数值计算方法第4章4-06反插值
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
数值计算方法第4章PPT学习教案
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0.028 797 106
算法 4.2.1（Newton 插值法）
(1) 输入： xi, f j (2) zi f j （i=0，1，2，…，n） (3)计算差商
对 i=1，2，…，n 做
1)对
j
=i，i+1，…，n
做
f
j
(zj (xj
z j1) x j1)
;
2)对 j =i，i+1，…，n 做 zi f j ;
(x x0 )(x x1)(x x2 ) f [x, x0, x1, x2 ] 一般的，在节点x0, x1, x2,...,xn上有
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f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x0 , x1] (x x0 )(x x1) f [x0 , x1, x2 ] ... (x x0 )(x x1)...(x xn1) f [x0 , x1,...xn1] (x x0 )(x x1)...(x xn1)(x x)n f [x, x0 , x1,...xn ]
这里h>0为常数，称为步长，这时Newton插值公 式就可以简化，为此我们引入差分概念。
定义 4.2.2 设函数 f(x)在等距节点 xi a ih (i=0,1,2,…，n) 上值为 fi f (xi ) ，则
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(1)称 fi fi1 fi (i=0,1,2,…，n)为函数 f(x)在点{xi}0n 上 的一阶向前差分（简称差分）；又称 k fi k1 fi1 k1 fi (k=1,2,…,n;i=0,1,…,n-k)为函数 f(x)在点{xi}0n 上的 k 阶向前差 分，这里约定{xi}0n ;
lim
f [x h, x0, x1,...,xn ] f [x, x0, x1,...,xn ]
第4章插值法
( x xi ) i 0 ( x j xi )
i j
j 0,1,2 ,, n
n+1次多项式
令 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
则 n1 ( x j ) ( x j x0 )( x j x1 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
x0
x1
x2
x
x3
x4
Lagrange插值多项式
假定已知区间 xk , xk 1 端点处的函数值yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 )
为了求得便于使用的简单的插值多项式P(x), 我们先讨论n=1的情形
要求线性插值多项式L1(x), ( xk 1 ) yk 1
L1(x)的几何意义就是通过这两点的直线；
yk 1 yk L1 ( x) yk ( x xk )(点斜式） xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk yk 1 (两点式） xk 1 xk xk 1 xk
xk 1 x x xk L1 ( x) yk yk 1 (两点式） xk 1 xk xk 1 xk
在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值
例2. 用Lagrange 线性插值多项式求例1中的f (175).
解: 由于插值点x 175在x1 169与x2 225之间
解: 设x0 144, x1 169, x2 225 y0 12, y1 13, y2 15
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
计算方法第四章插值方法演示
➢ Lagrange插值法的插值余项
设节点 ax0x1 xnb，且 f 满足条件 f Cn[a,b],
f (n1)在[a , b]内存在 , 截断误差(或插值余项):
f(n 1)( ) R n(x)f(x)L n(x)(n1 )! n 1(x)
,
(a,b)
l2 ( x)
(x (x2
x 0 )( x x1 ) x 0 )( x 2 x1 )
抛物线基函数
于是
L 2(x)
(x (x0
x1)(x x1)(x0
xx 2) 2)y0
(x (x1
x0)(x x0)(x1
xx22 ))y1
(x (x2
x0)(x x0)(x2
xx 1) 1)y2
2
li(x)yi
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插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P(x) 使其通过给定的 n 个 1点 (，x i , y i ) (i0,1, ,n) 并且与已知曲线 y 有f (一x)定的近似度。
x
y = f (x) •
y = p(x)
(xi, yi)
曲线 P ( x)
§4.0 引言
➢ 许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数数据 表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论分析和 进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需要设法去 寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函数(或近似函 数)。
➢ 另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜计算机 使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此涉及连续变 量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。如数值积分 方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法等，都必须直
线性插值与二次插值公式ppt课件
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
数值计算方法插值法
f[x1,x2,x3] …
f[x0,x1,x2 ,x3]
例阶2.1差1商求值f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各
解xi :
计算得如下表 f[xi] f[xi,xi+1]
f[xi,xi+1,xi+2 ]
f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
00
28
80 4 20
27 8 19 19 4 5
an x0 n an1x0 n1 a1x0 a0 f (x0 )
an x1n
an1
x n1 1
a1x1 a0
f (x1 )
an xn n an1xn n1 a1xn a0 f (xn )
这是惟一一个性关说于明待，定不参论数用何种方法来构a造的0，,n+也a11阶不, 线论性用, 方何an种形式来表示插值多项式,
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , (x x0 )(x x1 ),, (x x0 )(x x1 )(x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
f[x0 , x1]=
f(x1)- f(x0) x1 – x0
