谱估计算法性能比较

是有限
值时, 是有偏估计, 偏差为
^
bia [ PPER
(X)
]
=
21PP
( X )W
(
X-
K)
dK-
P
(X)
( 2)
2 ) 估计 的方 差: var[ P^PER ( X ) ] =
2
Q 1
2PN
P ( K)D ( X - K)D ( X+ K) dK + E2P^ PER ( X)
( 3)
其中 D ( X )是窗函数 d( n ) = 1, |n | [ |N - 1的
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之 一, 对于确定性信号, 可以用傅里叶变换来考察其频 谱性质, 而对于广义平稳随机信号, 由于它一般既不 是周期的, 又不满足平方可积, 严格来说不能进行傅 氏变换, 通常是求其功率谱来进行频谱分析. 功率谱 反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况, 可以揭示信号中隐含的周期性及相邻谱峰等有用信 息 [ 1] , 应用极其广泛, 例如, 在语音信号识别、雷达杂 波分析、地震勘探信号处理、水声信号 处理、系统辨 识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力 学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域, 发挥了重要作用. 然而, 实际应用中的平稳随机信号 通常是有限长的, 只能根据有限长信号估计原信号
因为由这种方法求出的功率谱是通过自相关函
数间接得到的, 所以称为间接法, 又称为自相关法或
BT 法. 当 M 较小 时, 式 ( 4) 的计 算量不 是很大, 因
此, 该方法是在 FFT 问世之前常用的谱估计方法.
当 M = N - 1时, BT 法与周期图法估计的功率
谱是一样的; 当 M < N - 1时, BT 法的偏差大于周期
W e lch法在选择窗函数时, 一般有如下要求 [ 5] : ( 1) 窗口宽度 M 要远小于样本序列长度 N, 以 排除不可靠的自相关值; ( 2) 当平稳信号为实过程时, 为保证平滑周期图 和真实功率谱也是实偶函数, 平滑窗函数必须是实 偶对称的; ( 3) 平滑窗函数应当在 m = 0 处有峰值, 并随 m 绝对值增加而单调下降, 使可靠的自相关值有较大 的权值; ( 4) 功率谱是频率的非负函数, 由于周期图是非 负的, 因而要求窗函数的傅氏变换是非负的. 仍以上 述平稳随机信号为例, 采样频率、采样点数、FFT 点 数、窗长度及重叠 数据不变, 窗函数分别 采用矩形 窗、B lackm an窗、H amm ing窗, 仿真结果如图 2所示. 由图 2可以看出, 使用不同的窗函数谱估计的 质量是不一样的, 矩形窗的主瓣较窄, 分辨率较好, 但方差较大, 噪声水平较高; 而 B lackm an 窗和 H amm ing 窗的主瓣较宽, 分辨率较低, 但方差较小, 噪声 水平较低. 因此, 在进行谱分析时选择何种窗函数, 要视具体情况而定. 如果强调高分辨率, 能精确读出 主瓣频率, 而不关心幅度的精度, 例如测量震动物体 的自震频率, 可以选用主瓣宽度比较窄的矩形窗; 对 受到强干扰的窄带信号, 若干扰靠近信号, 则可选用 旁瓣幅度较小的窗函数, 若离开通带较远, 则可选用 渐近线衰减速度比较快的窗函数. 总之, 要针对不同
2
n= 0
( 6)
其中 U = 6 X ( n ), X ( n ) 是窗函数. 因为 W e lch n
法允许各段数据交叠, 所以数据段数 L 会增加, 使方
差得到更大的改善, 但是数据的交叠又减小了每一
段数据的不相关性, 使方差的减小不会达到理论程
度. 另外, 采用合适的窗函数可以减小信号的频谱泄
n= 0
( 5)
随着 L的增大, 平均周期图 PPER ( X) 的方差趋于
0, 因此它是功率谱的渐近一致估计, 虽然分段平均
周期法功率谱估计可以减小估计误差和波动, 但是
由于这种方法将长信号分段成短信号, 从而使功率
谱分辨率下降. 可见此方法方差的改善是以牺牲分
辨率为代价的.
