齿轮的可靠性设计

exp ecta t ion of x and g (x) a re
E (x) = E (xd) + ΕE (x r) = xd= θx
(5)
E [ g (x) ]= E [ gd (x) ]+ ΕE [ gr (x) ]= gd (x) = g (θx)
(6)
A cco rd ing to K ronecker a lgeb ra and the random
可靠性指标 Β定义为
Β= E [ g (x) ]
(11)
V ar[g (x) ]
这样一方面可以利用可靠性指标直接衡量齿轮的可
靠性; 另一方面在假设基本随机参量向量 X 服从正 态分布时, 用失败点处的状态面的切平面近似地模
拟极限状态面, 可获得可靠度的一阶估计量
R = 5 (Β)
(12)
式中 5 (·) 为标准正态分布函数。
二 摄动方法
可靠性设计的一个目标是计算可靠度
∫ R =
fx (x) dx
(1)
g (x) > 0
式 是 fx (x ) 为基本随机参量向量 x = (x1, 2, …, xn ) T
的联合概率密度, g (x) 为状态函数, 可表示齿轮的
两种状态
g (x) ≤0 为失败状态
g (x) > 0 为安全状态
关键词: 齿轮 可靠性设计 摄动法 Keyw o rd s: Gea r R eliab ility design Pertu rba t ion m ethod
一 引言
齿轮传动广泛应用于各种类型的机械设备。 由 于齿轮是结构复杂的零件, 影响齿轮可靠性的因素 很多, 且工况多变, 受载和工艺水平各异, 因而增加 了研究这一问题的困难, 因此, 对齿轮的可靠性设计 迄今尚无定论。 尽管人们明确地知道齿轮的可靠性 问题一般可以通过可靠性试验来完成, 然而, 常常由 于试验条件、人力、物力、时间的限制, 使得可靠性试 验难以实现。 因此, 探讨一种有效的计算方法是十 分必要的。 本文根据国家标准 GB 3480- 83[1], 运用 摄动方法和可靠性设计理论, 提出了对圆柱齿轮进 行可靠性设计的一种计算方法, 结果表明, 本文方法 简单明确, 易于应用, 是一种实用而有效的圆柱齿轮 可靠性设计方法。
can be deno ted a s fo llow s:
x= xd+ Εxr
(3)
g (x) = gd (x) + Εgr (x)
(4)
w here is a sm a ll p a ram eter, the suffix“d”is fo r the
certa in p a rt of random p a ram eter, and the“r”fo r
(2)
In troduction
Gea r d rive is w idely adap ted to a ll k ind s of m e2 chan ica l equ ipm en t s. T he com p lex con st ruct ion of gea r in t roduces m any facto rs w h ich influence gea r reliab ility. V a rying w o rk cond it ion, va riou s load and p rocess level a ll con t ribu te to the d iffcu lty in re2 so lving the p rob lem. B y now there is no d ifin ite conclu sion on reliab ility design of gea r. A lthough the p rob lem can be so lved by reliab ility exp rim en t, it is ha rd to ca rry ou t the exp erim en t under the lim 2 it of the exp erim en t cond iton s, m an pow er, resou rce and t im e. T herefo re a num erica l m ethod shou ld be in t roduced. A cco rd ing to the standa rd GB 3480- 83 of Peop le’s R ep ub lic of Ch ina, u sing the p ertu rba2 t ion m ethod and the reliab ility design theo ry, th is p ap er p ropo ses a num erica l m ethod to ca lcu la te and design the gea r reliab ility. A cco rd ing to the resu lt, the m ethod is convienen t and p ract ica l.
随机部分, 且具有零均值。 显然这里要求随机部分
要比确定部分小得多。 对上面两式取数学期望, 有
E (x) = E (xd) + ΕE (x r) = xd= θx
(5)
E [ g (x) ]= E [ gd (x) ]+ ΕE [ gr (x) ]= gd (x) = g (θx)
(6)
同理, 对其取方差, 根据 K ronecker 代数[2]和相应的
gr (x) =
5gd (x 5xT
)
x
r
(9)
把 (9) 式代入 (8) 式, 有
Vwenku.baidu.coma r [ g (x) ]= Ε2E
5 gd (X ) 5 xT
[2]
x [2] r
=
5 g (θx) 5 xT
[2]
V ar (x)
(10)
式中 V ar (X ) 为随机参量的方差矩阵, 包含所有的
方差和协方差。
than the certa in p a rt, acco rd ing to T aylo r exp an2
sion of vecto r va lue and m a t rix va lue funct ion s, w e
can get the f irst2o rder exp an sion of gr (x ) nea r the
vecto r and g (x) is the funct ion ind ica t ing tw o k ind s
of gea r sta tu ses.
