第八章 非齐次边界条件处理(3节).

，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取 为x 的线性函数，即
v( x, t ) xA(t ) B(t )
将此式代入上述边界条件解得：
ห้องสมุดไป่ตู้
x v( x, t ) u (t ) (t ) u (t ) l

利用叠加原理，令： u w v 代入波动方程则：
x " wtt a wxx tt a xx [ (t ) "(t )] "(t ) l
2 0 1 ( 0 0 ) l l
l
2 Cn { 0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]} l 0 n x con dx l 2 2 n [ 0 0 cos n ] 0 [1 () ] l l 0 (n为奇数) 4 0 （n为偶数, n 2k , k 1, 2,3,...） l
一、齐次化的一般方法：
1、第一种边界条件：
x 0 , x l两端都是第二类
非齐次边界条件
utt a 2u xx 0
u x0 (t ), u xl (t )
u
y 0
( x), u t
t 0
( x)
此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数
v( x, t )
(0 x l )
(0 x 0 0) (0 0 x l 0) (l 0 x l )
n2 2 a 2 l
2
t ) u x (l , t ) 0
) 0
0 [ x (l 0)]
t ) C0 Cne
n 1


t
n x con l
2

v( x, t ) xA(t ) B(t ) x
代入边界条件得上式。
3、对于第三类边界：
u x0 u(t )
ux
xl
(t )
作代换：令
使得： 且：
u w v
v
x0
u(t )
vx
xl
(t )
v( x, t ) u(t ) x (t )
代入边界条件得上式。

20 1 1 C0 ( )d [ ( )d ( )d ] l0 l 0 l l
l l

2 n 2 n Cn ( )con d ( )[con ] 0 d l 0 l l 0 l
l

2 n ( )[con ] l d l l l
§8.3非齐次边界条件的处理
本节中心内容
非齐次边界转化为齐次边界的问题；
本节基本要求
掌握非齐次边界齐次化的方法 着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思 路、解题步骤。 掌握求解非齐次边界问题的特殊方法
以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数 是对于非齐次边界条件如何处理？ 一般处理方法是要经过 代换转换为齐次的。
2

v( x, t ) A(t ) x B(t ) x 2 代入边界条件得上式。
二、特殊处理方法 利用特殊的形式，找出代换式的值，尽量把方程齐次化
，边界条件齐次化， 初始条件为非齐次的。
例： 弦的
端固定 0 ,
l端受迫作谐振动
A sin , t弦的初始位移和初始速度都是零,
x l t
0 0 0
本征值问题 常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。
用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数 的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题 中的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这 些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。
2
其本征值和本征函数分别为
m
m ( x) Am cos m Bm sin m ,
(m 0,1, 2,)
补充习题：
1.求解薄膜的限定浓度的扩散问题 薄膜厚度为 l ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积 下杂质总量为 0 ，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大 的 t 简化所得到的答案。 在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂 质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的 限定源扩散。 2 解：定解问题 tt xx
( x ) t
t 0
尽管
的方程一般是非齐次的， w( x, t )
u(t ) u xl (t )
但是定解问题具有齐次边界条件,可求解.
2、对于第二类边界： 作代换：令 使得： 且：
ux
x0
u w v
vx
x0
u(t )
v
xl
(t )
x2 v( x, t ) xu(t ) 2 (t ) lu(t ) l
0
( x)dx 0
0

l
( x)dx
l
0
u ( x, t ) C0 Cne
n 1


n2 2 a 2 l
2
t
n x con l
代入初始条件：
nx C0 C n con ( x ) (0 x , l x l ) l n 1
v( x, t ) A(t ) B(t ) x
4、这里还要特别说一下
x 0,x l
ux x0 (t ), ux xl (t )
两端都是第二类非齐次边界条件 的情况, 作代换：令 使得： 且：
u w v
vx
x0
u(t )
vx
xl
(t )
x v( x, t ) xu(t ) (t ) u (t ) 2l
l
2 2
其本征值和本征函数分别为
n 2 l
三、
n X n ( x) Cn cos x (n 0,1, 2,) l
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cn sin l
求弦的振动,这个定解问题是
utt a 2u xx 0, u x 0 0, u t 0 0, ut
(0 x l ) 0
u x l A sin t
t 0
端为非齐次边界条件。 xl
解：设
u w v
x 2 2 wtt a wxx sin t l w x 0 0 w t 0 0
代入边界条件得：
0 ( x 0) (0 x 0 0) n x C0 Cn con 0 (0 0 x l 0) l n 1 [ x (l 0)] (l 0 x l ) 0
1 C0 {0 ( x) ( x 0) 0 ( x) [ x (l o)]}dx l0 00 l 1 1 { 0 ( x 0)dx 0 [ x (l o)]}dx l 0 l l o
u a u o
(0 x l )
u x (0, t ) u x (l , t ) 0
0 (0 x , l x u ( x,0) ( x l ) 0
由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次 边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故
一、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
n X n ( x) Cn sin x (n 1, 2,) l
本征函数及本征函数：
n2 2 2 l
二、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
定解问题转化为
w x l 0 wt
t
0

l
x
(1) 设： ww
w
w(1) tt a 2 w(1) xx 0 w(1) x 0 0 w(1) x l 0 w(1) t 0 0 w(1) t t 0 x l
w( 2 ) w( 2 ) t
2 2
w( x, t ) u( x, t ) ( x, t )
w t 0 ( x) t 0
wt
t 0
w x 0 0
w xl 0
1 ( x) [ (0) (0)]x (0) l
1 ( x) [ (0) (0)]x (0) l
四、
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cnco s l
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
五、
( ) ( ) 0 ( 2 ) ( )
( 2)
x 2 ( 2) 2 ( 2) w a w sin t xx tt l ( 2) + w x 0 0 w( 2 ) t 0 0
x x 取： v( x, t ) u (t ) (t ) u (t ) sin t l l
l
2 n [ ( )d ( )[ 1] d ] l 0 l 0 ( n 为奇数 ) 2 n [ 0 () 0 ] 4 0 l （n为偶数, n 2k ,） l

l
题还可以写成： 2 xx
a u o
0 ( x 0)