4 W elch法
W elch[ 4] 法谱估计法是对 B artle tt法的改进, 旨
张佳明, 等: 非参数模型谱估计算法性能比 较
# 21#
为 20. 仿真结果如图 1所示.
图 1 非参数模型功率谱估计性能比较 F ig. 1 P erform ance of nonparam e tr ic model
power spectrum den sity estim ation
由图 1可以看出: 1) 周期图法和 BT 法的特点是离散性大, 曲线粗
仿真验证了理论 分析的正确性. 对于使用较广泛的 W elch法进 行了深入 的研究, 给出了窗 函数选择的 一般要 求, 通 过
仿真分析了不同 的窗函数对 W e lch法谱估计质量的影响, 比较了它们的优缺点 .
关键词: 非参数模型谱估计; W elch法; 窗函数
中图分类号: TN958. 3
张佳明1, 马秀荣 1, 秦宝连2, 王洁冉 1, 刘远来 1
( 1. 天津理工大学 计算机与 通信工程学院, 天津 300191; 2. 总参某部代表室, 天津 300211)
摘 要: 介绍了各种非参数模型功率谱估计算法, 对各种算法的谱估计质量从理论 上进行了分 析比较, 并通过 M atlab
露, 同时也可以增加谱峰的宽度, 从而提高分辨率.
5 M atlab仿真
在各种谱估计方法中, 采样频率 1 000 H z, 采样 点数 1 000, FFT 点数 1 024, Bartlett法中矩形窗长度 为 100, W elch法中 H ann ing 窗长度为 100, 重叠数据
2009年 8月
文献标识码: A
Nonparametric model pow er spectrum density estim ation and comparis on
ZHANG Jia-m ing1, M A X iu-rong1, Q IN Bao- lian2, W ANG Jie-ran1, L IU Yuan- la i1
傅氏变换,
可见
P^ PER
(
X)不是
P
(
X )的一致估计;
随
着 N 的增大, 谱估计起伏增大.
3)估计的分辨率: 数据窗为长度 N 的矩形窗
时, Re{P ( X ) } = 0. 89 2NP, N 增大时, 分辨率提高, 但会使功率谱的起伏加剧, 可见方差与分辨率是一 对矛盾.
2 间接法
此方法的理论基础是维纳 - 辛钦定理, 1958年 B lackm an和 Tukey给出了这一方法的具体实现 [ 2- 3] ,
即先由 xN ( n ) 估计 出自相 关函 数 ^r ( m ), 然后 对 ^r
(m
)求傅里叶变换得到
xN
( n )的功率谱,
记之为
^
PBT
( X), 并以此作为对 P ( X )的估计, 即
M
6 P^BT ( X ) =
^r (m ) e- jXm, | M | [ N - 1 ( 4)
m = -M
图法, 在窗函数满足一定条件下是渐进无偏估计; 方
差小于周期图的方差; 分辨率比周期图法低, 与窗函
数选择有关.
BT 法的缺点在于当 M v N 时, ^r (m ) 的方差很 大, 使谱估计质量下降; 由 ^r (m )得到的 P^BT ( X)不一
定为正值, 从而可能失去功率谱的物理意义.
直接法估计出的谱
Abstrac t: V arious nonparam etr ic Pow er Spectrum D ensity ( PSD ) estim ation m ethods are introduced, estim ation qua lity o f each m ethod is ana ly zed and compared in bo th theo ry and sim ulation us ing the so ftwa re M atlab. T hen furthe r study is m ade in W e lch m e thod wh ich is used m ost w idely. G ene ra l se lecting cr iterion o fw indow func tion is presented and estim ation qua lity o f W e lch me thod using different w indows function is com pared. K ey word s: nonpa ram e tric PSD estim ation; W e lch m e thod; w indow function
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天津理工大学学报
第 25卷 第 4期
主要性能指标有: 1 ) 估计 的均 值:
E [ P^ PER ( X ) ] = 21PP ( X )W ( X),
其中 W ( X )是窗函数 X ( n )的傅氏变换. 当 N v
]
时,
E
[
P^ PER
( X) ] v P
( X), 是无偏估计; N
由上述理论分析及仿真实验可知, W e lch法采用 加窗交叠求功率谱, 可以有效减小方差和偏差, 一般 情况下能接近一致估计的要求, 因而得到广泛应用. 同时还可以发现, 对信号加不同的窗函数, 谱估计的 质量是不同的, 下面就通过进一步的仿真来分析研 究 W e lch法中使用不同的窗函数时谱估计的质量.