f[x1 , x0]
f(x0)- f(x1) =
x0 – x1
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x0 , x2 , x1
性质3 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多项式, 则 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多项式
数值计算方法第四章
58 第四章 函数插值插值是对函数进行近似的基本方法，本章介绍了代数插值时常用的Lagrange 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法和三次样条插值法，并相应的介绍了差商，差分和插值余项等概念．§4.1 引 言在科学与工程计算中，常会遇到如下问题：已知)(x f y =在区间[,]a b 上的一系列点{}ni i x 0=处的函数值{}ni i y 0=，需要利用这些数据来求某点)(i x x x ≠处的函数值的近似值．若能利用这组数据建立一个近似)(x f 的函数)(x φ，)(x f 的值就可以用)(x φ近似求出．已知函数)(x f 在区间],[b a 上1+n 个互异节点{}ni i x 0=处的函数值{}ni i y 0=．若函数集合Φ中函数()x φ满足条件()() (0,1,2,,)i i x f x i n φ==(4.1)则称)(x φ为)(x f 在Φ中关于节点{}ni i x 0=的一个插值函数，并称)(x f 为被插值函数，],[b a 为插值区间，{}ni i x 0=为插值节点．式(4.1)被称为插值条件．函数集合Φ可以有不同的选择，最常用的是形式简单的多项式函数集合．将多项式作为插值函数进行插值的方法称为代数插值．针对区间],[b a 上1+n 个互异节点，代数插值就是要确定一个不超过n 次的多项式n n x a x a a x +++= 10)(φ (4.2)使其满足插值条件(4.1)，即选取参数{}0ni i a =，满足线性方程组0001111111nn n n n nn a y x x a y x x a y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (4.3)59记方程组(4.3)的系数矩阵为A ．由于插值节点互异，故0)()det(1)(0≠∏-=->=n j i j j i x x A ．线性方程组(4.3)存在惟一的一组解T ),,,(10n a a a ．若0≠n a ，)(x φ是一个n 次多项式，否则)(x φ的次数低于n ．于是有下面的结论．定理4.1 满足插值条件(4.1)的不超过n 次的多项式存在并且惟一．)(x φ与)(x f 在插值节点{}n i i x 0=处函数值相同，但它们在其它x 处的函数值并不一定相同．将()()()n R x f x x φ=- (4.4)称为用插值多项式)(x φ近似)(x f 的插值余项．定理4.2 )(x φ是对)(x f 关于节点{}ni i x 0=的n 次插值多项式，若)()1(x f n +在区间],[b a 内存在，则对[,]x a b ∀∈，有插值余项(1)1()()()()()(1)!n n n f R x f x x x n ξφω++=-=+ (4.5)其中),()(b a x ∈=ξξ，101()()()()n n x x x x x x x ω+=---．证明 由于)(x φ与)(x f 在插值节点上函数值相同，故 ()()()0 (0,1,n i i i R x f x x i nφ=-== 因此插值余项可设为)()()(1x x k x R n n +=ω(4.6)将x 视为区间],[b a 上异于{}ni i x 0=的任一固定点，作辅助函数)()()()()(1t x k t t f t g n +--=ωϕ易于验证01,,,n x x x 和x 为)(t g 在区间],[b a 上的2+n 个零点．由Rolle 中值定理知，函数)(t g '在区间),(b a 上至少有1+n 个互异零点，这1+n 个零点形成n 个子区间，在这些子区间上对)(t g '再次使用Rolle 定理，可知函数)(t g ''在),(b a 上至少有n 个互异零点．依次类推，函数)()1(t g n +在),(b a 上至少有1个零点，即存在ξ，使得0)()!1()()()1()1(=+-=++x k n f g n n ξξ从而得到)!1()()()1(+=+n f x k n ξ60 将上式代入式(4.6)就得到插值余项(4.5)，定理得证．虽然通过1+n 个点{}ni i i y x 0),(=的不超过n 次的多项式惟一，但可以选用不同的基来表示这个多项式．在本章，将选取两组不同的基函数表示该插值多项式，即Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式．§4.2 Lagrange 插值在构造n 次插值多项式时，式(4.2)简单地选取了n x x x ,,,12作为n 次多项式空间的一组基函数．为确定待定系数n a a a ,,,10 ，需要求解线性方程组(4.3)．能否选择另外一组基函数来避免求解线性方程组？下面从线性插值来着手分析．线性插值就是构造一条直线使其通过两点),(00y x 和),(11y x ．此直线的两点式方程为)(001010x x x x y y y y ---=-将其等价变形为10100101y x x x x y x x x x y --+--=(4.7)式(4.7)满足插值条件，并且右端是关于x 的一次多项式，故式(4.7)就是所求的插值多项式．将其记为)(1x L ，并引入记号,)(1010x x x x x l --=101)(x x x x x l --=式(4.7)就可以写成11001)()()(y x l y x l x L += (4.8) 容易验证)()(10x l x l 和线性无关，它们被称为线性插值的Lagrange 插值基函数．观察两个基函数，发现它们具有如下性质⎩⎨⎧==0)(1)(1000x l x l 1011()0()1l x l x =⎧⎨=⎩ 对于三点),(00y x 、),(11y x 及),(22y x 的插值可以类似地写出一个二次多项式612211002)()()()(y x l y x l y x l x L ++=为了满足插值条件，上式中基函数)()(10x l x l 、、)(2x l 需分别满足下面的关系式⎪⎩⎪⎨⎧===0)(0)(1)(201000x l x l x l ⎪⎩⎪⎨⎧===0)(1)(0)(211101x l x l x l ⎪⎩⎪⎨⎧===1)(0)(0)(221202x l x l x l 将以上思路推广到1+n 个节点的情形，将经过1+n 个点{}ni i i y x 0),(=的n 次插值多项式表示为∑==++++=ni i i n n n y x l y x l y x l y x l y x l x L 0221100)()()()()()( (4.9))(x L n 被称为关于节点{}ni i x 0=的Lagrange 插值多项式，式中() (0,1,,)i l x i n =被称为基于节点{}ni i x 0=的Lagrange 插值基函数．当每个基函数() (0,1,,)i l x i n =分别满足条件⎩⎨⎧≠≤≤==ij n j ij x l j i ,0,0,1)( (4.10)时，可以验证)(x L n 满足插值条件．对于某一个特定的{}n i ,2,1,0∈， )(x l i 为不超过n 次的多项式．