应力张量的概念及其应用

斜面上的应力表示为：
S n1 Sn2
11l1 21l1
12l2 22 l 2
13l3 23l3
(1)
Sn3 31l1 32l2 33l3
用张量记号的求和约定：
S ni ij l j (2)
1。应力张量及其不变量
若n是主应力方向，则斜面上只有正应力，其值 等于主应力，Sn与n重合。
vd
1
6E
( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2
v v
1 2
6E
( 1
2
3 )2
vd vv v
重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
重要应用实例
m t l
m
m(p D)
Ｄ
m
p
pp D 2
４
Ｄ
pDl
p
t t (2 l ) t
重要应用实例
m
用张量记号表示(4)式： ( ij l ij )l j 0 (5)
引入记号 :
1 when i j ij 0 when i j (6)
(4)式中方向余弦满足：
l12
l
2 2
l32
1
(7)
(4)式与(7)使，4个方程解4个未知数：l1, l2, l3, l
l1, l2, l3, 不全为零 的条件是(4)式的 系数行列式为零：
2
1dydz ~ 1dx
dy
1 2dxdz ~ 2dy
dz
3 dx
3dydx ~ 3dz
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
dW=
1 2
(
1dydz
)(
1dx
)
1 2
(
2 dxdz )(
2 dy )
1 2
(
3dxdy )( 3dz )
( 1 1 22 33 )(dxdydz)
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
11 l
21
31
12 22 l
32
13
23
ห้องสมุดไป่ตู้
0
33 l
(8)
1。应力张量及其不变量
展开(8)式得到l的三次代数方程式：
l3 J1l2 J 2l J 3 0 (9)
其中： J1 11 22 33 kk
J2
11 21
12 22 22 32
23 33 33 13
以 l 表示主应力的值，它在坐标轴上的投影为：
Sn1 ll1
Sn2
ll2
(3)
Sn3 ll3
( 11 21l1
l )l1 12l2 ( 22 l )l2
13l3 23l3
0 0
(4)
将(3)式代入(1)式： 31l1 32l2 ( 33 l )l3 0
1。应力张量及其不变量
J 3 123
可以证明三个主方向是相互垂直的。
结论：
1. 三个主应力和代表主方向的三个空间角度 完全代表一点的应力状态。 2. 一点的主应力值是和坐标选择无关的。
3. 坐标变换时，应力分量 ij 变化，但主应
力不变。 4. 和主应力一样，J1, J2, J3 不随坐标系而 变化，称为应力张量的不变量。
dAx dAlx dAy dAl y (1) dAy dAl y
Snx xxlx xyl y xzlz
S ny
yxlx
yyly
yzl
z
(2)
S nz
zxlx
zy l y
zz lz
1。应力张量及其不变量
三、应力张量的不变量
设在 x1, x2, x3坐标系中，有一用法线单位矢量 n 表示的斜平面，n 的方向余弦用l1, l2, l3 表示
应力张量的概念及其应用
1。应力张量及其不变量 2。应变张量及其不变量 3。广义胡克定理
1。应力张量及其不变量
一、张量的概念
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。
数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐 标系的选择，会使问题简单化或复杂化。
希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量 摆脱具体坐标系的影响。
pp d 2
m(p D)
４
Ｄ
m
Fx 0
m (π
D
)
p π
D2 4
m
pD
4
重要应用实例
pDl
p
Fy 0
t
t ( 2t l ) t (2 l) p(D l)
t
pD
2
重要应用实例
m t l
m
pD
4
t
pD
2
结论与讨论
结论与讨论
1、关于应力和应力状态的 几点重要结论
应力的点的概念; 应力的面的概念; 应力状态的概念.
2
ii kk
ik ki
11 12 13 I 3 21 22 23 ij
31 32 33
若用主应变表示I1, I2, I3 :
I1 1＋2＋3
I 2 (12＋23＋31 )
I3 123
结论： 同学自己可以总结
广义胡克定律， 应变能密度
广义胡克定律成立的条件:
1. 弹性体，应力低于弹性极限。 2. 应变分量是应力分量的线性函数。
1。应力张量及其不变量
已经学过的数学量： 标量：温度、密度、能量等 矢量：速度、加速度、位移、力等
在材料力学中学到的应力和应变的表示： 在三维空间，每维空间有三个分量， 一个要用九个分量表示。
1。应力张量及其不变量
引入张量：
0阶张量：30＝1 1阶张量：31＝3 2阶张量：32＝9 3阶张量：33＝27
xx
1 E
E 1
E
0 0
0 0
0
0
xx
yy zz yz
E
E
0
E
E
0
E 1
E
0
0 1
0 0
0 0
yy
zz
yz
zx
xy
0
0
0
G 0
1 G
0
zx
xy
1
0 0 0 0 0 G
广义胡克定律，应变能密 度
各向同性材料的
广义胡克定律
2。应变张量及其不变量
应变的定义：
正应变：
切应变：
2。应变张量及其不变量
在直角坐标系 x1, x2, x3, 应变与位移的关系
正应变：
xx
lim
x0
u x
u x
yy
lim
y0
u y
u y
(11)
zz
u lim z0 z
u z
切应变：
均为小变形下
xy
u y
v x
v w
yz z y
(12)
xx C11 C12 C13 C14 C15 C16 xx
yy
C21
C 22
C 23
C21
C 25
C26
yy
zz yz
CC3411
C32 C 42
C33 C 43
C34 C 44
C35 C 45
