排队论模型

至少应设20个座位
若 4, 6, 则 2/ 3 1
2/3 （人） 2 1 1 2 / 3 2 (2 / 3) 2 Lq 4 / （人） 3 1 1 2 / 3 L

L 1 Wq 0.5-1/6=1/3小时=20分钟

Lq

(B)两个M/M/1系统

' 1
2 L 1 2 2 22 L'q 2 1 2 1 2
/2 2 2
2 2 2L L2 1 2
' 1
2 2 2 2 L'q Lq 1 2
' L1 2 2 ' W1 W2 / 2 (1 2 )
n , n 0
（2）稳态解
n , 1 n s n s , n s
n 1 P 1 ( s) n 1 P 1 ( s ) (n n ) P ( s ) 0 n n n 1 0 n P ( s) 0 P ( s ) 0
2 W Wq / 2 (1 2 )
' q
L
' q
2 2
设置多个服务台的随机服务系统，仅从等待时间考虑， 应该让顾客只排一个队
(3) M/M/s系统的最优服务台数
设顾客等待单位时间带来的损失为 c1 ,单位时间每个服 务台的服务成本为 c2 ,则单位时间总费用的期望值为
n 0,
P0 (t t ) P (t ) t P0 (t )(1 t ) o(t ) 1
P0 (t t ) P0 (t ) P (t ) P0 (t ) t o(t ) 1
动态模型：
dPn (t ) dt Pn 1 (t ) Pn 1 (t ) ( ) Pn (t ) dP0 (t ) P (t ) P (t ) 1 0 dt
Lq 2(1 )
2 2
2

,Fra Baidu bibliotek
Wq
Lq

②M/ Ek /1排队模型 顾客接受服务的时间 V 服从爱尔朗分布
EV 1

, DV
1 k2
1 时，
L Lq , W L (k 1) 2 Lq 2k (1 ) Lq Wq

，
n


因而 Pn (1 ) n ●系统平均队长
L nPn
n 0

1
Lq
●排队等待的平均队长
2 Lq (n 1) Pn 1 n 0

●顾客排队逗留时间 ) 顾客到达时间间隔 X i ~ E (，服务时间 Zi ~ E ( ) ， 顾客排队逗留时间 Y ~ E ( ) 顾客平均逗留时间
解：设病人来到服从Possion分布，医生诊断时 间服从指数分布，则该系统是M/M/1系统，且
4， 5，
L
0.8 1

1 2 0.82 Lq 3.2 （人） 1 1 0.8

0.8 （人） 4 1 0.8
W
L
L


1
4 （小时） 1 4
三、常用排队论模型—M/M/s模型
顾客到达规律(到达人数) M 服务时间(时间长短) M 组成部分 收银台数 s 排队规则(怎么排队)
(1) 顾客到达规律： Possion过程 定义1 时间段t内到达的顾客数 X (t ) ~ P(，即 t) k ( t ) t
k! 定义2 时刻t顾客数 X (t ) 满足： P X (t t ) X (t ) 1 t o t P( X (t ) k ) e , k 1, 2,...
1 Wq 1 0.8小时=48分钟 5
为满足99％以上的人有座位，设应设m个座 位，则
P(候诊病人数 m)= Pn (1- ) n 1 m1 0.99
n=0 n=0 m m

m 1
ln 0.01 0.01 m 1 20(个) ln
1 e t , t 0; FX i (t ) P( X i t ) t 0. 0,
(2) 服务时间：指数分布 服务时间
Zi ~ E ( )
1 e t , t 0; FZi (t ) P( Zi t ) t 0. 0,
1 e t t o t
(2) 稳态解
x 2 ( ) x 0 稳定状态：n (t )与时间t无关 P ( x )( x 1) 0 Pn1 Pn 1 ( ) Pn 0 x , x 1 P P0 0 Pn Pn 1 , Pn Pn 1 1
(3) 排队规则：先到先服务
四、一般排队论模型
（1）爱尔朗(Erlang)分布 X 若 1 , X 2 ,, X k 独立同分布于指数分布 k Exp(k ) (1, k ), ，则 V X i (k , k ) 0 i 1 称其为k 阶爱尔朗分布。 k (k t )k 1 k t 密度函数 p(t ) e ,t 0 (k 1)!
根据全概率公式
Pn (t t ) Pn1 (t )t Pn1 (t ) t Pn (t )(1 t t ) o(t )
Pn (t t ) Pn (t ) Pn1 (t ) Pn1 (t ) ( ) Pn (t ) t o(t )
记 ，系统稳定的条件： 1 s
系统中有 k个顾客的概率
(s )k P0 ( s), k 1, 2,..., s k! Pk ( s) s k s P ( s) k s P ( s), k s 1, s 2,... s s! 0
解此方程组得稳定状态解为： n n Pn P0 P0 , n 1, 2,... 令 为服务强度，则由 Pn 1(排除Pn Pn 1情形) n 0 知 0 1（服务快于来到）
1 Pn 1 P0 1 P0 1 1 P0 1 n 0 n 0

