矩阵对角化方法

矩阵对角化方法
摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化
The Methods of the Diagonalization of the Matrix
g
Abstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.
Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization
1、引言
对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。

本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。

2、讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵
1.2 基本原理
引理1：设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵，且
()n T E A −−−→−行初等变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*
--n r n m r n rm P D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵，则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ。

证明：对矩阵()
n T E A 左乘一个n n ⨯阶可逆矩阵C 得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m r n rm T
D CA )(0 )1( ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛*=-n r n n P CE )( )2(
将)2(代入)1(得，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*--m r n rm T n n r n D A E P )()(0 即有m r n T n r n A P )()(0--=两边同时取转置得0=T AP ，则P 的行向量是方程组0=AX 的解，证毕。

引理2：矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根。

证明：
=)(λA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---nn n n n n
a a a a a a a a a λλλ 212222111211 显然n A r =))((λ )1先看)(λA 的第一列，假设),,3,2(1n i a i =不全为零，任取其中一个，记为
)(1λd ，经过行初等变换，)(λA 可化为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛*)(0)(1λλG d 若),,3,2(,01n i a i ==,则)(λA 本身即具有这种形式
)2再看)(λG 的第一列，假设不全为零（若全为零，则n A r <))((λ）,选择λ的幂
最低的元素，记作)(1λf ,对)(λG 施行行变换，使该列全部元素的幂都少于)(1λf ,选择幂最小的元素，记作)(2λf ,如此施行一系列行变换，一直循环下去，)(λG 最终可
化为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛*)(0)(2λλH d 接着再对)(λH 施行上述变换，最后可将)(λA 化成
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛*=)(0)()()(21λλλλn d d d B 由此可知：)(λA 和)(λB 等价，可知结论成立，证毕。

引理3：对于数域P 上的n 阶方阵A ，若A 的特征多项式在P 内有n 个单根，则
由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ 211 定理1：若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根，则A 可通过如下方法对角化： 设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n T T T −−−→−-=行初等变换且
)()1λB 为上三角形矩阵，则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解；
)2对于方阵A 的每一个特征根i λ，总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应。

证明：由上述引理可知此定理结论成立。

2.2举例说明
例1：设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=210131012A ，问方阵A 是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化
后的方阵。

解：()
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=100210010131001012)(λλλλE A T
−−−−−−→−第一行与第二行互换⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------10021000101
2010131λλλ−−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)2(λ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+-+----10021002125500101312λλλλλλ
−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+------0212550100210
0101312λλλλλλ−−−−−−−−−−→−+-行上乘以第二行再加到第三)55(2
λλ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ=())()(λλQ B
由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0⇒11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根，故方阵A 可以化为对角形;
将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零，由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量，同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量。

于是可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111T 使得⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-4211AT T
3、讨论对于有特征重根的n 阶方阵
对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。

1.3基本定理
定理2：设T T A E A -=λλ)(,则()
())()()(λλλP D E A T −−−→−初等变换且)(λD 为对角形
矩阵，则有
)1对于A 的每个特征根i λ，)(i P λ中与)(i D λ的零行对应的行向量即为属于i λ的特征向量；
)2设s λλλ ,,21为A 的所有不同的特征根，重数分别为s r r r ,,21,则A 可以化成对角形⇔)(i D λ中的零行数目等于i λ的重数),,2,1(s i r i =。

证明：)1因为)(λA 和)(λT A 的秩为n ,总有可逆的λ－矩阵)(),(λλQ P 使得
)())(,),(),(()()()(21λλλλλλλD d d d diag Q A P n T == ，
其中)(λD 为对角形矩阵。

我们有
()())()()()()(λλλλλP D E Q A P T −−−→−初等变换 )3(
因为 )()()()(λλλλD Q A P T =
所以 )()())()()(λλλλλD D P A Q T T T ==
于是有))(,),(),(()()()(21i n i i i T i i T d d d diag P A Q λλλλλλ =，设)(i D λ中有i m 个零行，对应着i m 个对角元素0)()()(21====i im i i i i i d d d λλλ ，)1(n m i ≤≤,选取)(i P λT 中的列向量T T T i im i i P P P ,,21，则有0),,)()((21=-T T T T i im i i i i P P P A E Q λλ
因为)(i Q λT 可逆 ，所以0),,)((21=-T T T i im i i i P P P A E λ )4(
又因为)(i P λT 可逆 ，所以由)4(知T T T i im i i P P P ,,,21 是A 属于i λ的i m 个线性无关的特征向量,由)3(知，)(i D λ中i m n -个非零行是行满秩的, 故A 属于i λ的线性无关的特征向量即为)(i D λ中零行所对应的)(i P λ中的行向量。

