连续性方程

ρux dydz
通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率
(ρu x ) ρu dxdydz x x
(ρu Biblioteka Baidu ) dxdydz x
5
EXIT
A：流入与流出微元控制体的质量速率 之差 x方向 y方向 z方向
(ρu z ) dxdydz z
密度
(ρu x ) dxdydz x (ρu y ) dxdydz y
A+B
11
C:作用在控制体中流体的合外力 作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力
质量力：设A点单位质量力为Fb ，则微元上的质量力为 Fb dxdydz
表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）
a. 作用在微元上的应力
b. 作用在微元x方向应力
12
作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为 P x Px Pxx i Pxy j Pxz k P y Py Pyx i Pyy j Pyz k P z Pz Pzx i Pzy j Pzz k
A
B
4
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
连续性方程的推导 边长为dx，dy，dz 的控制体微元
ρ(x,y,z, ) 时刻A点流体密度为 ，速度u(x,y,z, )沿x，y，z三坐
标轴的分量为 ux ,uy ,uz x方向 单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）
ρudxdydz (ρudxdydz)Δ
ρudxdydz
9
EXIT
B:动量通量的净变化率 ABCD面，Δ 时间内流入的动量 EFGH面，Δ 时间内流出的动量
ρuxudydzΔ
ρu x udydzΔ ρu x udydzΔ dx x Δ 时间经此两相对面元的动量净流出量为


作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为
Px Px dx Pxx i Pxy j Pxz k ( Pxx i Pxy j Pxz k )dx, x x Py Py dx Pyx i Pyy j Pyz k ( Pyx i Pyy j Pyz k )dy, y y Pz Pz dx Pzx i Pzy j Pzz k ( Pzx i Pzy j Pzz k )dz . z z
C
A
B
8
EXIT
ρ(x, y,z, ) ，速度 时刻A点流体密度为 u(x, y,z, 沿 ) x，y，z三坐 标轴的分量为 ux ,uy ,uz
A:控制体内流体动量对时间的变化率 动 量 时刻 ＋d 时刻
边长为dx，dy，dz 的控制体微元
(ρu )dxdydz
第一章 流体力学基础 ——流体运动的微分方程
西安建筑科技大学
粉体工程研究所
1
质量传递——连续性方程 质量守恒定律
动量传递——纳维－斯托克斯方程 动量定理
能量传递——能量方程 能量守恒定律 状态方程
流体运 动微分 方程组
所有流体运动传递过程的通解
2
EXIT
1.3 流体运动的微分方程
• • • •
质量守恒定律——连续性方程 动量定理——纳维-斯托克斯方程 能量守恒定律——能量方程 定解条件
(ρu x ) (ρu y ) (ρu z ) dxdydz y z x
B：微元控制体内的质量累计速率 质量 时刻 ＋d 时刻 ρ
ρ d
ρ
ρdxdydz
ρ ρ d dxdydz
ρ d dxdydz ρdxdydz ρ d ρ dxdydz
3
EXIT
1.3.1 质量守恒定律——连续性方程
• 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动， 物质的总质量总是不变的。
• 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。
单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述： 在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 流入控制体 的质量速率 流出控制体 的质量速率 = 控制体内的 质量累计速率
散度
7
EXIT
1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程
• 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外 力总和 。 雷诺输运定理
系统内物理量 的变化率
=
控制容积内物 理量的变化率
+
物理量通过控制 面的净流出速率
控制体内流体动量 作用在控制体中流 = 对时间的变化率 体的合外力
动量通量通过控 + 制面的净变化率
微元流体系统的动量变化率为：

d ρu ρudivu dxdydz d du dρ uρ ρudivu dxdydz d d dρ du u ρdivu ρ dxdydz d d du ρ dxdydz 应用连续性方程 d
( ρu x u )dydzdxΔ x
同理
( ρu y u )dzdxdyΔ y ( ρu z u )dxdydzΔ z
10
EXIT
经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为
u u u u u u dxdydz y z x x y z u x u y u u x ( u ) u y u u z u u u u z dxdydz y z x y z x u u u u dxdydz + (ρu )dxdydz
6
EXIT
(ρu x ) (ρu y ) (ρu z ) ρ dxdydz dxdydz y z x
ρ (ρu x ) (ρu y ) (ρu z ) 0 x y z
本方程适用于单组分流体的任意流动形态。
dp ρdiv u 0 dτ