(完整版)二次函数与实际问题中考题

二次函数与实际问题

类型一用二次函数解决“抛物线型”问题

方法技巧：利用二次函数解决抛物线问题通常有以下几种：拱桥问题、导弹问题、投抛球问题、喷泉喷水问题、跳台跳水问题、荡秋千问题等。解决此类问题常常要建立平面直角坐标系，通过建立图象模型，构造二次函数关系式解决实际问题。

1、如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h=−1/128(t−19)2+8(0⩽t⩽40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行?

2、如图,庄子大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )秒

类型二用二次函数解决方案设计中最优化的问题

方法技巧：方案最优化问题实际就是求函数的最大（小）值，如利润最大，效益最好，材料最省，根据题意列出二次函数关系式，通过配方转化为顶点式后，求最值。

1、为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策：由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担。张刚按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯。已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为

每件12元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=−10x+500.

(1)张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价

为多少元?

(2)设张刚获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?

(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元。如果张刚想要每月获得的利润

不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元?

2、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?

(2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获得的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一次购买的数量的增多,公司所获得的利润反而减少这一情况。为使商家一次购买的数量越多,公司所获得的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

类型三利用二次函数、一次函数解决实际综合性问题

方法技巧：分段函数中，自变量在不同取值范围内的解析式也不相同，特别需要相应自变量的变化范围。

1、在长株潭建设两型社会的过程中,为推进节能减排,发展低碳经济,我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后,再投入100万元购买生产设备,进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调研发现,该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理,并且该产品的年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为：y=40−x(25⩽x⩽30) 25−0.5x(30

(1)当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件?

(2)求该公司第一年的年获利W(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损?若盈利，最大利润是多少?若亏损，最小亏损是多少? (3)第二年,该公司决定给希望工程捐款Z万元,该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款;另一部分则为每销售一件产品,就抽出一元钱作为捐款。若除去第一年的最大获利(或最小亏损)以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围。

2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系,如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)

(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润,他能获取的最大利润是多少?

1、y=-3/64x2+11，32

2、36秒

3、600,4000,500

4、50，

∴y=600x(0⩽x⩽10,且x为整数) −10x2+700x(1050,且x为整数) 2750 5、12，12.5，30⩽x⩽35 6、y1=2x(x⩾0) y=12x2(x⩾0) 32

课后习题：

1、如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A、B. C. D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E. F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；

(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值?

2、某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部

售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国

内销售数量x（千件）的关系为：y1=

15x+900 (0

-5x+130 (2≤x<6)

；若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为y2= 100 (0

5t+110 (2≤t<6)

（1）用x的代数式表示t为：t=___；当0

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润W（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）公司每年国内、国外的销量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？