第一章 水静力学优秀课件

(a)
(b)
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理论证明静水压力具有各项同性
F px 为作用在O`DB面 上的静水压力；
Fpz 为作用在O`DC 面上的静水压力；
Fpy 为作用在O`BC 面上的静水压力；
Fpn 为作用在DBC面 上的静水压力；
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理论证明静水压力具有各项同性
四面体体积： 总质量力在三个坐标 方向的投影为：
按照平衡条件，所有 作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上 投影的代数和应分别 为零。
V16xyzfx
F x
1 6
x y zf
x
F
y
1 6
x y zf
y
Fz
1 6
x y zf
z
Fpx Fpy Fpz
Fpncos(n, Fpncos(n, Fpncos(n,
x) x) x)
1
6 1
6 1
6
xyzfx xyzfx xyzfx
0 0
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静水压强第二特性：静水压强具有各项 同性
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重力作用下 X＝0，Y＝0，Z＝－g ，代入平衡微分方
第一章 水静力学
1－1 静水压强及其特性
一、静水压力 与静水压强
如图所示：
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静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体
作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压 力，常以字母Fp表示。
静水压强：
取微小面积 A ，令作用于 A 的静水压力为 F p ，
则 A 面上单位面积所受的平均静水压力为 p F p
方向的变化率与该方向单位体积上的质量力相等。
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将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然
后相加得。
p xd x p yd y p xd d z p (fx d x fy d y fzd)z
上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达 形式。
将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数
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1－3 等压面
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。
等压面上 P=Const，故 dp=0，亦即ρdU=0。 对不可压缩均质液体，ρ为常数，由此dU=0，即
U=Const
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1－3 等压面
等压面性质：
2．等压面与质量力正交。
证明：在平衡液体中 任取一等压面，质点M 质量为dm，在质量力F 作用下沿等压面移动。
源自文库
上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡
故有
d p( U d x U d y U d)z dU x y dz 13
二、积分方程
对 dpdU进行积分可得 pUC
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强 为 p 0 、力势函数为U0，则
积分常数 C＝ p0 U0
得 pp0(UU 0)
所以
pxpypz pn
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1－2 液体的平衡微分方程式及其积分
液体平衡微分方 程式:是表征液体处
于平衡状态下，作 用于液体上各种力 之间的关系式。 取平行六面体如图：
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一、微分方程
1．表面力
X方向：静水压力各为 (ppdx)dydz及
2．质量力
x 2
(pp dx)dydz。 x 2
X方向： fxdxdydz 。
静水压强
p lim Fp
A
A0 A
静水压力Fp的单位：牛顿（N）； 静水压强p的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）。 3
二、静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与受 压面垂直并指向受压面。
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2．任一点静水压强的大小和受压面方向无 关，或者说作用于同一点上各方向的静 水压强大小相等。
结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液 体内的一切点上；即当 p 0 增大或减小时，液体内任意 点的压强也相应地增大或减小同样数值。
这就是物理学中著名的巴斯加原理。 14
1－3 等压面
等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可
能是平面也可能是曲面）。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。 2．等压面与质量力正交。
则X方向：(pp dx)dyd－z x 2
(pp dx)dydz＋ x 2
fxdxdyd＝z 0
以 dxdydz 除上式各项并化简后为：
p x
f x
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同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到
欧拉平衡微分方程组：
Ⅰ
p x
fx
p y
f
y
p z
fz
该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一
注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必 定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正 交的曲面;
(2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。
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1－4 重力作用下静水压强的基本 公式
实际工程中， 作用于平衡液 体上的质量力 常常只有重力 ，即所谓静止 液体。
F(fxify jfzk)dm ds(dxidy jdzk)
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等压面性质2：等压面与质量力正交。
力 F 沿 ds 移动所做的功可写作矢量F与ds的数性 积：
W F d s (fx d x fyd y fzd) zW dU
因等压面上 dU=0 ，所以W=F*ds=0。也即质量力 必须与等压面正交。
2p(fx)(fy) fxfy
yx y x y x
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同理可得
fx y
fy
x
fy z
fz y
fz x
fx z
满足上式必然 存在力势函数
U（x,y,z)
有
fx fy
U
x U
y
fz
U z
力势函数的全微分应等于单位质量力在空间移动距离所
作的功： d U U xd x U yd y U zd z fx d x fy d y fzd z
而四面体四个表面：
AxAn con,sx)(1 6yz
AyAc n on,sy)(1 6zx
AzAn con,sz)(1 6xy
则有 F A p x x F A p n n 1 3 x x 0 f l V 0 i ( F A m p x x F A p n n 1 3 x x ) f 0 p x p n
F A p y y F A p n n 1 3 y y f 0 l V i 0 ( m F A p y y F A p n n 1 3 y y ) f0 p y p n A F p p z z F A p n n 1 3 z z f 0 l V i 0 ( m A F p p z z F A p n n 1 3 z z ) f0 p z p n