第11章时间序列分析(杨丰)[23页]
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趋于无穷大，样本自相关函数渐进趋于服从正态分布，即
a
rk N (0,1/ n)
根据上述性质，可以检验样本自相关函数是否显著为0。
（2）我们要注意，平稳性的时间序列的样本自相关函数会随着k的增大而 迅速下降到0，而非平稳时间序列的样本自相关函数随着k的增大不会有明 显趋于0的现象。因此我们通过自相关函数图可以对时间序列的平稳性进 行简单的判断。
是向下的趋势。比如说，在季节性部分不存在的前提下，我们可以假设时 间序列存在一个简单的线性趋势，即
Tt t
时间序列的趋势部分可以通过下面几种方法进行确认。 1.最小二乘估计法 2.平滑法 3. 差分法
中国人民大学财政金融学院
一、时Βιβλιοθήκη Baidu序列数据的特性
(三) 季节性 季节性是指时间序列在一定的周期内会出现高峰和低潮的性质，一般
（2）q阶移动平均过程MA（q）的方差为：
VarYt (0) E(Yt 0)2
E(Zt2
12
Z2 t 1
...
q2
Z2 tq
21Zt Zt1
...)
2 (112 ... q2 )
（3）MA（q）的协方差和自相关函数为
Cov(Yt
,
Yt
k
)
0, 2
k q k q , q k
i0 i i k
因素，其中宏观因素可以通过趋势性和季节性来进行描述，微观因素一般 使用随机过程来进行描述。 假设时间序列 X可t 以被分解成三个部分，即趋势部分 T、t 季节部分
S和t 微观部分 。Nt即：
Xt Tt St Nt
t Nt
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一、时间序列数据的特性
(二) 趋势性
趋势性是指时间序列 Xt 所具有的随时间的变化而存在的总体向上或
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一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性
3. 总体自相关函数
对于一个平稳随机过程我们在协方差函数的基础上，可以定义其自相 关函数：
( ) ( ) / (0)
4.样本协方差函数 Ck 与样本自相关函数 rk 的计算公式分别是：
Ck
nk t 1
(X t
_
X
)( X tk
_
*第 11 章
时间序列分析
(Time Series Analysis)
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前言
本章的结构： （一）时间序列数据的特性 （二）平稳时间序列的分析模型 （三）非平稳时间序列与单位根检验 （四）协整与误差修正模型
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一、时间序列数据的特性
(一) 引言 一般来说，时间序列数据可以由两部分因素组成，即宏观因素和微观
X
)/
n
rk Ck / C0
_
_
上式中，X 为样本均值，即 X
n t 1
Xt
/
n
。
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一、时间序列数据的特性
5. 样本自相关函数(sample autocorrelation function, ACF)的性质
（1）首先，如果总体随机过程中 Yt ,t 1,2,...,n 是独立同分布的，随着n
(k) 1,
/ q k
i0 i i k
, q 2
i0 i
k q, k 0
k 0
0,
k q
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二、平稳时间序列分析模型
（4）移动平均过程的识别
利用样本相关函数图像就可以确定MA（q）过程的阶数。因为由移动平均 过程产生的自相关函数在k>q的时候应该均为0。由于根据实际时间序列数 据计算得出的样本自相关函数在k>q的时候不可能完全等于0，这个时候我 们就可以运用 rk 的渐近分布。
（3）季节性因素也会影响自相关函数的函数值。比如说，如果月度时间 序列 X t 具有年度的季节周期性，那么我们应该可以观测到 X t 与 Xt12 有较 高的相关性。