根据式(4.10)，)(x l i 在除节点i x 外的其余n 个节点处函数值为零, 故)(x l i 可表示为)())(())(()(1110n i i i i x x x x x x x x x x k x l -----=+-由1)(=i i x l 解出)())(())((11110n i i i i i i i i x x x x x x x x x x k -----=+-这样就得到插值基函数)(x l i 的具体表达式)())(())(()())(())(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+- (4.11)式(4.11)也可写为)()()()(11i ni n i x x x x x l ++'-=ωω62 依据公式(4.11)，前面提到的三点插值的Lagrange 插值基函数为))(())(()(2010210x x x x x x x x x l ----=))(())(()(2101201x x x x x x x x x l ----=))(())(()(1202102x x x x x x x x x l ----=例4.1 对于x y =，已知14)196(,13)169(,12)144(===f f f ，用Lagrange 线性和二次插值多项式求165的近似值，并给出插值误差估计． 解 记196169144210===x x x ，，；141312210===y y y ，，．由于165=x 处在0x 和1x 之间，以它们为插值节点的Lagrange 线性插值多项式为011010110() x x x x L x y y x x x x --=+-- 代入已知数据得25144132516912)(1-⨯+--⨯=x x x L 所以4.1225144165132516916512)165()165(1=-⨯+--⨯=≈L f 以210,,x x x 为插值节点的二次Lagrange 插值多项式为0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------代入已知数据得2(169)(196)(144)(196)(144)(169)()12131413006751404x x x x x x L x ------=⨯+⨯+⨯-所以8448.12)165()165(2≈≈L f由于xx f 21)(='，2341)(--=''x x f ，2583)(-='''x x f ．故由式(4.5)可知，在165=x 处线性插值多项式的余项6311(165)()(165144)(165169)max ()4812!214416912(144)48 4.1667102R f f x x f ξ''''=--≤⨯≤≤-''=⨯=⨯同理在165=x 处二次插值多项式的余项241441961(165)()(165144)(165169)(165196)3!11max ()1488(144)1488 6.54061066x R f f x f ξ-≤≤=---''''''≤⨯=⨯=⨯ §4.3 Newton 插值当插值节点逐个增加时，考察插值多项式之间的联系．只有一个节点0x 时，插值多项式为0y y =．当增加一个节点1x 时，由点),(00y x 和),(11y x 确定的线性多项式为1010001010()()()y y p x y x x y c x x x x -=+-=+-- (4.12) 进一步考察三个节点012,,x x x 上建立的二次插值多项式2()p x ．由于2()p x 与1()p x 在01,x x 处函数值分别相等，故01,x x 是方程21()()0p x p x -=的根，则21201()()()()p x p x c x x x x -=--即21201()()()()p x p x c x x x x =+-- (4.13) 同理，当节点由k 个增加到1k +个，分别由它们所确定的1k -次和k 次多项式之间的关系为1011()()()()()k k k k p x p x c x x x x x x --=+--- (4.14)从上面的关系式可以看出，新增加一个节点，新的k 次多项式只需要在原来1k -次多项式的基础上增加一项即可，而且增加的这一项只需要确定系数k c ．将式(4.12)、(4.13)等前面1k -个式子依次代入(4.14)就得到()k p x 的具体形式为010011()()()()()k k k p x y c x x c x x x x x x -=+-++--- (4.15)64 可将式(4.15)看成是以0010111,,()(),,()()()k x x x x x x x x x x x x -------为基函数的插值多项式的表达形式，这种插值方法被称为Newton 插值法． 一、 差商的定义给定1k +个节点，求出k 次Newton 插值多项式(4.15)的关键是求出系数12,,,k c c c ．将插值条件111()p x y =代入(4.12)可以求出10110y y c x x -=- (4.16) 同理将插值条件222()p x y =代入(4.13)，并结合1()p x 的表达式有2012022122202120211021201101212110202120[()]()()()()()()[()]()()()y y c x x p x p x c x x x x x x x x y y y y y y c x x c x x x x x x x x x x x x -+--==--------+-----==--- (4.17)可见1c 是在两点处函数值增量与自变量增量的商，数学上将它形象的称为差商．系数2c 可以看成是差商的增量与自变量的增量的商．下面给出差商的一般定义：已知()y f x =在互异节点012,,,x x x 处的函数值分别为012,,,y y y ，定义[,]j i i j j iy y f x x x x -=- (4.18)为()f x 在节点,i j x x 处的一阶差商．定义[,][,][,,]j k i j i j k k if x x f x x f x x x x x -=- (4.19)为()f x 在节点,,i j k x x x 处的二阶差商．更一般的，对于任意的正整数k ，当定义了两个1k -阶差商11[,,,]i i i k f x x x ++-和12[,,,]i i i k f x x x +++后就可以定义()f x 在节点1,,,i i i k x x x ++处的k 阶差商6512111[,,,][,,,][,,,]i i i k i i i k i i i k i k if x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-=- (4.20)另外，规定()f x 在点i x 上的函数值()i f x 是()f x 在点i x 处的零阶差商，记为[]i f x ．在实际计算中，常常采用表4.1所示差商表计算各阶差商． 差商具有以下性质性质1 差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n ，有01'111[,,,]()()nn i i n i f x x x f x x ω=+=∑以上结论可以用数学归纳法进行证明．从性质1可知，改变节点的排列次序并不影响差商的值，由此得出差商的对称性．性质2 差商具有对称性，即01012[,,,,][,,,]n n i i i f x x x x f x x x =其中{}01,,,n i i i 是{}0,1,2,,n 的任意排列．66 性质3 设()f x 的n 阶导函数存在，则有()()01[,,]!n n f f x x x n ξ=，这里0101(min(,,),max(,,))n n x x x x x x ξ∈，该性质的证明后面给出．