10、6 高斯公式 通量与散度

§10.6 高斯公式 通量与散度

一、高斯公式

格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：

【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、

),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )(

(1) 或 ⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

γ+β+α=∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()(

(1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，

}γ

是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明

公式(1)就可以了。

设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与

Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，

其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。

根据三重积分的计算法，有

[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

Ω-=⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩

⎪

⎨⎧∂∂=∂∂y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz z

R

dv z R )],(,,[)],(,,[12)

,()

,(21 (2) ⎰⎰⎰⎰∑-=1

)],(,,[),,(1

xy

D dxdy y x z y x R dxdy z y x R

⎰⎰⎰⎰∑=2

)],(,,[),,(2

xy

D dxdy y x z

y x R dxdy z y x R

因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知

⎰⎰∑=3

0),,(dxdy z y x R

把以上三式相加，得

⎰⎰⎰⎰∑

-=

xy

D dxdy y x z y x R y x z

y x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12

(3)

比较(2)、(3)两式，得

⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑

=∂∂dxdy z y x R dv z R

),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面

∑的交点恰好有两点，那么类似地可得

⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑=∂∂dydz z y x P dv x P

),,( ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑

=∂∂dzdx z y x Q dv y Q

),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。

在上述证明中，我们对闭区域Ω作了这样的限制，即穿过Ω内部且平行于坐

标轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两点。如果 Ω 不满足这样的条件，

可以引进几张辅助曲面把Ω分为有限个闭区域，使得每个闭区域满足这样的条件，并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反，相加时正好抵消，因此公式(1)对于这样的闭区域仍然是正确的。 【例1】利用高斯公式计算曲面积分

⎰⎰∑

-+-dxdy y x dydz x z y )()(

其中∑为柱面122=+y x 及0=z ，3=z 所围成的空间区域Ω的整个边界曲线的外侧。

解：这里x z y P )(-=，0=Q ，,y x R -=

z y x P -=∂∂，0=∂∂y Q ，0=∂∂z

R

， 利用高斯公式把所给曲面积化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分：

⎰⎰∑

-+-xdydz z y dxdy y x )()(

⎰⎰⎰Ω

-=dxdydz z y )(

⎰⎰⎰Ω

θ-θ=

dz rdrd z r )sin (

⎰⎰⎰

-θθ=

π

3

10

20

)sin (dz z r rdr d

2

9π-

= 【例2】利用高斯公式计算曲面积分

⎰⎰∑

++dS z y x )cos cos cos (222γβα

其中∑为锥面222z y x =+介于平面0=z 及)0(>=h h z 之间的部分的下侧，

αcos 、βcos 、γcos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。

解：曲面∑不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，补充曲面

的上侧)(:2221h y x h z ≤+=∑

则∑与1∑一起构成一个封闭曲面，记它们所围成的空间闭区域为Ω，利用高斯公式，便有

⎰⎰∑+∑++1

)cos cos cos (222

dS z y x

γβα

⎰⎰⎰Ω

++=dv z y x )(2

⎰

⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy

2

2)(2

其中}|),{(222h y x y x D xy ≤+=，注意到

0)(2

2=+⎰

⎰⎰+h y x D dz y x dxdy xy

即得

⎰⎰

∑+∑++1

)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰

⎰⎰+=

h

y x D dz z dy dx y

x 2

2

⎰⎰

--=

xy

D dxdy y x h )(222