直接反投影法

• 设 f x, y 此时输入是位于原点的的一个 r • 函数，输出时系统的传递函数。 • 由书上的3-16知gθ (R)= • •
r 0 0 r r cos R rdrd 2 r [ r cos R ] drd
投影函数 g(R)
? 反投影函数 fb（x，y）
数学角度定量分析
• 投影函数在θ 方向上的投影函数gθ (R)，gθ (R)直 接反投影重建函数fb 贡献为
•
bθ (x,y)= g ( R ) ( x cos y sin R ) dR

• ( x cos y sin R ) 表示直线，而bθ (x,y)表示θ 方向上的反投影密度函数，将其进行0~π积分即可 得到反投影函数fb(x,y)
-
• 即fb(x,y)= b x , y d d g R ( x cos y sin R ) dR

0 0



• 明显，得到的密度函数fb 与原函数fx不一样。 • 解决办法： • 即修正fb • 如何修正?
Leabharlann Baidu
• 信号与系统中有通过输出而进行逆变换得 到输入，故我们可以将f（x,y）视为输入， 而fb（x,y）视为输出，然后找到他们之间的 联系即传递函数或者冲激响应，即可设计 出逆系统来恢复f（x，y）。
投影法重建图像
直接反投影法
• 反投影重建算法 • 断层平面中某一点的密度值可
以看作是这一平面内所有经过该点 的射线的投影值之和（的均值）
• • • • • • • • • •
设x1=5,x2=0,x3=2,x4=18 p1=x1+x2=5,p2=x3+x4=20 p3=x1+x4=7,p4=x2+x4=18 p5=x3=2,p6=x1+x4=23,p7=x2 =0 重建后的图像像素； x1=p1+p3+p6=35; x2=p1+p4+p7=23; x3=p2+p3+p5=29； x4=p2+p4+p6=61; 求平均： x1=5,x2=3.3,x3=4.1,x4=8.7
1

F
1
F ,
F b ,
• 故，为得到真实的密度函数 f x , y 可以先求 出反投影函数f b（x，y）的傅里叶变换 F , • 加上权重 之后再求其逆傅里叶变换，就可得 到 f（x，y）
R 直接反投影 f b x , y f b x , y 2 DFT F b , F , g
2
r
= =
0

R


0
d R
• R 的反投影密度函数即冲激函数响应函数 • h b （r）为 •
h b r

0
d R [ r cos R ] dR

r cos d
d 0
2 DIFT f x, y
thankyou!
(3)
(4)
(1)
5 2
0
(7)
(2)
18
(6) (5)
5 4 .1
3 .3 8 .7
• 问题
原图像中像素值不为零的点反投影 重建后仍较突出，但原图中像像素 值为零的点，经反投影重建后不再 为零，即有伪迹
• 直接反投影法 • 把每次测得的投影数据“原路”反投影到投影线的各
个像素上。
密度函数 f（x，y）
0
•
=

-



2
d
1 r
0
r cos

fb x , y f x , y
1 r
F b ,

F ,

1

F , F b , 所以 f ( x , y ) F