逻辑关联词

4．若非空集合 A、B、C 满足 A∪B＝C，且 B 不是 A 的子
集，则( B )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A” 的必要条件 解析：∵A∪B＝C，∴A⊆C，∴x∈A⇒x∈C，∵B 不是 A
D．∀x∈R，x2－2x＋1＜0
其中正确的是( D ) A．②③ B．①②④ D．①②③④
C．①③④
5．有 A、B、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在 三个盒子上各有一张纸条．A 盒子上的纸条写的是“苹果在此 盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上 的纸条写的是“苹果不在 A 盒内”．如果三张纸条中只有一张 写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？ 解：若苹果在 A 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条写的为 真，不合题意．若苹果在 B 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条
|=a sin +cos =a, (2)∵ 1+sin =a|sin +cos 2 2 2 2 而 sin 2 +cos 2 =a1+sin =a2 1+sin =|a| 1+sin =a,
∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.
Q, ∴p 是 q 的充分但不必要条件.
解：m＝－1时，Sn＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝2－1＝ 1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n 1＝2n 1.
－ －
所以an＝2n 1(n∈N*)，即数列{an}成等比数列．
－
所以m＝－1是数列{an}成等比数列的充分条件． 另一方面，当数列{an}成等比数列时，则有a1a3＝a2 2，而a1 ＝S1＝2＋m，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4， 由4(2＋m)＝22，解得m＝－1.即m＝－1是数列{an}成等比数列 的必要条件． 综上所述，m＝－1是数列{an}成等比数列的充要条件．
1 x 3 x 2 解析：x∈(0，＋∞)， ＝ >1， 1 2 x 3 1x 1x 故 > ，p 1 是假命题． 2 3
1 1 1 取 x＝ ，则 log 1 > log 1 成立，p 2 是真命题． 2 2 2
2 3
1．“等式 sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列” 的(A) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．a∈R.则“a(a－3)<0”是“关于 x 的方程 x2－ax＋a＝0 没有实数根”的 ( A ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
例2 已知 f(x)=ax2+bx+c(a, b, cR), 求证: 关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解的充要条件是: 存在 x0R, 使 af(x0)<0. 证: ①充分性: 若存在 x0R, 使af(x0)<0, 即 a2x02+abx0+ac<0, 则 a0, 且 △=b2-4ac>b2-4(-a2x02-abx0) =(2ax0+b)2≥0. ∴关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解. ②必要性: 若关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数解, 设为 x1, x2, 且 x1<x2, 则 a0(否则, 方程 f(x)=0 不会恰有两 个不相等的实数解, 矛盾). x1+x2 ∴f(x)=a(x-x1)(x-x2). 取 x0= 则 x1<x0<x2, , 2 2(x -x )2 a 1 2 ∴af(x0)=a2(x0-x1)(x0-x2)=<0, 4 这说明存在 x0R, 使af(x0)<0. 故由 ①, ② 可知关于 x 的方程 f(x)=0 恰有两不相等的实数 解的充要条件是: 存在 x0R, 使 af(x0)<0.
②若 Q
P, 则 p 是 q 的必要但不充分条件;
③若 P=Q, 则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件); ④若 PQ 且 QP, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
小范围能推出大范围大范围 推不出小范围
典型例题
例1 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件: (1) p: x>5, q: x≥5; =a ; (2) p: 1+sin =a, q: sin +cos 2 2 (3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切; (4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体; (5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形. 解: (1)设 P={x | x>5}, Q={x | x≥5}, ∵P
②若 qp, 但 pq, 则 p 是 q 的必要但不充分条件.
③若 pq, 且 qp, 则 p 是 q 的充要条件. ④若 pq, 且 qp, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
3.集合观点
设 P={x | p(x)成立}, Q={x | q(x)成立}, ①若 P Q, 则 p 是 q 的充分但不必要条件;
2 3
x
x
x
1 p3：∀x∈(0，＋∞)， > log 1 x； 2 2
1 1 p4：∀x∈ 0， ， 3 2
x
< log 1 x.
3
其中的真命题是( D )
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
解题思路：利用幂函数、指数函数、对数函数的图像与性 质进行判断．
的子集，∴x∈C⇒/ x∈A，选 B.
(D)
A．命题 p 一定是真命题 B．命题 q 一定是真命题 C．命题 q 一定是假命题 D．命题 q 可以是真命题也可以是假命题
2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是( C ) A．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋1>0 C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0
全称量词、全称命题 存在量词、特称命题 一般形式、真假判断、否定的写法
全称量词和存在量词：
• 短语“对所有的”，“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词, 符号表示：
含有全称量词的命题,叫做全称命题.
• 短语“存在一个”“至少有一个”在逻 辑上通常叫做存在量词, 符号表示： 含有存在量词的命题,叫做特称命题.
由函数的图像知，p3 是假命题．
1x 1 当 x∈ 0， 时， ＜1，而 log 1 x＞1，所以 p 4 是真命题． 3 2
3
故选 D.