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二、平稳时间序列分析模型
（一）移动平均模型（Moving Average Models，MA模型）
1. 白噪声序列：令 Zt 为独立同分布序列且均值为0，方差为 2 ，即， Zt i.i.d.N (0, 2 )
上式被称为q阶移动平均模型，即MA（q）。q被称为移动平均的阶数， 1,2,...,q 被称为移动平均参数。
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二、平稳时间序列分析模型
3. MA模型的性质
（1）移动平均过程的均值与时间无关。注意到白噪声序列的所有随机 变量的期望均为0，则白噪声序列的加权所形成的MA过程的期望也必然是 0。
以一年为周期。季节性的识别很重要，因为它是时间序列趋势性的补充。 季节性的确认与趋势性的确认类似，主要有 1. 移动平均法 2. 季节差分法
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EXt ,
一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性 1. 强平稳性：随机过程X＝ Xt,t R 被称为是强平稳的，如果对于所有
的 (t1,t2,...,tn ) 和所有的 ，有：
d
( X t1 , X t2 ,..., X tn ) ( X t1 , X t2 ,..., X tn )
d
其中 表示的是依分布相等。
2.弱平稳性被称为是弱平稳的，如果
（1） EXt , 对所有t
（2）Cov( Xt , Xt ) ( ) ，对所有的s和t 上述式子表明与的协方差只与时间间隔（s－t）有关，而与t的具体值无 关。我们要注意的是取 ＝0时，就有Var(Xt ) (0) ，所以弱平稳随机过 程的均值、方差保持不变，协方差只随时间间隔的变化而变化。另外，强 平稳过程必然也是弱平稳过程，反之，则不一定成立。
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二、平稳时间序列分析模型
(二) 自回归模型（Autoregressive Models, AR 模型） 1. AR模型的定义 AR模型是由时间序列的滞后项的加权和一个随机干扰项组成的，其具 体形式为：
Yt 1Yt1 ... pYt p Zt
其中 EZtYti 0, 式中p是自回归模型的阶数，上述模型一般以AR（p）来 表示。 2. AR模型的性质 （1）以AR（1）模型为例，首先对式子两边同取期望，就可以E得Yt到 1EYt1 ，由 Yt 的平稳性，可得 EYt ＝0。
如果我们只要求 Zt 是不相关的，那么 Zt 就是所谓的白噪声序列（white noise sequence），可以记为
Zt WN (0, 2 )
2.MA模型定义
若 Yt 序列是白噪声序列 Zt 的加权平均，我们就可以建立时间序列的
MA模型为：
Yt Zt 1Zt1 ... q Ztq , Zt WN (0, 2 )
a
rk N (0,1/ n)
根据上述性质，可以检验样本自相关函数是否显著为0。
（2）我们要注意，平稳性的时间序列的样本自相关函数会随着k的增大而 迅速下降到0，而非平稳时间序列的样本自相关函数随着k的增大不会有明 显趋于0的现象。因此我们通过自相关函数图可以对时间序列的平稳性进 行简单的判断。
是向下的趋势。比如说，在季节性部分不存在的前提下，我们可以假设时 间序列存在一个简单的线性趋势，即
Tt t
时间序列的趋势部分可以通过下面几种方法进行确认。 1.最小二乘估计法 2.平滑法 3. 差分法
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一、时Βιβλιοθήκη Baidu序列数据的特性
(三) 季节性 季节性是指时间序列在一定的周期内会出现高峰和低潮的性质，一般
（2）q阶移动平均过程MA（q）的方差为：
VarYt (0) E(Yt 0)2
E(Zt2
12
Z2 t 1
...
q2
Z2 tq
21Zt Zt1
...)
