6.2 鲁棒性分析(1)

• 在许多将一些非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式问题 中，通常会用到Schur补性质： 比如说：考虑一个矩阵s∈Rnxn，并将s进行分块：
S= S11 s12 S21 s22
其中的s11是rxr维的。假定s11是非奇异的，则s22-s21s11-1s12称 为s11在s中的Schur补。其具有以下性质：
S>0; s11>0, s22-s21s11-1s12>0; S22>0, s11-s12s22-1s12>0;
• 这个性质可以用在二次型矩阵不等式转化为线性矩阵不等式 中。
例如，二次型矩阵型不等式如下：
ATP+PA+PBR-1BTP+Q<0 其中：A,B,Q=QT>0,R=RT>0是给定的适当维数的常数矩阵， P是对称矩阵变量，则应用上述引理，可以将此矩阵不等式的 可行性问题转化t;0 ｝是一个凸集合。 证明：对任意的x1,x2∈￠和任意的a∈(0,1),由于F(x1)>0 , F(x2)>0 以及F(x)是一个仿射函数，故 F(ax1+(1-a)x2)=aF(x1)+(1-a)F(x2)>0 所以ax1+(1-a)x2∈￠，即￠是凸的。 此证明说明了线性矩阵不等式这个约束条件定义了自变量空 间的一个凸集，因此是自变量的凸约束。
线性矩阵不等式
• 一个线性矩阵不等式就是具有如下形式： F(X)=F0+x1F1+…+xmFm>0 式中x1,x2,…,xm是m个实数变量，称为矩阵不等式的决策变量， Fi=FiT∈Rnxn(i=0,1…m)是一组给定的实对称矩阵。F(x)>0表示F(x） 是正定矩阵，即对所有的非负向量u,有uTF(x)u>0 。 • 多个线性矩阵不等式 F1(x)>0 … Fn(x)>0 称为一个线性矩阵不等 式系统，引进F(x)=diag[F1(x)>0 … Fn(x)>],则F1(x)>0 … Fn(x)>0 成立当且仅当F(x)>0。因此一个线性矩阵不等式系统也可以用 一个单一的线性矩阵不等式加以表示。 • 所有满足线性矩阵不等式F(x)>0的x的全体构成一个凸集。正是 线性矩阵不等式的这一性质使得可以应用解决凸优化命题的有 效方法来求解相关的线性矩阵不等式问题。证明如下：
预测控制系统 鲁棒性分析
南京信息工程大学 系统科学 徐腾飞 吴庆庆 吴嘉伦 马力
目录
线性矩阵不等式 不确定模型 鲁棒无约束预测控制 鲁棒约束预测控制
• 控制系统的稳定性一般分为两种情况：一是模型准确时的稳定性， 二是在模型失配时的稳定性即所谓的鲁棒性。因此基于确定性模 型设计的最优控制律在应用于实际对象时可能导致系统性能变差， 所以模型预测控制的鲁棒性研究十分必要而且具有实际意义。 • 鲁棒性设计思想： 在内模控制框架下研究MPC性能，指出通过调整反馈滤波器的 参数实现闭环系统的鲁棒性。 基于min-max的鲁棒性设计思想，即将预测控制的在线min问 题变为min-max描述，求解控制律在不确定性集中最坏的情况 下的目标函数值最小。 • 随着线性矩阵不等式理论开始应用于控制问题，这一方法也被引 入min-max预测控制的研究中，它比适用于FIR模型描述更为广泛 的不确定性。 • 总的来说 ，MPC鲁棒性研究大多数以其稳定性研究成果为基础， 然后引入用来保证鲁棒稳定性的鲁棒约束或用来改善鲁棒性能的 可调变量，设计鲁棒控制器使控制系统在稳定的同时具有一定的 鲁棒性。
ATP+PA+Q PB BTP -R >0
的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等 式。
谢
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