C36 C46
zz
y
z
zx
C51
C52
C53
C54
C55
C56
各向同性材料的
广义胡克定律
y
( ) x
1 E
x
y
y
( ) y
1 E
y
x
z
( ) x
x
xy
z
E
x
y
xy
xy
G
广义胡克定律，应变能密度
各向同性材料的
广义胡克定律
3、三个弹性常数之间的关系
G
E
2(1 )
广义胡克定律，应变能密度
应变能密度
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
1、微元应变能(Strain Energy)
谢谢谢谢大大家家！！
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11 12 13 21 22 23 ＝ij 31 32 33
( i 1,2,3;
j 1,2,3 )
应力张量为对称张量，有6个独立分量：
ij ji
dAx dAlx dAy dAl y (1) dAy dAl y
以lx , ly , lz 分别代表法线 n 的方向余弦。 以dA , dAx , dAy , dAz 分别代表 abc, obc, oac, oab 三角形的面积。
zx
w x
u z
应变张量：（与应力张量一样，为二阶张量）
x
1 2
x yx
1 2
zx
1 2
xy
yy
1 2
zy
1 2
1 2
xz yz
zz
应变张量为 二阶对称张量
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
11 12 13
21
22
23
ij
ji
31 32 33
v vd vv
v : Strain-Energy Density Corresponding d to the Distortion
vv : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
广义胡克定律，应变能密度
各向同性材料的
广义胡克定律
1、横向变形与泊松比
x
x
E
y
x
x
E
--泊松比
y
x
x
广义胡克定律，应变能密度
各向同性材料的
广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
1
1 E
1
( 2
3 )
1
2
1 E
2
( 3
1 )
3
3
1 E
3
(1
2 )
广义胡克定律，应变能密度
1
3
2
结论与讨论
6、正确应用广义胡克定律－某一方向的正应 变不仅与这一方向的正应力有关
45o
承受内压的容器，怎样从表面一点处 某一方向的正应变推知其所受之内压，或 间接测试其壁厚.
本章作业
第一次 第二次
5－1ａ， 5－3 ， 5－4 5－2ｃ， 5－5 5－7ａ，5－9 ， 5－14 ， 5－15
2、应变能密度(Strain-Energy Density)
v
dW dV
1 2
(11
2
2
3 3
)(dxdydz
)
(dxdydz)
1 2
(
1 1
2
2
3
3
)
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
3、体积改变能密度与形状改变能密度
2
2
1
+
1
3
3
令
1 3
(
1
2
3)
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
变形体力学
基
础
结论与讨论
2、平衡方法是分析一点处应力状态最
重要、最基本的方法
论证A－A截面上
A
必然存在切应力，
而且是非均匀分布
的；
怎样证明A－A截
A
面上各点的应力状态 不会完全相同。
结论与讨论
A
A
关于A点的应力状态有多种答案、请用 平衡的概念分析哪一种是正确的
结论与讨论
3、怎样将应力圆作为一种分析问题的重要 手段，求解较为复杂的应力状态问题
应力和应变是二阶张量
1。应力张量及其不变量
二、一点的应力状态表示
用二阶张量在x, y, z 坐标系表示
yxxx
xy yy
xz yz
zx zy zz
或写成：
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
1。应力张量及其不变量
仍选用直角坐标系，坐标轴写成 x1, x2, x3 采用张量下标记号法：
31 11
( ) 1
2
ii kk
ik ki
11 12 13 J 3 21 22 23 ij
31 32 33
原设l为一个主应力，可以证明方程(9)有3个 实根，则是三个主应力，用1, 2, 3 表示。
若用主应力表示J1, J2, J3 : J1 1＋2＋3
J 2 (12＋23＋31 )
2
A
３
Ｃ
３
B 2
怎样确定C点处的主应力
结论与讨论
4、一点处的应力状态有不同的表示方法， 而用主应力表示最为重要
请分析图示 4 种应力状态中，哪几种 是等价的
0 0
0 45ｏ 0
45ｏ 0
0
0
0
结论与讨论
5、注意区分面内最大切应力与所有方向面 中的最大切应力－一点处的最大切应力
max
主应变：可以表示为：1, 2, 3
各向同性材料主应力方向和主应变方向一致
应变张量的不变量： I1 11 22 33 kk
I2
11 21
12 22 22 32
23 33 33 13
31 11
122
( 11 22
2233
11 33
) ( 122
2 23
2 31
)
( ) 1
zx
xy C61 C62 C63 C64 C65 C66 xy
对于均质各向异性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有36个，其中21个是独立的。
对于均质正交异性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有12个，其中9个是独立的。
1
E1
21 31
E2
E3
0
0
0
xx yy zz yz zx xy
12 E1 13 E1 0
0
1 E2 23 E2 0
0
32 E3 1 E3 0
0
0
0 1 G44 0
0
0
0 1 G55
0
0
0 00
0 0 0 0
xx yy
zz
y
z
zx
xy
1
G66
对于均质各向同性弹性体，最一般的情况， 弹性系数有12个，其中2个是独立的。