XX方差分量估计

一、概述（续） 概述（
实际问题于解决途径
随机模型不精确 观测量验前方差不合理 观测量的权不合理
参数解及验后精度 估计有偏差 方差分量估计
观测量的贡献不合理 采用验后估计法重新估计各类观测量的方差， 采用验后估计法重新估计各类观测量的方差，重新确 定观测量的权，重新进行参数估计——随机模型验后 定观测量的权， 重新进行参数估计 随机模型验后 估计法，也称为方差协方差分量的验后估计。 估计法，也称为方差协方差分量的验后估计。 方差协方差分量的验后估计
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
则： Σ∆ =
Uiσi2 ∑
i=1
3
Σ∆0 = ∑ i U
i= 1
3
P 0 = ∑R ∆ i
1 i=
3
由参数平差知： 由参数平差知：
T V = (AN−1A P− I)L= G L
T G = AN−1A P − I
V = GL= G(L− L ) +GL = G +G 真 ∆ L 真 真
S=
[
T T k k k
]
n1 −2tr −1N ) +tr −1N N−1N ) (N 1 (N 1 tr −1N N−1N2) (N 1 L tr −1N N−1Nk ) (N 1 1 n2 −2tr (N−1N2) +tr −1N2N−1N2) L (tr (N tr −1N2N−1Nk ) (N O M 对 称 nk −2tr (N−1Nk ) +tr −1NkN−1Nk ) (tr (N
（原始权） P 原始权）
T
参数估计
2. 2 σ01,σ012,σ02
V
Σ∆ = E ∆ ) (∆ 2 2 若不成立， 判断 σ01 =σ012 = σ02 =? 若不成立，重新定权
平差（重复上述步骤） 平差（重复上述步骤）
∆
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
1.问题 1.问题
j=1
3
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
E TRiV ==∑ (GTRiG j )σ2 (V ) tr U j
j=1 3
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
tr(GT RGU ) tr(GT RGU2) tr(GT RGU3)σ1 VT RV ˆ2 1 1 1 1 1 2 T T T T ˆ 2 1 2 2 2 tr(G R GU ) tr(G R GU2) tr(G R GU3)σ2 = V RV tr(GT RGU ) tr(GT RGU2) tr(GT RGU3)σ3 VT RV ˆ 2 3 1 3 3 3
基本思想
利用验前观测方差确定各类观测值初始权； 利用验前观测方差确定各类观测值初始权； 参数估计； 参数估计； 利用残差向量对随机模型作验后估计； 利用残差向量对随机模型作验后估计； 重新定权； 重新定权； 再进行参数估计，直至收敛。 再进行参数估计，直至收敛。
流 程 图
~ 经验值） σi（经验值）
简写
ˆ 2 =W Tσ V
ˆ 2 =T−1W σ V
方差—协方差分量估计式： 方差 协方差分量估计式： 协方差分量估计式
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
类观测值的方差—协方差分量估计 3、K类观测值的方差 协方差分量估计
2 2 σ01Q L σ0kQ 1 1k Σ∆ = L L L 2 σ01kQ 1 L σ0kQ k k
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
设：
σ =[σ
2
2 01
σ012 σ ] =[σ
2 02
2 1
σ
2 2
σ
2 3
]
第一次平差取： 第一次平差取：
] σ 2(0) = [1 1 1T
P P 1 12 P0 = ∆ P P 2 12
Q Q 12 则有： 则有： Σ∆ = 1 0 Q Q 2 12
2 σ01Q σ012Q 2 1 12 σ0i 为单位权方差 Σ∆ = 2 σ02Q 21 2 σ012Q 2 2 σ01 =σ012 =σ02 成立！ 实际上很难保证： 成立！ 实际上很难保证：
例如 几何 观 量和 地 壳 形 变 可 以 同时 顾 及 几何观 测 量 和 物 理 观测 量 （ 如 NUVEL系列地球物理模型给出的信息 的精度不匹配； 系列地球物理模型给出的信息） NUVEL系列地球物理模型给出的信息）的精度不匹配； 不同时期的GPS网联合平差的内部精度不合理； 不同时期的GPS网联合平差的内部精度不合理； GPS网联合平差的内部精度不合理 全国天文大地网与空间网联合平差各类观测方差不协调； 全国天文大地网与空间网联合平差各类观测方差不协调； 重力场推估中观测量方差与模拟的验前协方差不匹配… 重力场推估中观测量方差与模拟的验前协方差不匹配
σij =0,Q =0, P =0 ij ij
待估参数不包括协方差项。 待估参数不包括协方差项。
三、Helemrt型方差分量估计 型方差分量估计
可以得到
ˆ ˆ2 V PV =(ni −2tr Ni ) +tr Ni ) )σ + ∑ (N−1NiN−1Nj )σ0j (N (N tr i
T i i −1 −1 2 2 0i
设：
P 0 1 R = 1 0 0
Q 0 U = 1 1 0 0
0 P 12 R = 2 0 P 12
0 0 R = 3 0 P 2
0 0 U3 = 0 Q 2
0 Q 12 U2 = Q 0 12
V =G ∆
Σ∆ = ∑ jσ2 U j
j= 1
3
E(V RV) = E(∆ G RG ) i ∆ i
T = E(tr(∆ GT RG )) i ∆
= tr(E(GT RG T )) i ∆∆
= tr TRiG ∆) (G Σ
=tr ∑ TRiG jσ2) ( G U j
j=1 3
= ∑ (GTRiG j )σ2 tr U j
函数模型知， 由G—M函数模型知， 函数模型知