二、Newton 插值多项式将式(4.12)中的0y 和1c 写成差商的形式，得到一次的Newton 插值多项式10010()[][,]()N x f x f x x x x =+-从(4.17)式可知2012[,,]c f x x x =，将2c 代入(4.13)式，得到二次的Newton 插值多项式2001001201()[][,]()[,,]()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--一般的，由式(4.14)可知1011()()()()()k k k k N x N x c x x x x x x --=+---将k x x =代入上式，且利用插值多项式的惟一性有11011011()()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k k k k k N x N x f x L x c x x x x x x x x x x x x ------==------ 这里1()k L x -表示1k -次Lagrange 插值多项式，将1()k L x -展开并利用差商性质1得1100()011110010()()()()()()()()()()()()k k k j k i i j j i i j k k k k k k k i k i k k k i j k i j j i x x f x f x x x c x x x x x x f x f x x x x x x x x x --==≠---=-=≠⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭=---=---⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∏∑∏01'11()[,,,]()ki k i k if x f x x x x ω=+==∑．故k 次Newton 插值多项式的表达式00100101()[][,]()[,,]()()k k k N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-++-- (4.21)67基于相同的插值条件，无论是用Lagrange 插值法还是Newton 插值法构造出的多项式相同，故相应的插值余项也应相同．根据定理4.2可知n 次Newton 插值多项式的插值余项为(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x N x x n ξω++=-=+另外插值余项也可以用差商表示．设x 是异于01,,,n x x x 的一点，则由这2n +个节点确定的以x 为自变量的1n +次多项式为100100101101010101()[][,]()[,,]()()()[,,,]()()()()[,,,,]()()()n n n n n n n n N t f x f x x t x f x x x t x t x t x f x x x x t x t x t x N t f x x x x t x t x t x +-=+-++---+---=+---由于1()n N t +满足插值条件，即1()()n N x f x +=，将x 代入上式得0101()()[,,,]()()()n n n f x N x f x x x x x x x x x x =+---于是n 次Newton 插值多项式的插值余项的差商形式为011()()()[,,,]()n n n n R x f x N x f x x x x x ω+=-= (4.22)对比两种余项表达式，可得 ()(1)01[,,,](1)!n n f f x x x x n ξ+=+ (4.23) 以上推导过程同时也证明了差商的性质3．例4.2 已知单调函数()y f x =在4个点处的函数值如下表用插值法求方程()0f x =在区间(0.00, 1.80)内根的近似值．解 由于()y f x =是一个单调函数，所以反函数)(1y fx -=存在．以y 为自变)(1y f x -=的三次Newton 插值多项式为2() 1.12 1.866667( 1.10)0.2904761( 1.10)(0.5) 0.0238095( 1.10)(0.5)(0.9)N y y y y y y y =-+⨯+-⨯++-⨯++-方程()0f x =根的近似值2(0)0.7853571N =．§4.4 等距节点插值前面介绍的方法中节点是任意分布的，实际应用中常碰到节点等距分布的情形，此时Newton 插值多项式有更为简单的形式．为此引入差分算子的概念．设在区间[,]a b 上分布等距节点 (0,1,2,)i x a ih i n =+=，这里b ah n -=称为步长．将()f a ih +简记为i f 或i y ，称1i i i f f f +∆=- (4.24)为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向前差分，简称一阶差分．称1i i i f f f -∇=-为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向后差分．用递推的方法可以给出更高阶的差分的定义．一般的，1111()k k k k i i i i f f f f ---+∆=∆∆=∆-∆(4.25) 被称为()f x 在i x 处以h 为步长的k 阶向前差分，简称k 阶差分．由差分的定义可以得到k 分别取1、2、3时差分与函数值之间的关系1i i i f f f +∆=-2121121()() 2i i i i i i i i i if f f f f f f f f f ++++++∆=∆-∆=---=-+332133i i i i i f f f f f +++∆=-+-11(1)(1)k m m k i k i k k i k k i m i f f C f C f f ++-+-∆=-++-++- (4.26)式(4.26)中!!()!m k k C m k m =-．用数学归纳法可以证明建立在等距节点上的差商和差分具有如下的关系1[,,]!n ii i i n nf f x x x n h ++∆=(4.27) 在节点等距分布时，n 次Newton 插值多项式(4.21)中的各阶差商依据式(4.27)可分别替换成差分形式，并令0x x th =+，则得2000001(1)(1)()(1)2!!n n t t t n N x th f t f t t f f n --++=+∆+-∆+∆ (4.28) 称(4.28)式为Newton 向前差分公式．由式(4.5)还可将插值余项表示为 1(1)(1)()()(), ()(,)(1)!n n n t t t n R x h fx a b n ξξ++--=∈+ (4.29)当节点从大到小顺序排列时，还可得到基于向后差分算子的Newton 向后差分公式．21(1)(1)()(1)2!!nn n n n n n t t t n N x th f t f t t f f n ++-+=+∇++∇+∇ (4.30)§4.5 Hermite 插值在0x 附近，可用()f x 在0x 处的n 阶Taylor 展开式)(x p n 来近似函数()f x显然它与()f x 在0x 处具有相同的函数值，以及1到n 阶导数值，即有()()00()() (0,1,2,)i i n p x f x i n == (4.31)故可将n 阶的Taylor 公式视为在0x 处满足插值条件(4.31)的一种插值方法．nn n x x n x f x x x f x f x p )(!)())((')()(00)(000-+-+=为在较大的范围内能更好的近似被插值函数()f x ，在实际应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至更高阶的导数值也相同．这类插值称为Hermite 插值．在一点处两个函数的函数值和一阶导数值相同，在几何上表现为两条曲线在该点有相同的切线；如果直至二阶导数值相同，则两条曲线在该点具有相同的凹凸性及曲率．可见，Hermite 插值是一类更广泛的插值方法，Taylor 公式可视为在0x 处的Hermite 插值．在构造Hermite 插值时，如给出的插值条件有1m +个，则可以构造一个不超过m 次的插值多项式，下面就一些常见的例子来讨论建立Hermite 插值多项式的方法．