比较两个数的大小时，可用函数的性质，也可以 引入中间量，都和中间量进行比较．
3．圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点的充要条件是 ( B )
A．k∈(－ 2， 2) B．k∈(－ 3， 3) C．k∈(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) D．k∈(－∞，－ 3)∪( 3，＋∞) 4．设集合U ＝{(x，y)|x∈R，y∈ R}，A＝ {(x，y)|2x－ y＋m ＞0}，B ＝{(x，y)|x＋y－n≤ 0} ，那么点P(2,3)∈A∩(∁ UB)的充 要条件是 ( A) A．m>－1，n＜5 C．m＞－1，n＞ 5 B． m<－ 1，n＜ 5 D ．m＜－ 1，n＞5
1、命题：
一般地，我们把用语言、符号或式 子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 命题． 其中判断为真的语句叫做真命题， 判断为假的语句叫做假命题．
看看下列语句是不是命题？
1) 你寒假作业是不是没做？ 2) -2不是整数。 3) 4>3。 4) x>4。
5) 求证：x∈R，方程x2+x+1=0无实根。
(3) p: D2=4F, q: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切.
解: 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0与 x 轴相切 2-4F=0 E 1 D 2 2 . |- 2 |= 2 D +E -4F 且 E0 E0 2-4F=0 D 将 E 0 形成的值看作集合 Q, P 形成的集合看作 P, 显然 Q P. ∴p 是 q 的必要但不充分条件. (4) p: 多面体是正四棱柱, q: 多面体是长方体. 解: ∵正四棱柱是特殊的长方体, ∴{正四棱柱} {长方体}. ∴p 是 q 的充分但不必要条件. (5) p: △ABC中, acosB=bcosA, q: △ABC为等腰三角形. 解: ∵acosB=bcosA, ∴2RsinAcosB=2RcosAsinB. ∴sin(A-B)=0. ∴A=B . ∴pq. 而 q 中没有指明哪两个角相等, 又显然 qp, ∴p 是 q 的充分但不必要条件.
写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在 B
盒内．同样，若苹果在 C 盒内，则 B、C 两盒子上的纸条写的 为真，不合题意．综上，苹果在 B 盒内．
例 1：下列 4 个命题：
1 1 p1：∃x∈(0，＋∞)， < ； 2 3
p2：∃x∈(0,1)， log 1 x> log 1 x；
不是Hale Waihona Puke Baidu疑问句）
是（否定陈述句） 是（肯定陈述句） 不是（开语句） 不是（祈使句）
可以判断真假的语句 .
1 0.
真命题 假命题 真命题
0.5是整数. 3是12的约数.
可以判断真假的语句 .
判断真假 正确 错误
不是命题.
假命题.
四种命题的概念与表示形式:
第三节：命题的三种运算
命题P 真 真 命题Q 真 假 P∧Q 真 假 P∨Q 真 真
p
假 假
假
假
真
假
假
假
真
假
真
真
（1）P∧Q只有两个命题都是真的时候，才会是真的； （2） P∨Q只有两命题都是假的时候，才会是假的； （3） P命题和非命题的真假关系始终相反；
四、充要条件
1.充分与必要条件
①若 pq, 但 qp, 则 p 是 q 的充分但不必要条件.
否
为
逆 否
互 否
互
否命题 若p 则q 互逆
逆否命题 若q 则p
注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
简单的逻辑联结词、 全称量词与存在量词
3.量词的否定
原
大于(>)
小于(<)
都是
都不是
至少 n 个
至多 n 个
否定
不大于(≤)
不小于(≥)
不都是 至少有一个是 至多 n-1 个
至少 n+1 个
如果原命题为：若p，则q，则它的：
逆命题为： 若q，则p，
否命题为：
若┐p，则┐q，
逆否命题为： 若┐q，则┐p，
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q; 否命题: 若p, 则q;
原命题 若p则q 逆命题: 若 q, 则 p; 逆否命题: 若q, 则p. 互逆 逆命题 若q则p
互
互 否 为 逆
例4：(2010年辽宁)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b 的充要条件是 ( C ) 1 2 1 2 A．∃x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0 1 1 2 B．∃x∈R，2ax2－bx≤2ax0 －bx0 1 2 1 2 C．∀x∈R，2ax －bx≥2ax0－bx0 1 2 1 2 D．∀x∈R，2ax －bx≤2ax0－bx0
1 2 解题思路：x0是二次函数y＝2ax －bx的极值点． 1 2 1 b2 b2 解析：由于a>0，令y＝2ax －bx＝2ax－a －2a， b2 b 此时函数对应的开口向上，当x＝a时，取得最小值－2a， b 而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝a. 1 2 b2 因2ax0－bx0＝－2a＝ymin， 所以对于任意的x∈R，都有 1 2 b2 1 2 y＝2ax －bx≥－2a＝2ax0－bx0. 故选C
①② 填序号)． 5．在下列四个结论中，正确的有______( ①若 A 是 B 的必要不充分条件，则非 B 也是非 A 的必要不 充分条件； ②“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件．
【互动探究】 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋m(m为常数)，问：m＝ －1是数列{an}成等比数列的什么条件？