
2 y 4 2 x 0. 焦参数为p 2
即，y*2 2 2 x*
二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线
F ( x, y) a11x 2a12 xy a22 y 2b1x 2b2 y c 0(1)
' ' ' '2 ' ' ' I 3 c 'a11a22 a11b2 a22b1'2 a22b1'2 （此时a11 =0） .
当I 3 0，即b1' 0时,曲线是抛物线，标准方程是 I3 *2 '2 * *2 * * b1 b1 a22 y 2b1 x 0 I1 所以标准方程可以用 I1 , I3表示成
K1 0.
（9）一条直线： I 3 0, K1 0.
型别
类别
判别标志
I 3 0, I 3 , I1反号 I 3 0, I 3 , I1同号 I3 0
标准方程
椭圆型 I2 0
双曲型 (4)双曲线 I 3 0 I 2 0 (5)相交直线 I 3 0
I3 1 x 2 y I2
* b1' 0 a22 y*2 2b1* x* 0 * a22 y*2 c* =0, b =0 ' 1
'2 b2 * ' * ' * ' a22 a22 , b1 b1 , c c ' . a22 * ' a22 a22 a11 a22 I1
如何求 b1* , c*
*2 *2
0
(6)抛物线
抛物型 I2 0
I3 0
I 3 0, K1 0 I 3 0, K1 0 I 3 0, K1 0
I3 * I1 y 2 x 0 I1
*2
K1 y 2 =0, I1
*2
例2 确定二次曲线 6 xy 8 y 2 12 x 26 y 11 0 的类型的形状. 解：计算 I1,I 2 , I 3
二次曲线的类型：
* * 中心型（椭圆型和双曲型） a11 x*2 a22 y*2 c* 0
非中心型
* * a22 y*2 2b1* x* 0, a22 y*2 c* =0. * 11 * 22 * 1 *
从方程（1）的系数计算 a , a , b , c .
y x sin y cos . ' ' ' ' F ' ( x ' , y ' )=a11 x '2 2a12 x ' y ' a22 y '2 2b1' x ' 2b2 y ' c ' 0.
' '
转轴
x =x ' cos y ' sin ,
代入上面的方程
系数的关系
a a11cos 2a12sin cos a22sin
' 11 2 2
a (a22 a11 )sin cos a12 (cos sin )
' 12 2 2 ' a22 a11sin 2 2a12sin cos a22 cos 2
2 I 3 (a11a22 a12 )c a22b12 a11b22 2a12b1b2
a11a22 c 2a12b1b2 a c a b a b
2 12 2 11 2
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2 22 1
a11 a12 b1
a12 a22 b2
*2
b1 b2 . c
I3 c I2