L = E(L = A ) X 真
有： GL = GAX= (A −1A P− I)A = A −1A PA − A N T X N T X X 真
G 真 =0 L
V =G ∆
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
利用关系式
T
T T
方差—协方差分量估计 方差 协方差分量估计
（Variance--Covariance-Component Estimation）
一、概述 方差—协方差分量估计 二、Helmert 方差 协方差分量估计 三、Helmert方差分量估计 Helmert方差分量估计 四、Helmert方差分量估计简化公式 Helmert方差分量估计简化公式 五、方差分量估计应用
一、概述（续） 概述（
方差— 方差—协方差分量估计方法分类 Helmert法 Helmert法 最小二次无偏估计——MINQUE法 MINQUE法 最小二次无偏估计 MINQUE 最优不变二次无偏估计——BIQUE法 BIQUE法 最优不变二次无偏估计 BIQUE 极大似然估计法等
一、概述（续） 概述（
三、Helemrt型方差分量估计 型方差分量估计
1、Helmert方差分量估计的严密公式 Helmert方差分量估计的严密公式 两类观测情形
设各类观测量之间随机独立， 设各类观测量之间随机独立，即 随机独立两类观测的随机模型
2 2 σ01Q σ012Q σ01Q 0 1 12 1 Σ∆ = = 2 2 σ02Q 0 σ02Q 12 2 2 σ012Q
2 σ0i →k个
(k −1 k ) σ0ij → 个 2
未知数： 未知数： t =k +
(k −1)k k(k +1) = 2 2
tr TR G 1) L tr TR G t )σ1 VTR V ˆ2 (G 1 U (Βιβλιοθήκη Baidu 1 U 1 L L L M = M tr TRtG 1) L tr TRtG t )σt VTRtV (G U (G U ˆ 2
解为： 解为：
ˆ σ 2 = S−1W V
三、Helemrt型方差分量估计 型方差分量估计
K类观测情形 类观测情形
k×k k× 1
ˆ 2 =W Sσ V
k× 1
ˆ ˆ σ = [σ
2
T 2 2 2
2 01
ˆ σ
2 02
ˆ L σ
2 T 0k
]
式中
W = V PV V PV L V PV V
T 1 1 1
；
（5）循环。 ）循环。
2 条件为： 2 条件为： σ01 =σ02 =L σ0ij =σ0 ˆ2 =
或：
2 m σ0i −σ0j <ε ax 2
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
分析
为避免出现病态或降秩，观测分组不宜过多， 为避免出现病态或降秩 ， 观测分组不宜过多 ， 分 组多计算量也大。 组多计算量也大。 必需有足够的多余观测， 必需有足够的多余观测 ， 以使估值具有良好的统 计性质，即方差－ 计性质 ， 即方差 － 协方差估计应在大子样条件下 进行。 进行。 估值过程中， 方差因子估值可能会出现负值， 估值过程中 ， 方差因子估值可能会出现负值 ， 此 应分析找出原因重新分类计算。 时，应分析找出原因重新分类计算。 一般情况下两类观测值之间不相关,故协方差分量 一般情况下两类观测值之间不相关 故协方差分量 无需估计； 无需估计； 方差—协方差分量估计中参数过多，计算复杂。 方差 协方差分量估计中参数过多，计算复杂。 协方差分量估计中参数过多
满足： 满足：
ˆ E(X) = X
tr(QX ) = m in ˆ
ˆ X 为最优线性无偏估计量
一、概述（续） 概述（
最小二乘估计的最优性及其条件 函数模型误差不显 著 随机模型误差不显 著 无异常误差
参数最小二乘估值是最 优线性无偏估计量 单位权方差的估值具有 无偏性和渐进最优性。 无偏性和渐进最优性。
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
4、计算步骤
的初值， （1）选定 σ0i ,σ0ij 的初值，确定 Σ∆0, P 0 ； ） ∆
2
（2）平差求出 V →VT RV ） i
；
G=(A −1ATP −I), Ri , Uj N （3）组成 ） ∆
（4）求解 ）
2 ˆ0 j ,σ0ij →Σ(k) , P(k) σ ∆ ∆
2
ˆ Sσ 2 =W V
其中： 其中： W = V PV V
j=1,≠i
[
T 1 1 1
V PV 2 2
T 2
]
T
n1 −2tr −1N ) +tr −1N )2 (N 1 (N 1 tr −1N N−1N2) (N 1 S= −1 −1 −1 −1 2 tr (N N N N2) n2 −2tr (N N2) +tr (N N2) 1
一、概述
满秩的高斯－马尔柯夫线性模型： 满秩的高斯－马尔柯夫线性模型： 函数模型： 函数模型：
E L) = AX (
n× 1 n×t t× 1
或
L+∆ = A X
R(A = t )
随机模型： 随机模型：
E ) =0 (∆
2 Σ∆ = E ∆ ) =σ0P−1 (∆ T
T T T A −1 最小二乘解： ˆ 最小二乘解： X = (A PA −1 A PL Qˆ = (A P ) ) X
先验方差
其中： 1 12 2 已知， 其中： Q,Q ,Q 已知， σ01,σ02,σ012待定。 待定。
2 2
方差—协方差分量估计的目的是，通过残差 V 及其二 方差 协方差分量估计的目的是， 协方差分量估计的目的是 i
2 2 估值。 次型 VT PV，求出 σ01,σ02,σ012估值。 i i i
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
两类观测值的方差—协方差分量估计 2、两类观测值的方差 协方差分量估计
误差方程
V A ˆ L 1 1 1 = X − V A 2 2 2 L
2 σ01Q σ012Q 1 12 Σ∆ = 2 σ02Q 12 2 σ012Q