例4.3 试确定一个不超过二次的多项式2()p x ，使其满足如下插值条件'200211200(), (), ()p x y p x y p x m ===解 先利用前两个插值条件，构造一个１次的插值多项式011010110()x x x x p x y y x x x x --=+-- 显然，100111(), ()p x y p x y ==，定义2101()()()()p x p x c x x x x =+--这里c 是一个常数，无论c 取何值，插值条件200211() ()p x y p x y ==和都能满足，再利用条件'200()p x m =确定系数c ，即1001010()y y c x x m x x -+-=- (4.32) 从式(4.32)中解出c 回代到2()p x ，得到0011201001011001011()()()()x x y y x x p x y y m x x x x x x x x x x x x ⎡⎤---=++---⎢⎥----⎣⎦ 类似于定理4.2的证明，可求出插值余项为(3)222011()()()()()()3!R x f x p x f x x x x ξ=-=-- 这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．例4.4 求一个三次多项式3()H x 使其满足插值条件300311''300311(), (),(), ().H x y H x y H x m H x m ====解 构造四个不超过3次的插值多项式0101(),(),(),()x x x x ααββ，使它们分别满足''00010001''10111011''00010001''10111011()1, ()0, ()0, ()0;()0, ()1, ()0, ()0;()0, ()0, ()1, ()0;()0, ()0, ()0, () 1.x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααββββββββ⎧====⎪====⎪⎨====⎪⎪====⎩ 则满足插值条件的多项式可以写成如下形式3001101()()()()()H x x y x y x m x mααββ=+++ (4.33) 假设2210001()()[()]()x x x Ax B l x Ax B x x α⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，可验证条件'0101()0, ()0x x αα==是自动满足的．现利用另外的两个条件00000001()11'()2()0x Ax B x A Ax B x x αα=+=⎧⎪⎨=++=⎪-⎩求解可得00101221x A B x x x x =-=+--，．于是有函数20100101()12x x x x x x x x x α⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭ (4.34) 同理可得21111010()12x x x x x x x x x α⎡⎤⎛⎫--=-⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭ (4.35)假设2210001()()[()]()x x x Cx D l x Cx D x x β⎛⎫-=+=+⨯ ⎪-⎝⎭，可验证条件'0101()0, ()0x x ββ==是自动满足的．现利用另外的两个条件00000001()01'()2()1x Cx D x C Cx D x x βα=+=⎧⎪⎨=++=⎪-⎩求可得01C D x ==-，． 于是有函数210001()()x x x x x x x β⎛⎫-=-⨯ ⎪-⎝⎭(4.36)同理可得201110()()x x x x x x x β⎛⎫-=-⨯ ⎪-⎝⎭(4.37)得到插值多项式0011301010110100100110110()1212()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫----=-+- ⎪⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭２２２２ (4.38)上式称为三次Hermite 插值多项式，其余项为(4)2233011()()()()()()4!R x f x p x f x x x x ξ=-=--这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．上面介绍了两种典型Hermite 插值问题的解法，例4.3将所求的多项式()p x 分解为()()q x r x +的形式，()q x 用Newton 插值法或者Lagrange 插值法确定，()r x 用待定系数法确定．例4.4采用了每个点分别构造两个基函数，再与该点函数值和导数值组合的方法．实际问题可仿照此两例类似求解．§4.6 分段插值在一个较大的区间[,]a b 上，如果用只过两个点的线性插值函数近似()f x ，效果显然不会很好．为了提高近似效果，一种方法是插入新节点．随着新节点的不断插入，插值多项式的次数通常会逐渐增高．节点数增多固然使插值多项式在更多的节点处与被插值函数有相同的函数值，但在两相邻插值节点之间，插值函数未必能够很好地近似被插值函数，它们之间甚至会有非常大的差异，即收敛性得不到保证，因此在实际中很少采用七、八次以上的高次插值．图4.1所示的是在区间[5,5]-上，分别采用五次和十次基于等距节点的Lagrange 插值多项式对函数21()1f x x=+进行近似的情况．不难看出，该近似随着插值多项式次数的增加，插值函数在节点间震荡的很厉害．另一种提高近似效果的方法是插入节点将区间分成很多小区间，在每个小区间上采用低次插值（一次或二次），即分段插值方法． 一、 分段Lagrange 插值设在区间[,]a b 上有1n +个点01n a x x x b =<<<=，它们将区间分成了n 个小区间．若已知函数()f x 在每个点上的函数值分别为() (0,1,2,)i i y f x i n ==，在每个小区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上做线性插值，最终得到一个分段线性函数1()g x ．1()g x 在每个小区间上是线性函数，在整个区间[,]a b 上连续，且经过所有点{}ni i i y x 0),(=．图4.1 高次插值不稳定现象示意图1()g x 在区间1[,]i i x x -上的具体表达式为 11111()i i i i i i i i x x x x g x y y x x x x ------=+-- (4.39)依照Lagrange 插值方法的思路，也可通过构造基函数的方法来构造1()g x ．若点i x 上的基函数()i x ϕ满足以下条件 (1) 在每个小区间上都是线性函数；(2) 0 () 1 i k i kx i kϕ≠⎧=⎨=⎩；则1()g x 可以表示成这些基函数与函数值的线性组合，即10()()nj j j g x y x ϕ==∑．分段线性插值多项式的余项可以通过线性插值多项式的余项进行估计． 定理4.3 设有节点01n a x x x b =<<<=及相应的函数值{}0ni i y =，"()f x 在[,]a b 上存在，1()g x 是基于点集{}ni i i y x 0),(=对()f x 的分段线性插值多项式，则有插值误差估计21()()()8h R x f x g x M =-≤ (4.40)其中''11max ,max ()i i i na x bh x x M f x -≤≤≤≤=-=．证明 根据式(4.5)，在每个区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上1()g x 的插值余项为''11()()()()2!i i i i R x f x x x x ξ-=-- 其中1(,)i i i x x ξ-∈．