A )2可对角化⇔i i r n A E r -=-)(λ,又由)1证明知：i m n D r A E r i i -==-))(()(λλ 故A 可对角化⇔i i m n r n -=-，即i i r m =,),,2,1(s i =，证毕。

由此我们不难得到对于有特征重根的方阵化为对角形方阵的简单步骤如下： )1作()
()())()()()()(λλλλλP D Q B E A T −−−→−−−−→−初等变换行初等变换 其中))(),(),(()(21λλλλn d d d diag D =,则A 的特征根恰为0)()()(21=λλλn d d d 的
根；
)2若A 的特征根全在P 内，且每个i λ有)(i D λ中零行数目等于i λ的重数，则A 可以化为对角形方阵，否则A 不可以化为对角形方阵；
)3对于每个特征根i λ，在)(i P λ中取出与)(i D λ中零行对应的行向量
),,,(21im i i P P P 得A 属于i λ的特征向量且都是线性无关的。

2.3 举例说明
例2： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111110)1A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
--=100112001
)2B
问方阵A 和B 是否可以化为对角形，若可以，试求出其对角化后的方阵。

解：()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=10011101011100101)()1λλλ
λE A T
−−−−−−→−第一行与第三行互换⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
------00101010111100111λλλ
−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)1(⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛------0010111020100111
λλλλ
−−−−−−−→−行上乘以第一行再加到第三λ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-------λλλλλλλ0110110201001112
−−−−−−−−→−-二行上）乘以第三行再加到第（1⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛---------λλλλλλλ01101111010011122−−−−−−−−−→
−-三行上）乘以第二行再加到第（1λ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛++------------112)1(0011110100111222λλλλλλλλλ−−−−−−−−−→
−-列上乘以第二列再加到第三)(2λ
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++----------+--112)1(00111010100111222λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−→−-+-列上
乘以第一列再加到第三)1(2λλ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++----------112)1(0011101
01
0001122λλλλλλλ
−−−−−−→−第二行加到第一行上⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++------------112)1(0011101
01100122λλλλλλλλ
())()(λλP D =
由题意知0)1(2=-λλ⇒01=λ，)(12二重=λ，因为)(2λD 中零行数目≠1等于2λ的重数，故A 不可以化为对角形方阵。

)2 ()
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=100110010010
001021)(λλλλE A T −−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---010*********
001021λλλ−−−−−−−−−→−+行上乘以第二行再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----1101001001100010212λλλλ−−−−−−−−−→−-列上乘以第二列再加到第三)1(λ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+----110100100010001)1(2212λλλλ−−−−−−−−→−-列上乘以第一列再加上第三)2(⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---1101001000100010212λλλ−−−−−−−→−行上乘以第二行再加到第一2⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---110100100010
2010012λλλ
())()(λλP D =
由题意知0)1)(1(2=--λλ⇒)(11二重=λ，12-=λ，此时)(1λD 中零行数等于=21λ的重数，故B 可以化为对角形方阵;
将11=λ代人)()(λλP D 和中知)(λD 的第一行和第三行为零，由定理2知)(λP 的第一行向量)2,0,1(和第三行向量)2,1,0(即为属于1λ的特征向量，同理可知)0,1,0(为属于2λ的特征向量。

由此可知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022110001T 使得⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-1111BT T
4. 结语
上述方法与传统方法相比显然更具优越性，传统的求矩阵A 的特征根与特征向量，判断A 是否可对角化以及当A 可对角化时，求出相应的可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形矩阵，对于求得的每个特征根都要逐一求出它的特征向量，矩阵的阶数越高求起来就越困难。

而上述方法只须通过对矩阵A 的特征矩阵进行适当的初等变换就可同时求出矩阵A 的特征根与特征向量。

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