矩阵对角化方法

矩阵对角化方法

摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：矩阵 特征根 特征向量 对角化

The Methods of the Diagonalization of the Matrix

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Abstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.

Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization

1、引言

对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。本文主要介绍一种异于传统方法的矩阵对角化方法，即将矩阵的特征矩阵经过一系列初等变换将其化为上三角形矩阵或对角形矩阵从而得到矩阵的特征根与特征向量，同时判断矩阵是否可对角化。

2、讨论对于有n 个特征单根的n 阶方阵

1.2 基本原理

引理1：设A 是秩为r 的n m ⨯阶矩阵，且

()n T E A −−−→−行初等变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*

--n r n m r n rm P D )()(0 其中D 是秩为r 的行满秩矩阵，则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系即为矩阵P 所含的r n -个行向量),,2,1(r n i i -= ξ。 证明：对矩阵()

n T E A 左乘一个n n ⨯阶可逆矩阵C 得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m r n rm T

D CA )(0 )1( ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛*=-n r n n P CE )( )2(

将)2(代入)1(得，

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*--m r n rm T n n r n D A E P )()(0 即有m r n T n r n A P )()(0--=两边同时取转置得0=T AP ，则P 的行向量是方程组0=AX 的解，证毕。

引理2：矩阵A 的特征矩阵)(λA 经过一系列行初等变换可化为上三角形的λ－矩阵)(λB ,且)(λB 的主对角线上元素乘积的λ多项式的解为矩阵A 的全部特征根。

证明：

=)(λA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---nn n n n n

a a a a a a a a a λλλ 212222111211 显然n A r =))((λ )1先看)(λA 的第一列，假设),,3,2(1n i a i =不全为零，任取其中一个，记为

)(1λd ，经过行初等变换，)(λA 可化为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛*)(0)(1λλG d 若),,3,2(,01n i a i ==,则)(λA 本身即具有这种形式

)2再看)(λG 的第一列，假设不全为零（若全为零，则n A r <))((λ）,选择λ的幂

最低的元素，记作)(1λf ,对)(λG 施行行变换，使该列全部元素的幂都少于)(1λf ,选择幂最小的元素，记作)(2λf ,如此施行一系列行变换，一直循环下去，)(λG 最终可

化为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛*)(0)(2λλH d 接着再对)(λH 施行上述变换，最后可将)(λA 化成

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛*=)(0)()()(21λλλλn d d d B 由此可知：)(λA 和)(λB 等价，可知结论成立，证毕。

引理3：对于数域P 上的n 阶方阵A ，若A 的特征多项式在P 内有n 个单根，则

由特征向量构成的n 阶可逆矩阵T ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-n AT T λλλ 211 定理1：若数域P 上的n 阶方阵A 的特征多项式)(λf 在P 内有n 个单根，则A 可通过如下方法对角化： 设()())()()(,)(λλλλλQ B E A A E A n T T T −−−→−-=行初等变换且

)()1λB 为上三角形矩阵，则有方阵A 的特征根i λ即为)(λB 中主对角线上各个元素乘积的解；

)2对于方阵A 的每一个特征根i λ，总有)(i B λ中零行向量所对应的)(i Q λ中的行向量i ξ与之对应。

证明：由上述引理可知此定理结论成立。

2.2举例说明

例1：设⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=210131012A ，问方阵A 是否可以化为对角形，若可以，求出其对角化

后的方阵。

解：()

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=100210010131001012)(λλλλE A T

−−−−−−→−第一行与第二行互换⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-------10021000101

2010131λλλ−−−−−−−−−→−-行上乘以第一行再加到第二)2(λ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---+-+----10021002125500101312λλλλλλ

−−−−−−→−第二行与第三行互换⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+------0212550100210

0101312λλλλλλ−−−−−−−−−−→−+-行上乘以第二行再加到第三)55(2

λλ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+----------5521)4)(2)(1(001002100101312λλλλλλλλ=())()(λλQ B

由题意知)4)(2)(1(---λλλ=0⇒11=λ,22=λ,43=λ ,此时方阵A 有3个特征单根，故方阵A 可以化为对角形;

将11=λ代入)()(λλQ B 和中知)(λB 的第三行为零，由定理1知)(λQ 的第三行向量)1,1,1(-即为属于1λ的特征向量，同理可知)1,2,1(),1,0,1(-分别为属于32λλ和的特征向量。

于是可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111T 使得⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-4211AT T

3、讨论对于有特征重根的n 阶方阵

对于有特征重根的方阵，可以通过上述方法将其化为上三角形矩阵，接着再对上三角形矩阵施行一系列初等变换将其化为对角形矩阵，这样就避免了上三角形矩阵中非零行向量可能不构成行满秩的情形。

1.3基本定理

定理2：设T T A E A -=λλ)(,则()

())()()(λλλP D E A T −−−→−初等变换且)(λD 为对角形