第二章极限与连续

第二章极限与连续

一、数列的极限

A 、数列｛Un ｝中的数称为数列的项，Un 为数列的一般项或通项。正整数n 称为数列的下标。 给定数列｛Un ｝，各项的取值由其下标唯一确定，所以数列｛Un ｝可以视为定义在正整数集N*上的函数，即称为下标函数。

B 、已知数列｛Un ｝，当n 无限增大时，Un 无限趋近于某一个常数A ，则A 为数列｛Un ｝的极限。即 lim n →+∞

Un=A

或Un →A （n →+∞）

①若数列｛Un ｝有极限，则称数列｛Un ｝收敛，或lim n →+∞

Un 存在

②若数列｛Un ｝无极限，则称数列｛Un ｝发散，或lim n →+∞

Un 不存在

※有界数列：|Un|≤M （n ∈N*，M ＞0）

※收敛数列必定有界，单调有界数列必有极限。 二、函数的极限 【前提必须是在某一趋向下】 A 、x →∞时函数f （x ）的极限 a 、已知f （x ），x →∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →∞时，函数f （x ）的极限存在，且称

当A 为x →∞时，f （x ）的极限。 【双边极限】 记作：lim x →∞

f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →∞）

b 、已知f （x ），x →+∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →+∞时，函数f （x ）的极限存在，且

称当A 为x →+∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】 记作：lim x →+∞

f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →+∞）

c 、已知f （x ），x →-∞时，f （x ）无限趋近于某一个常数A ，则称当x →-∞时，函数f （x ）的极限存在，且

称当A 为x →-∞时，f （x ）的极限。 【单边极限】

记作：lim x →-∞

f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →-∞）

综上：lim x →∞

f （x ）=A <=> lim x →+∞

f （x ）=lim x →-∞

f （x ）=A

B 、x →x 0时f （x ）的极限

a 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0时f （x ）无限趋近于某常数A 。即当x →x 0时f （x ）的极限存

在，且称A 为x →x 0时f （x ）的极限。 记作：0

lim x x →f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0）

b 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0-

时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的

左极限。

记作：0

lim x x -

→f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0-

）或f （x 0-0）=A c 、f （x ）在x 0的某空心邻域内有定义，x →x 0+

时f （x ）无限趋近于某常数A 。即常数A 为x →x 0时f （x ）的

右极限。 【左极限和右极限统称为单侧极限】

记作: 0

lim x x +

→f （x ）=A 或f （x ）→A ，（x →x 0+

）或f （x 0+0）=A 综上：0

lim x x →f （x ）=A <=> 0lim x x -→f （x ）=0

lim x x +

→f （x ）=A

三、无穷大量与无穷小量

A 、在自变量的某一变化过程中（即在某一趋向下），若f （x ）的绝对值无限的增大，则称f （x ）为无穷大量。 即limf （x ）=∞。

a 、 若f （x ）恒为正且f （x ）无限的增大，则称f （x ）为正无穷大。即limf （x ）=+∞

b 、 若f （x ）恒为负且f （x ）的绝对值无限的增大，则称f （x ）为负无穷大。即limf （x ）=﹣∞ ※ 一个无穷大量与一个有界变量（即有限函数）之和仍为无穷大量。 ※ 两个无穷大量的乘积仍是无穷大量。

※ 两个正（负）无穷大量之和仍为正（负）无穷大量。【若是一正一负则结果不能确定】 B 、极限为零的变量成为无穷小量。（0也是无穷小量） limf （x ）=A <=> f （x ）=A+α 其中lim α=0 ※ 有限个无穷小量的和或差仍为无穷小量。 ※ 有限个无穷小量的积仍为无穷小量。 ※ 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。

※ 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量。 C 、无穷大量与无穷小量的关系

在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量（不取零时）的倒数是无穷大量。 即limf （x ）=∞ 则lim

)

(1

x f =0 D 、无穷小量的阶【即无穷小量和无穷小量的大小比较】 ①若α与β为同一变化过程中的两个无穷小量 a 、若lim

α

β

=0，则称α是比β高阶的无穷小量。 b 、若lim

α

β

=∞，则称α是比β低阶的无穷小量。 c 、若lim

β

α

=A ≠0，（且A ≠1）则称α与β为同阶的无穷小量。 d 、若lim

α

β

=1，则称α是与β等价的无穷小量。 记作：α～β e 、若lim

k

α

β=A ≠0，k ＞0，则称α是关于β的k 阶无穷小量。 ②若在同一极限中，α、β、γ均为无穷小量

a 、α～α，即任何一个无穷小量总是和它本身等价。

b 、α～β，β～γ，则α～γ。即等价关系具有传递性。

c 、α～β，则α•γ～β•γ。即两个等价无穷小量乘以同一无穷小量后，仍为等价无穷小量。

d 、α～α1，β～β1,则α•β～α1•β 1 。即两个无穷小量之积等价于各自的等价无穷小量之积。 四、函数极限的性质与运算法则

A 、函数极限的性质（同样适用于数列极限） a 、若极限limf （x ）存在，则极限值唯一。【唯一性】