2 (112 ... q2 )
（3）MA（q）的协方差和自相关函数为
Cov(Yt
,
Yt
k
)
0, 2
k q k q , q k
i0 i i k
因素，其中宏观因素可以通过趋势性和季节性来进行描述，微观因素一般 使用随机过程来进行描述。 假设时间序列 X可t 以被分解成三个部分，即趋势部分 T、t 季节部分
S和t 微观部分 。Nt即：
Xt Tt St Nt
t Nt
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一、时间序列数据的特性
(二) 趋势性
趋势性是指时间序列 Xt 所具有的随时间的变化而存在的总体向上或
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一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性
3. 总体自相关函数
对于一个平稳随机过程我们在协方差函数的基础上，可以定义其自相 关函数：
( ) ( ) / (0)
4.样本协方差函数 Ck 与样本自相关函数 rk 的计算公式分别是：
Ck
nk t 1
(X t
_
X
)( X tk
_
*第 11 章
时间序列分析
(Time Series Analysis)
民大学财政金融学院
中国人
前言
本章的结构： （一）时间序列数据的特性 （二）平稳时间序列的分析模型 （三）非平稳时间序列与单位根检验 （四）协整与误差修正模型
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一、时间序列数据的特性
(一) 引言 一般来说，时间序列数据可以由两部分因素组成，即宏观因素和微观
X
)/
n
rk Ck / C0
_
_
上式中，X 为样本均值，即 X
n t 1
Xt
/
n
。
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一、时间序列数据的特性
5. 样本自相关函数(sample autocorrelation function, ACF)的性质
（1）首先，如果总体随机过程中 Yt ,t 1,2,...,n 是独立同分布的，随着n
(k) 1,
/ q k
i0 i i k
, q 2
i0 i
k q, k 0
k 0
0,
k q
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二、平稳时间序列分析模型
（4）移动平均过程的识别
利用样本相关函数图像就可以确定MA（q）过程的阶数。因为由移动平均 过程产生的自相关函数在k>q的时候应该均为0。由于根据实际时间序列数 据计算得出的样本自相关函数在k>q的时候不可能完全等于0，这个时候我 们就可以运用 rk 的渐近分布。
（3）季节性因素也会影响自相关函数的函数值。比如说，如果月度时间 序列 X t 具有年度的季节周期性，那么我们应该可以观测到 X t 与 Xt12 有较 高的相关性。
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二、平稳时间序列分析模型
（一）移动平均模型（Moving Average Models，MA模型）
1. 白噪声序列：令 Zt 为独立同分布序列且均值为0，方差为 2 ，即， Zt i.i.d.N (0, 2 )
上式被称为q阶移动平均模型，即MA（q）。q被称为移动平均的阶数， 1,2,...,q 被称为移动平均参数。
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3. MA模型的性质
（1）移动平均过程的均值与时间无关。注意到白噪声序列的所有随机 变量的期望均为0，则白噪声序列的加权所形成的MA过程的期望也必然是 0。
以一年为周期。季节性的识别很重要，因为它是时间序列趋势性的补充。 季节性的确认与趋势性的确认类似，主要有 1. 移动平均法 2. 季节差分法
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EXt ,
一、时间序列数据的特性
(四) 平稳性 1. 强平稳性：随机过程X＝ Xt,t R 被称为是强平稳的，如果对于所有
的 (t1,t2,...,tn ) 和所有的 ，有：
d
( X t1 , X t2 ,..., X tn ) ( X t1 , X t2 ,..., X tn )
d
其中 表示的是依分布相等。
2.弱平稳性被称为是弱平稳的，如果
（1） EXt , 对所有t
（2）Cov( Xt , Xt ) ( ) ，对所有的s和t 上述式子表明与的协方差只与时间间隔（s－t）有关，而与t的具体值无 关。我们要注意的是取 ＝0时，就有Var(Xt ) (0) ，所以弱平稳随机过 程的均值、方差保持不变，协方差只随时间间隔的变化而变化。另外，强 平稳过程必然也是弱平稳过程，反之，则不一定成立。
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二、平稳时间序列分析模型
(二) 自回归模型（Autoregressive Models, AR 模型） 1. AR模型的定义 AR模型是由时间序列的滞后项的加权和一个随机干扰项组成的，其具 体形式为：
Yt 1Yt1 ... pYt p Zt
其中 EZtYti 0, 式中p是自回归模型的阶数，上述模型一般以AR（p）来 表示。 2. AR模型的性质 （1）以AR（1）模型为例，首先对式子两边同取期望，就可以E得Yt到 1EYt1 ，由 Yt 的平稳性，可得 EYt ＝0。
如果我们只要求 Zt 是不相关的，那么 Zt 就是所谓的白噪声序列（white noise sequence），可以记为
Zt WN (0, 2 )
2.MA模型定义
若 Yt 序列是白噪声序列 Zt 的加权平均，我们就可以建立时间序列的
MA模型为：
Yt Zt 1Zt1 ... q Ztq , Zt WN (0, 2 )