^
P P ER
(
X )性能不 好,
当数据
长度 N 太大时, 谱曲线起伏加剧, N 太小时, 谱的分
辨率不好, 因此需要加以改进. 此处所说的改进, 主
要是改进其方差特性. 间接法是对直接法的一种改
进, 又称之为周期图的平滑. 对其改进的另外一种方
法是所谓平均法, 下面介绍两种主要的改进方法.
3 Bartlett法
B artlett法是将一百度文库度为 N 的数据 xN ( n)分成互
不重叠的 L 段数据, 每段长度为 M, 先对每段数据用
周期图法进行谱估计, 然后对 L 段求平均得到长度
为 N 的数据的功率谱. 由上术原理可得功率谱为:
6 6 PPER ( X )
=
1L ML i= 1
M-1
xNi ( n ) e-jXn 2
( 1. School o f Com pute r and Comm un ication Eng ineering, T ian jin U n iversity o f T echno logy, T ianjin 300191, Ch ina; 2. A U n it of the G enera l Sta ff on beha lf o f Room, T ian jin 300211, Ch ina)
( ejw ), 然后再取其幅值的平方, 并除以 N, 作为对 x
( n )真实
P
(
X)的估计. 以
^
P P ER
(
X) [ 2] 表示周期图法
估计出的功率谱, 则
P^ PER
(X)
=
1 N
|XN
(
X)
|2
( 1)
收稿日期: 2008- 12-10. 基金项目: 天津市应用基础研究计划项目 ( 07 JCZD JC06000) . 第一作者: 张佳明 ( 1982) ) , 男, 硕士研究生. 通讯作者: 马秀荣 ( 1961) ) , 女, 教授, 博士生导师.
糙, 方差较大, 但是分辨率较高. 2) Bartlett法和 W e lch法的收敛性较好, 曲线平
滑, 方差较小, 但是功率 谱主瓣较 宽, 分 辨率低, 这 是由于对随 机序列 加窗截 断所 引起 的 G ibbs效应 造成的.
3) 与 Bartlett法相比, W e lch法的估计曲线比较 粗糙, 但是分 辨率较好, 原 因是 W elch 法中对 数据 进行截断时加的是 H ann ing 窗, 而在 Bartlett法中使 用的是矩形窗, 相对于矩形窗, H anning窗的主瓣包 含更多的能量, 因而 使功率谱 的主瓣较 窄, 分辨率 较高.
第 25卷 第 4期 2009年 8月
天津理工 大学学报 JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY O F TECHNOLOGY
文章编号: 1673-095X ( 2009 ) 04- 0019-04
非参数模型谱估计算法性能比较
V o .l 25 N o. 4 A ug. 2009
的真实功率谱, 这就是功率谱估计问题. 功率谱估计 分为非参数模型谱估计和参数模型谱估计, 本文主 要研究非参数模型谱估计. 非参数模型谱估计又称 经典谱估计, 主要方法有: 直接法, 间接法、Bartlett法 及 W e lch法.
1 直接法
直接法是直接 取 ( xN ( n )的傅 里叶变换, 得 XN
在保持 Bart lett法方差性能的同时, 改善其分辨率,
又称加权交叠 平均法, 其基 本原理是: 对 数据分段
时, 使每一段有部分重叠, 然后对每一段数据用一个
合适的窗函数进行平滑处理, 最后对各段谱平均. 由
上述原理可得功率谱为
6 6 L
^
PWEL ( X)
=
1 M UL i= 1
M -1
xNi ( n) e- jXn