高考数学数列创新题的基本类型分析

高考数学数列创新题的
基本类型分析
Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
数列创新题的基本类型及求解策略
高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。

这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。

当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型。

下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略。

一、 创新定义型
例1、 已知数列)}({*N n a n ∈满足：)()2(log *1N n n a n n ∈+=+，定义使 ________]20051[)(......*321=∈⋅⋅⋅M ，，N k k a a a a k 内所有企盼数的和则区间叫做企盼数为整数的数解：
)2(log )2(log ......4log 3log ......),()
2(log 2132321*1+=+⋅=∴∈+=++k k a a a a N n n a k k n n
要使)2(log 2+k 为正整数， 可设
)(912005221)(22)(,22)(*1*11N n n ，N n n k n k n n n ∈≤≤⇒≤-≤∈-==++++令即
2056
,2056181
2)
12(292)2.......222()22(.......)22()22()22()22()(]20051[9
210432104329
1
19
1==---=
⨯+++++=-++-+-+-=-==∑∑=+=M n k M ，n n n 内所有企盼数的和则区间评析：准确理解企盼数的定义是求解关键。

解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。

二、 性质探求型
例2、 已知数列)}({*N n a n ∈满足：
_________)7()65,4,3,2,1(2005*
3
=⎩⎨⎧∈≥-==+a ，N n n a ，n n
a n n 则且。

解：由,6,)6(636*3++++=≥=-=∈≥-=n n n n n n n a a n a a a N n n a a 时有从而知当知且于是
知
11163342005===+⨯a a a 。

评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的。

其中性质探求是关键。

三、 知识关联型
例3、设F 是椭圆
1672
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi （i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 .
解析：由椭圆第二定义知||||||||/
/i i i i i i P P e F P e P P F P =⇒=，这些线段长度的最小值
为右焦点到右顶点的距离即|FP1|=17-，最大值为右焦点到左顶点的距离即
|FP21|=17+，故若公差d>0,则
,
1010,2112,)1(1717≤
<∴≥+>
∴-+-=+d d
n d n 同理若公差d<0,则可求得0101
<≤-
d 。

评析：本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有一定的难度，可见命题设计者的良苦用心。

解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后根据数列的通项公求出公差的取值范围。

四、 类比联想型
例4、 若数列)}({*N n a n ∈是等差数列，则有数列
;)(,......*321也是等差数列N n n
a a a a
b n
n ∈++++=类比上述性质，相应地：若数
列)}({*N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则有数列。

N n d n 也是等比数列)(_______,__________*∈=
解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到。

N n c c c c d n n
n 也是等比数列)(,.......*321∈⋅⋅⋅=
评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口。

五、 规律发现型
例5、将自然数不清，2，3，4……排成
数陈（如右图），在2处转第一个弯，
在3转第二个弯，在5转第三个
弯，….，则第2005个转弯处的数为
____________。

解：观察由1起每一个转弯时递增的数
字可发现为“1，1，2，2，3，3，4，
4，……”。

故在第2005个转弯处的数
为：
1+2（1+2+3+……+1002）+1003=1006010。

评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现。

具体解题时需要较强的观察能力及快速探求规律的能力。

因此，它在高考中具有较强的选拔功能。

六、 图表信息型
ij （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式；
21―22 ―23―24―25－26 | | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

解：（I）a
45
49
=（详见第二问一般性结论）。

（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
a j
j1
431
=+-
()；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
a j
j2
751
=+-
()，……，第i行是首项为431
+-
()
i，公差为21
i+的等差数列，因此j
j
i
j
i
ij
j
i
i
a
ij
+
+
=
+
+
=
-
+
+
-
+
=)1
2(
2
)1
)(1
2(
)1
(3
4
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
N i j j
=++
()
21，从而2122121
N i j j
+=+++
()=++
()()
2121
i j。

即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
212121
N k l
+=++
()()，从而N k l l a
kl
=++=
()
21可见N在该等差数阵中。

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

评析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项公式。

七、几何计数型
例7、如图，第n个图形由第
n+2边形“扩展”而来的。

记第
n个图形的顶点数为
,........)
3,2,1
(=
n
a
n
，则
2005
a= 。

解：由图易知：,7
6
42
,6
5
30
,5
4
20
,4
3
12
4
3
2
1
⨯
=
=
⨯
=
=
⨯
=
=
⨯
=
=a
a
a
a从而易知4030056
2008
2007
......)
3,2,1
(
)3
)(
2
(
2005
=
⨯
=
∴
=
+
+
=a
n
n
n
a
n
评析：求解几何计数问题通常采用“归纳—猜想—证明”解题思路。

本题也可直接求解。

第n个图形由第n+2边形“扩展”而来的，这个图形共由n+3个
n+2边形组成，而每个n+2边形共有n+2个顶点，故第n个图形的顶点数为
4030056
2008
2007
......)
3,2,1
(
)3
)(
2
(
2005
=
⨯
=
∴
=
+
+
=a
，
n
n
n
a
n。

八、“杨辉三角”型
例8、如图是一个类似“杨辉三角”的图
形，第n行共有n个数，且该行的第一个数
和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于
第n－1行与之相邻的两个数的和，
,.....)
3,2,1
(
,.......
,
,
2,
1,
=
n
a
a
a
n
n
n
n
分别表示第n
行的第一个数，第二个数，…….第n 个
数。

求)
2
(
2,
N
n
n
a
n
∈
≥且的通项式。

解：（1）由图易知.
,.........
11
,7
,4
,2
2,5
2,4
2,3
2,2
=
=
=
=a
a
a
a从而知}
{
2,n
a是一阶等差数列，即
....
..........
..........
..........
..........
5
11
14
11
5
4
7
7
4
3
4
3
2
2
1
)1
......(
2
2,2
2,3
=
-a
a
以上n-1个式相加即可得到：
评析：“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题。

求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解。

有兴趣的同学不妨求出)
,(*j ，i N j i a ij ≥∈的通项式。

九、 阅读理解型
能表示十进制中最大的数是 解：通过阅读，不难发现：
111:2121217,2121206,
2120215,2120204,21213,21202,2112
1021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯= 于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是
631
212212*********:11111165
43210=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。

评析：通过阅读，将乍看陌生的问题熟悉化，然后找到解决的方法，即转化成等比数列求解。

总之，求解数列创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案，最后利用等差、等比数列有关知识来求解。

)2(2
2
22
)
2)(1(2)2)(1()1( (4322)
2,2,2,22,N n n n n a n n a n n n a a n n n ∈≥+-=+-+=⇒-+=-++++=-且即。