音乐中数学论文

浅谈音乐中的数学

一、音乐中蕴涵的数学原理

在公元前六世纪，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯用比率将数学与音乐联系起来，他认识到所拨琴弦产生的声音与琴弦的长度有关，发现了和声与整数之间的关系。于是，毕达哥拉斯音阶（the pythagorean scale）和调音理论诞生了。

二、音符中的数字

莱布尼茨说过：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算”。众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是奇妙的数字。

数字1

万物之本。《老子》云：“道生一、一生二、二生三、三生万物。”整个宇宙就是一个多样统一的和谐整体。这也是一条美感基本法则，适用于包括音乐在内的所有艺术及科学之中。古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”简言之，便是“一”变“多”，“多”变“一”的原理。中国俗语也说：“九九归一”。文艺复兴时期以来五百年的专业音乐在内容上和形式上尽管存在天壤之别，但都共同遵循这个原理。音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，

和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。

数字2

巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistic theory）。

数字3

三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”数字“2”与“3”在音乐中概括了最基本的节拍类型二拍子与三拍子以及曲式类型二段式三段式；t2=d3是开普勒行星运动第三定律的数学公式，表示行星公转周期（t）的二次方与它同太阳距离（d）的三次方相等。开普勒从大量十分零乱的观测资料中发现了这个自然规律，它是那样简洁、优美，被人称为奇妙的“2”与“3”。t2=d3令人感到一种多么简洁的美感！

数字4

人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4……，4小节为一乐句，8小节为一乐段。

数字5

五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。

数字6六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。

数字7

更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”（农历七月初七晚上）来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。

三、乐谱中的数学

在乐谱中，我们可以找到拍号（4：4，3：4或1：4等）、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符等等。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数，这相似于找公分母的过程——在一个固定的拍子里，不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家在创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机的融合在一起。对一部完整的作品进行分析，我们会看到每一个音节都有规定的拍数，而且运用了各种合适长度的音符。

四、音乐中的数学变换

我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于淋漓尽致地抒发自己内心的情感。可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的，并在主题处得到升华，而音乐的主题正是以某种形式的反复出现的。比如西方乐曲when the saints go marchingin的主题曲如下所示，显然，从这音乐曲的主题就可以看出作者是通过平移得到的。

此外，在音乐作品中的转调，也是一种很普遍的方式将一首曲子整体上行或者下行几度变成另一个调性的曲子，在音乐中可以给人一种耳目一新的层次感。其实质就是将曲子整体的平移几度而已。

音乐中出现数学，并不是一种偶然，而是音乐与数学融和贯通于一体的一种体现。音乐是人类的共同语言，能体现一个人的心情，我们通过音乐把自己对大自然、人生的态度等表现出来。我们也可以不用语言，当时通过音乐与他人甚至是动物，植物来进行进行情感上的沟通和交流。而数学则是以一种理性的、抽象的方式来描述世界，是人类对世界有一个客观的、科学的理解和认识、数学贯穿人类文明的始和终，无论是生老病死，还是日常的生活工作，都离不开数学；音乐与数学是相互渗透，互相促进的。它们都是用来描述世界的只是描述的方式不同。但最终目的都是为人类更好地生存和发展服务。