取绝对值1''1''211()()()()2!11max ()()2!4i i i i i i i i x x x R x f x x x x f x x x ξ---≤≤=⨯--≤⨯-因此，在整个区间[,]a b 上，设11max ,max ''()i i i na x bh x x M f x -≤≤≤≤=-=21()max ()8i i n h R x R x M ≤≤≤≤从而定理得证．类似地，可构造分段二次插值函数2()g x ．将整个区间[,]a b 分成n (n 为偶数)个小区间，在区间222[,] (0,1,,1)2i i nx x i +=-上，2()g x 的表达式为21222222221221222************2222221()()()()()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x g x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ++++++++++++++----=+------+-- (4.41)类似定理4.3证明，可推出分段二次插值的插值余项为32()()()12h R x f x g x M =-≤其中'''222max ,max ()i i a x bh x x M f x +≤≤=-=．分段插值函数虽在插值节点上连续，但在节点上导数不一定存在，故光滑性比较差．但从整体而言，能对被插值函数达到较好的近似，特别是将区间划分的足够多，足够细时更是如此． 二、 分段Hermite 插值4.5节的例4.4构造了两点三次Hermite 插值多项式，结合分段插值的思想可以构造分段三次Hermite 插值，即在每个小区间1[,]i i x x -上构造两点三次Hermite 插值3()S x ．相应的插值条件为3'3 () (0,1,2,) ()i iii S x y i n S x m =⎧=⎨=⎩在区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上，将节点01,x x 替换为1,i i x x -就得到分段三次Hermite 插值多项式，22113111112211111()1212 ()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ------------⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫----=-+- ⎪⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+-+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭(4.42)3()S x 具有以下性质(1) 3()S x 在区间[,]a b 上是连续函数；(2) 在插值节点i x 上，33(), '()i i i i S x y S x m ==； (3) 在每个小区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上，3()S x 是不超过三次的多项式．虽然3()S x 对()f x 有着比12(),()g x g x 更好的近似效果，但构造3()S x 时不仅需要每个节点上函数值还需要每个节点上的导数值，过多的数据要求限制了它在工程上的使用．工程中常采用不需要节点导数信息却依然能达到二阶光滑性的三次样条插值方法．§4.7 三次样条插值一、 三次样条插值函数的定义{}0ni i x =是区间[,]a b 上的1n +个节点，若函数()S x 满足条件(1) 在区间[,]a b 上()S x 具有连续二阶导数； (2) 在每个小区间1[,] (1,2,3,,)i i x x i n -=上，()S x 是一个三次多项式；(3) 在节点处满足插值条件，即() (0,1,2,,)i i S x y i n ==．则称()S x 为()f x 关于节点{}ni i x 0=的三次样条插值函数．在每个小区间上()S x 是三次多项式，则在每个小区间上需要确定4个待定系数．由于一共有n 个小区间，故在整个插值区间上有n 4个待定系数．依据三次样条插值函数的定义，共有如下24-n 个约束边界节点处： 00(0)()(0)()n n S x f x S x f x +=⎧⎨-=⎩内节点i x 处: ''''''(0)(0)(0)(0) (1,2,3,,1)(0)(0)()()i i i ii i i i S x S x S x S x i n S x S x S x f x -=+⎧⎪-=+⎪=-⎨-=+⎪⎪=⎩要确定n 4个待定系数, 还需附加2个约束条件．通常在[,]a b 的边界上补充两个边界条件，常见的补充条件有以下三种．(1) 给定端点处的一阶导数值（转角边界条件），即''00(), ()n n S x m S x m == (4.43)(2) 给定端点处的二阶导数值（弯矩边界条件），即''''00(), ()n n S x M S x M == (4.44)特别地, 当00==n M M 时，称该条件为自然边界条件． (3) 周期性边界条件''0''''0(0)(0)(0)(0)n n S x S x S x S x ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩(4.45)78 二、 三次样条插值函数的构造1 三转角构造算法设'()i i S x m =，并利用已知节点{}0n i i x =处函数值{}0ni i y =，得到每个区间1[,]i i x x -上的三次Hermite 插值多项式．2211111112211111()1212 ()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ------------⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫----=++++ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭记1--=i i i x x h ，则上式可以写为[][]22111332211122()2()()2()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i ix x h x x x x h x x S x y y h h x x x x x x x x m m h h -------+--+-=++----+然后利用''()S x 在每个内节点{}10n i i x -=处的连续性，得到含{}0ni i m =的1n -个约束方程．引入记号1++=i i ii h h h μ，i i μλ-=1，则内节点i x 处基于二阶导数连续建立的方程为)1,1( 211-==+++-n i f m m m i i i i i i μλ (4.46)这里1113i i i i i i i i i y y y y f h h μλ+-+⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭．对第一种边界条件，已知0m 和1m ，可由式(4.46)解出其它的参数{}11n i i m -=．对于第二类边界条件，由''''00(),()n n S x M S x M ==得到两个附加的约束方程0110110232M h h y y m m --=+n nn n n n n M h h y y m m 23211+-=+--用求解三对角方程的追赶法解出{}0ni i m =．