g (x) ≤0 fa ilu re sta tu s
(2)
g (x) > 0 safe sta tu s
w here g ( x ) = 0 is the u lt im a te sta tu s equa t ion,
ana lysis theo ry, their va riances a re V ar (x) = E [ (x- E (x) ) [2 ] ]= Ε2E [ x r [2 ] ] (7)
V ar [ g ( x ) ] = E [ ( g ( x ) - E ( g ( x ) ) ) [2] ] = Ε2E [ ( gr (x) ) [2] ]
w h ich determ ines a m u lt ip le d im en sion s cu rve su r2
face, ca lled the u lt im a te sta tu s su rface o r fa ilu re
su rface.
R andom p a ram eter vecto r x and sta tu s g ( x )
随机分析理论[3], 有
V ar (x) = E [ (x- E (x) ) [2 ] ]= Ε2E [ x r [2 ] ] (7)
V ar [ g (x) ]= E [ (g (x) - E (g (x) ) ) [2] ]= Ε2E [ (gr (x) ) [2] ]
(8)
这 里 (x - E (x ) ) = [2] (x - E (x ) ) ( x - E (x ) ) 为 K ronecker 幂, 符号 为 K ronecker 积。根据向量值 和矩阵值函数的 T aylo r 展开式, 当随机参量的随机 部分比其确定部分小得多时, 可以把 gr (x) 在 E (x) = xd 附近展开到一阶为止, 有
齿轮的可靠性设计
Rel iab il ity D esign of Gear
东北大学 张义民 闻邦椿
N ortheast U n iv ersity Z hang Y im in W en B ang cun
吉林工业大学 刘巧伶
J i L in Ind ustry U n iv ersity L iu Q iaoling
(8)
w here (x - E (x ) ) [2] = (x - E (x ) ) (x - E (x ) ) is
K ronecker pow er, sym bo l is k ronecker m u lt ip li2
ca t ion. B ecau se the random p a rt is m uch sm a ller
2 97
这里极限状态方程 g (x) = 0 为一个 n 维曲面, 称为 极限状态面或失败面。
把随机参量向量 x 和状态函数 g (x) 表示为
x= xd+ Εxr
(3)
g (x) = gd (x) + Εgr (x)
(4)
这里 Ε为一小参数, 下标为 d 的部分表示随机参量
中的确定部分, 下标为 r 的部分表示随机参量中的
Perturba tion M ethod
O ne goa l of the reliab ility design is ca lcu la t ion the reliab ility deg ree, w h ich is deno ted by:
— 34 — 传动技术 D rive System T echn ique
the random p a rt w h ich ha s a average va lue of zero.
O bviou sly it is requ ired tha t the random p a rt is
m uch sm a ller the certa in p a rt. T he m a them a t ica l
[ 摘要 ] 根据国家标准 GB 3480- 83, 应用摄动方法和可靠性设计理论, 对齿轮进行了可靠性设计, 并且编制 了实用的计算机程序, 可以迅速准确地得到圆柱齿轮的可靠性设计信息。 [Abstract ]A cco rd ing to the standa rd GB 3480- 83 of Peop le’s R ep ub lic of Ch ina. T he gea r reliab ility is ca l2 cu la ted and designed u sing the p ertu rba t ion m ethod and reliab ility design theo ry. T he u sefu l p rog ram can be u sed to ob ta in the reliab ility design info rm a t ion of cylind rica l gea rs accu ra tely and qu ick ly.
三 基于齿面接触强度的可靠性设计
齿轮的计算接触应力为
2 97
∫ R =
fx (x) dx
(1)
g (x) > 0
w here fx (x ) is the un ion p robab ility den sity of x (x1, x2, …xn ) T , x is fundam en ta l random p a ram eter
po in t xd
gr (x) =
5gd (x 5xT
)
x
r
(9)
Sub st itu t ing (9) in to (8)
V a r [ g (x) ]= Ε2E