系统平均队长
Ls Lq s
顾客在队列中平均等待时间
Wq
顾客在系统中平均逗留时间
Lq

Ls
Ws

以s＝2为例，设两个服务台的平均服务时间 均为1 ，有两种服务方式 (A)M/M/2系统 2 1
2 22 L2 2 1 2
2 23 Lq L2 2 2 2 1 2 W2 Wq L2
由
2 c1 d C 0 2 3 d ( )
2

2
及
/ 1
c1
c2
最优服务率为


最优服务率 随着进入系统的顾客数 和损失费 加而增加,随着服务成本 c2 的增加而减小.


c1 的增
例2 某生产厂家有多台机器,每台机器连续运转的时间服从指 数分布,平均为1小时,每台故障机器的损失费为3200元/小时.有 1个维修工人,每次维修时间服从指数分布, 每台故障机器的修 理费用为100元/小时,求最优的每台机器维修时间.
排队论模型及应用
应用数学系 王海军
whjee@sohu.com
一、背景 例子 顾客在超市排队付款，汽车排队过收费站 旅客在售票处排队购买火车票 病人排队候诊 a. 增加收银台，则增加投资，有可能发生空闲 浪费； b. 减少收银台，顾客排队时间太长。 选择最优收银台数
二、随机服务系统 顾客等待服务接受服务顾客离开
k 1 k 1 EV , DV 2 2 k (k ) k
k 1 时爱尔朗分布即为指数分布， X1 (1, ) Exp( ) V 顾客来到规律： 顾客来到的时间间隔独立同分布于爱尔朗分布；
顾客接受服务时间： 假如顾客接受连续串联的 k个服务台的服务，各服 务台的服务时间独立同分布于指数布 Exp(k ) ， 则顾客接受服务总时间服从爱尔朗分布。 （2）更新过程 顾客来到时间间隔或服务时间独立同分布，即 X1 , X 2 ,, X n独立同分布。 （3）其他排队规则 后到先服务 仓库里存放物品的选取 随机服务 停车场上选乘出租车 优先服务 医院急诊 银行金卡用户
1 L W EY
●顾客平均等待时间
Lq 1 L 1 Wq W ( )
例1. 某医院某科室有一位医生值班，每小时平均有4 个病人，医生每小时平均可诊治5个病人。如果要 满足99％以上的病人有座位，至少应设多少个座位？ 如果每小时可诊治6个病人，可减少多少个座位？ 病人平均等待时间是多少？
解: 由题意知
1,
c1 3200,
c2 100
最优服务率为


c1
c2
3200 1 5(台 / 小时) 2 100
即最优的机器维修时间为
1 0.2小时 12分钟 5
1
2. M/M/s系统
（1）模型
s个服务台
dPn (t ) dt n 1 Pn 1 (t ) n 1 Pn 1 (t ) (n n ) Pn (t ) dP0 (t ) P (t ) P (t ) 1 1 0 0 dt
W
L

2 0.5 （小时） 4


ln 0.01 m 1 11(个) ln 2 / 3
可减少9个座位
注：①M/G/1排队模型 顾客到达规律：Poisson过程 顾客接受服务时间：独立同分布于G分布 G分布的期望和方差分别为：1 , 2 1 时，
P0 1 L Lq , W L
五、M/M/s模型的应用 1. M/M/1系统 1个服务台 (1) 建模 Pn (t ) P( X (t ) n)：时刻t系统内有n个顾客的概率
事件 X (t t ) n包含三种情况：
X (t ) n 1且 t 内到达一人； X (t ) n 1且t 内离开一人； X (t ) n 且t 内无人到达或离开。
(s ) (s ) 1 P0 ( s) s ! 1 k 0 k !
s 1 k s 1
排队等待平均队长
(s )s Lq (n s) Pn ( s) P (s) 2 0 s !(1 ) n s 1
P X (t t ) X (t ) 2 o t
P X (t t ) X (t ) 0 1 t o t
顾客到达的时间间隔 X1 , X 2 , X 3 ,..., X n ,... 独立同 指数分布 Exp( ) ，即

(3) M/M/1系统的最优服务率 设进入系统的顾客单位时间带来的损失为 1 ,单位时间服务 台每服务一位顾客的服务成本为 c ,则单位时间总费用的期 2 望值为
c
C ( ) c1 L( ) c2 c1 c2 c1 dC 由 c2 0 解得 c1 2 d ( ) c