在区间],[1i i x x -上，将1-i m 和i m 回代就得到三次样条插值函数()S x 在该段上的表达形式． ２ 三弯矩构造算法设''()(0,1,,)i i S x M i n ==，在区间],[1i i x x -上''()S x 为线性函数，即有79111111''()i i i i i i i ii i i i i ix x x x x x x x S x M M M M x x x x h h ----------=+=+-- 对''()S x 积分两次，并利用插值条件11()()i i S x f x --=和()()i i S x f x =确定积分常数，得3311()()()66i i i i i ix x x x S x M M h h ----=++i i i i i i i i i i hx x h M x f h x x h M x f 122116)(6)(----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 利用'()S x 在内节点{}10n i i x -=处的连续性，得到含{}0ni i M =的1-n 个约束方程．引入记号,1++=i i i i h h h λ 11+++=i i i i h h h μ则有],,[621111+-+-=++i i i i i i i i x x x f M M M μλ )1,,2,1(-=n i (4.47)对于第二类边界条件，已知n M M ,0，进而有方程组(4.47)求的其它参数{}11n i i M -=．对于第一类边界条件'00()S x m =和'()n n S x m =，可得到两个附加约束方程11010],[62h m x x f M M -=+nn n nn n h x x f m M M ],[6211---=+ 对于周期性边界条件,可将方程组写为{}()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------],,[],,[],,[],,[],[],[622222121233212101110122101122221100n n n n n n n n n n n n n n n x x x f x x x f x x x f x x x f h h x x f x x f M M M M M λμμλμλμλμλ式中n h h h +=110λ, nn h h h +=10μ． 用追赶法求解方程组，在每个区间],[1i i x x -上将解出的1-i M 和i M 回代就得到三次样条插值函数()S x 在该区间上的表达式．知识框架图80 ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩Lagrange 插值法Lagrange 型插值Newton 插值法代数插值Hermite 插值Hermite 型插值样条插值习题四1 分别用Lagrange 插值和Newton 插值建立过点(2,1), (0,1), (3,2), (5,8)---的三次插值公式．2 已知函数cos y x =的如下数据构造差商表，并用三次插值公式计算cos(0.45)的近似值(保留4位有效数字)． 3 已知单调连续函数()y f x =的下列数据试求方程()0f x =的近似根(保留4位有效数字)．4 设()(01)xf x e x =≤≤，试建立一个二次插值多项式()p x ，使它满足如下条件''''(0)(0),(0)(0),(1)(1),(1)(1)p f p f p f p f ====并给出插值余项．5 设()f x 在[,]a b 上有连续的二阶导数，且()()0f a f b ==，求证21max ()()max ''()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤- 6 已知()f x 的如下数据81试建立满足插值条件()() (1,2,3)i i P x f x i ==以及''(2)(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出插值余项表达形式．7 用数学归纳法证明差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n ，有01'01()[,,,]()ni n i n if x f x x x x ω=+=∑8 证明等距节点上差分与差商满足关系1[,,]!n ii i i n nf f x x x n h ++∆=．9() (0,1,)i l x i n =分别是是互异节点{}0ni i x =处的Lagrange 插值基函数，证明() ( 0,1,)nk kj j j x l x xk n ===∑10 （数值试验）设21()1f x x=+，分别利用区间[5,5]-4等分点、6等分点、8等分点和10等分点构造四次、六次、八次和十次的插值多项式，并用MATLAB 软件绘出它们的图像，观察随着次数的增加，近似效果会有怎样的变化？11 （数值试验）利用如下数据建立()f x 在区间[0,3]上的三次样条插值函数。
数值计算方法第4章4-06反插值
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p(3) (3 0)(3 4) 0 (3 1)(3 4) 2 (3 1)(3 0) 10 8
(1 0)(1 4)
(0 1)(0 4)
(4 1)(4 0)
（2）由于 f (x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反
函数表
y f (x)
-1
0
2
10
1
x f 1(y) - 3
-1
0
4
?
已知连续函数 f ( x) 在x 1,0,2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛
顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。（2） f ( x) 0.5 时，x 的近似值。
解 （1）根据已知条件列表
x
-3 -1
0
4
3
f (x) - 1
0
2
10
？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
p(x) (x 0)( x 4) 0 (x 1)( x 4) 2 (x 1)( x 0) 10 将
(1 0)(1 4)
y f (x) 则 x f 1 ( y) ，有函数表。
y
-4
-1
0
3
0.5
x
-1
0
2
3
?
根据已知 x f 1 ( y) 的函数值，构造差商表。
y
x
-4
-1
-1
0
0
2
3
3
牛顿插值多项式
一阶
1/ 3 2
1/ 3
反插值
（2）由于 f ( x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反 函数表
y f (x)
-1 -3
0 -1
2 0
10 4
1 ?
x f 1 ( y)
已知连续函数 f (x ) 在x 1,0, 2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛 顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。 （2） f ( x ) 0 .5 时，x 的近似值。 解 （1）
的近似
f (x )
在
x 3, 1,0, 4
时的值分别是 。 时,
1,0, 2,10
。
(1) 用拉格朗日二次插值计算 (2) 用拉格朗日三次插值确定
f (3)
f ( x) 1 x
的近似值。
解
（1）根据已知条件列表
x
f (x)
-3 -1
-1 0
0 2
4 10
3 ？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
x f
1
(0.5) 2.9107
1
1
( y ) ,令
( y ) ，有函数表。
y
-4 -1
1-Βιβλιοθήκη 00 23 30.5 ?
x
根据已知
x f ( y)
的函数值，构造差商表。
y -4 -1 0 3
x -1 0 2 3 牛顿插值多项式
一阶 1/ 3 2 1/ 3
二阶
三阶
5/ 12 - 5/ 12 - 5/ 24
x f 1 ( y ) f ( y0 ) f [ y0 , y1（y y0 ) f [ y0 , y1 , y2（y y0 )( y y1 ) ] ] f [ y0 , y1 , y2 , y3（y y0 )( y y1 )( y y2 ) ]
数值计算方法黄云清答案
数值计算方法黄云清答案【篇一：2011用书】class=txt>说明：从2009年起，教育部提倡各招生单位不指定参考书目。
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高等数学参考书目011数学与统计学院参考书目013物理科学与技术学院参考书目016信息科学与工程学院参考书目020生命科学学院参考书目021资源环境学院参考书目022草地农业科技学院硕士研究生参考书目【篇二：实用数值方法教学大纲】t>大纲说明课程代码：总学时：32（讲课24学时，实验8学时）总学分：2学分课程类别：专业选修课适用专业：预修要求：高等数学、线性代数、c语言课程的性质、目的、任务：数值计算方法是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，也是科学计算的基础。
通过本课程的学习，要求学生了解数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。
本课程主要介绍数值计算的基本方法以及其在工程中的应用，以高等数学、线性代数、高级语言程序设计为预修课，通过对数值分析内容的讲解，提高学生用数学的思想去指导编程的能力。
教学基本方式：本课程以课堂讲授为主，辅以计算机编写数值计算程序进行巩固。
大纲的使用说明：本校四年制本科工程类相关专业使用本大纲，讲授内容可以根据学时做适当增删。
大纲正文第一章数值计算引论算法的稳定性与收敛性。
重点：误差的基本概念。
难点：算法的稳定性与收敛性。
教学内容：第一节：数值计算方法第二节：误差的来源第三节：近似数的误差表法第四节：数值运算误差分析第五节：数值稳定性和减小运算误差学时：2学时（讲课2学时）基本要求：了解数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，第二章非线性方程的数值解法学时：6学时（讲课4学时，实验2学时）基本要求：了解迭代法和弦截法的求解过程，掌握算法背后的理论思想，会用学习的方法求解非线性方程的根。
反距离插值法
反距离插值法反距离插值法是一种常用的空间插值技术，它可以根据已知数据点的空间位置和属性值，推算出未知位置的属性值。
在GIS、遥感、地质勘探、气象、环境监测等领域都有广泛的应用。
本文将介绍反距离插值法的原理、方法、优缺点及应用情况。
一、原理反距离插值法的基本思想是：未知位置的属性值与已知位置的属性值成反比例关系，距离越近的点权重越大，距离越远的点权重越小。
具体地说，反距离插值法将未知位置的属性值估算为：Z(x,y)=Σ(wi*zi)/Σwi其中，Z(x,y)是未知位置的属性值，zi是已知位置i的属性值，wi是已知位置i与未知位置之间的距离的倒数，Σ表示对所有已知位置i求和。
反距离插值法可以根据不同的权重函数来计算权重值，常用的有以下几种：1.反距离权重函数（IDW）：wi=1/di^p，其中di是已知位置i与未知位置之间的欧氏距离，p是指数参数，控制着距离对权重的影响程度。
当p=0时，权重不受距离影响；当p=1时，距离对权重影响呈线性关系；当p>1时，距离越小的点权重越大，距离越大的点权重越小。
2.反方距离权重函数（IDFW）：wi=1/(di^2+ε^2)，其中ε是平滑参数，避免了距离为零时权重无穷大的情况。
3.反高斯权重函数（IGW）：wi=exp(-di^2/2σ^2)，其中σ是控制权重分布范围的参数，越大则权重分布越平缓，越小则权重集中在距离较近的点上。
二、方法反距离插值法的具体步骤如下：1.确定插值区域和网格大小。
2.确定已知数据点的空间位置和属性值。
3.根据选定的权重函数计算每个已知点与未知点之间的权重。
4.根据权重计算未知点的属性值。
5.根据需要进行插值结果的平滑处理。
三、优缺点反距离插值法的优点是简单易用，计算速度快，适用于任何数据类型和空间分布形式，且可以根据需要进行参数调整和平滑处理。
但是，它也存在一些缺点，如容易出现插值误差累积、对噪声敏感、权重函数的选择对结果影响较大等。
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( y ) ,令
( y ) ，有函数表。
y
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0.5 ?
x
根据已知
x f ( y)
的函数值，构造差商表。
y -4 -1 0 3
x -1 0 2 3 牛顿插值多项式
一阶 1/ 3 2 1/ 3
二阶
三阶
5/ 12 - 5/ 12
p ( x) ( x 0)(x 4) ( x 1)(x 4) ( x 1)(x 0) 0 2 10 将 (1 0)(1 4) (0 1)(0 4) (4 1)(4 0)
x 3 ，代入
p (3)
(3 0)(3 4) (3 1)(3 4) (3 1)(3 0) 0 2 10 8 (1 0)(1 4) (0 1)(0 4) (4 1)(4 0)
4.6 反插值
已知 ( xi , f ( xi )), i 0,1, 值问题。 已知 ( xi , f ( xi )), i 0,1,
x , n ，求某一
f ( x) 处
的近似值， 这是插
x , n ，若要求 f ( x ) 等于某一值时
1,0, 2,10
的近似
值，这与插值问题恰好相反，这便是反插值问题。 例 连续函数
- 5/ 24
x f 1 ( y ) f ( y0 ) f [ y0 , y1（ ] y y0 ) f [ y0 , y1 , y2（ ] y y0 )( y y1 ) f [ y0 , y1 , y2 , y3（ ] y y0 )( y y1 )( y y2 )
f (1.5) P (1.5) 4 3 (1.5 1) ( 5 / 6)(1.5 1)(1.5 0) ( 5 /12)(1.5 1)(1.5 0)(1.5 2) 0.40625
（ 2 ）由于函数 y f ( x ) 单调连续，存在反函数f
x f
1
(0.5) 2.9107
（2）由于 f ( x) 是单调连续函数，用反插值，将函数表转换成反 函数表
y f ( x)
-1 -3
0 -1
2 0
10 4
1 ?
x f 1 ( y)
已知连续函数 f ( x ) 在x 1,0, 2,3 的值分别是-4，-1，0，3，用牛 顿插值求（1） f (1.5) 的近似值。 （2） f ( x ) 0 .5 时，x 的近似值。 解 （1）
f ( x)
在
x 3, 1,0, 4
时的值分别是 。 时,
。
(1) 用拉格朗日二次插值计算 (2) 用拉格朗日三次插值确定
近似值。
解
（1）根据已知条件列表
x
f ( x)
-3 -1
-1 0
0 2
4 10
3 ？
取靠近 3 的三个节点- 1，0，4，作拉格朗日二次插值
x
f ( x)
-1 -3
0 -2
2 0
3 4
1．5 ？
根据已知函数
f ( x)
的函数值，构造差商表。
xi
-1 0 2 3
f ( xi )
-4 -1 0 3
一阶
二阶
三阶
3 0. 5 3 - 5/ 6 - 5/ 6 - 5/ 12
P ( x ) f [ x0 ] f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 , x3 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )