※※※※数学分析在中学数学中的应用

数学分析在中学数学中的应用

刘婷 乌鲁木齐第八中学 邮编830001

摘要:高等数学与中学数学的有机结合在中学数学教学中有着重大意义,高等数学为中

学数学提供了丰富的背景材料和科学的理论依据.本文旨在通过探讨数学分析在中学数学中的应用，来显现高等数学对中学数学的指导作用，从而使中学教师能将高等数学思想渗透到中学数学教学实践中去.

关键词：数学分析; 中学数学; 应用

数学分析的形成源自初等数学，它的一些基本概念，如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来而来的.导数是在用代数运算求直线斜率这一问题的基础上发展形成的；积分是在用代数运算求直线所围成的平面图形面积的基础上发展形成的；无穷级数的求和则是在用代数运算求有限级数之和的基础上发展形成的.

因此，用数学分析的基本理论指导中学数学，就能使许多数学问题化繁为简，给中学数学中难以解决的问题开辟一条有效通道；为更透彻的把握初等数学的实质，提供科学的理论依据.

1、数学分析理论有助于加深对中学数学内容的理解

中学数学内容以简明易懂的形式呈现，深层次的背景、原因往往无法探究，其研究方法也有一定的特殊性和技巧性，这导致在处理一般问题时存在较大局限性.比如中学数学中作函数图象一般使用“描点法”，先在坐标系中描出有限点，然后用光滑的曲线连结起来.由于所描的点有限，图象的精确性就无法把握，曲线的走势是否有误也无法做出肯定的回答.再如有些函数最值的求解是用特殊方法解决的，不能推广到一般，并且对所研究函数的图象、性状都不了解，这种情形下，求出的最值是否有偏差就不得而知了，而用微分学方法就可给出圆满的解释.以下举例说明.

例1．求函数f(x)=2

1x x

的最值

用中学数学方法解决如下：

解：当x=0时, f(0)=0;当x ≠0时,f(x)=

x x

+11

(1)若x ＞0,则

x x +1≥2, (x=1时, 取”=”) ∴ 0＜f(x)≤21 (2)若x ＜0,则－x 1－x ≥2,即x

1

+x ≤2, (x=－1时,取“=”)

∴ －2

1

≤f(x)＜0

综上可知，当x=1时,f(x)取最大值21; 当x=－1时, f(x)取最小值－2

1

.

由于此函数不在中学所研究的重点函数之列，故对函数f(x)的图象不清楚.而用中学数学方法去研究此函数的性质及图象较繁，又有一定的难度，因此对求出的最值的准确性就不容易做出判断.用微分学方法来解释就一目了然了.下面先利用导数画出函数的图象.

（1）由初等方法可判断函数f(x)为偶函数，以下只研究〔0, +∞〕内情形.

（2）求出f ˊ(x)=

()

2

2

211x

x

+-, f 〞(x)=

3

22

)

1()3(2x x x +-,

令f ˊ(x)=0, 得 x=1；令f 〞(x)=0, 得 x=0,x=3

（3）考察渐近线，因为∞

→x lim f(x)= ∞

→x lim

x

x 2

1+=0,

所以y=f(x)有水平渐近线y=0. （4）描出图象，如图

由此可清晰地看出函数f(x)在x=－1,1时，分别取到最小值－

21和最大值2

1, 至此，才对前面用初等数学的方法求出的结论给出直观合理的解释.

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容，原高中代数（下）课本封面就有

一个自然数方幂和公式12＋22＋32…n 2=61

n(n+1)(2n+1)，课本是为学习数学归纳

法而提供的一个例题，并没有说明12

＋22＋32＋…n 2的求和方法，而学生却对此很感兴趣，想探明原因，我们用数学分析的合、分观点可处理如下：

令s n =12＋22＋32＋…n 2 ∵n 2=2

1

〔n·n·(n+1)－n·n·(n－1)〕 ∴s n =∑=n

k k 12=[])1()1(2

1

1-⋅⋅-+⋅⋅∑

=k k k k k k n

k =

2

1

〔(1·1·2-2·2·1)+(2·2·3-3·3·2) +…+(n -1)·(n -1)·n -n·n·(n -1)+n·n(n+1)〕

=2

1

〔(-1·2-2·3-3·4-…- n (n-1)+n 2·(n+1)〕 (1) 对1·2+2·3+3·4+…+n(n-1)采用同样的拆项求和法:

=

-∑=n

2

k )1k (k [])2k )(1k (k )1k )(1k (k 31

n

2

k ---+-∑= =3

1

〔(1·2·3-0)+(2·3·4-1·2·3)+(3·4·5-2·3·4) + …+n(n-1)(n+1)-n(n-1)(n-2)〕=3

1

n(n-1)(n+1)

∴(1)= 21〔-31n(n-1)(n+1)+n 2(n+1)〕=6

1

n(n+1)(2n+1)

用微分知识也可导出此结论,首先，由二项式定理得：

x n+1

=〔1+(x-1)〕n+1

=1++-+)1(11x c n +⋅⋅⋅+-+221)1(x c n 11

1)1(+++-n n n x c .

又x n+1-1=(x-1)(1+x+x 2+…+x n )， ∴(x-1)(1+x+x 2+…+x n )

=+-+)1(1

1x c n +⋅⋅⋅+-+22

1)1(x c n 11

1)1(+++-n n n x c ，

即1+x+x 2+…+x n = c n 1

1+++⋅⋅⋅+-+)1(2

1x c n n n n x c )1(1

1-++(x ≠1) 若x=1,上式也成立，则恒有

1+x+x 2+…+x n = c n 1

1+++⋅⋅⋅+-+)1(2

1x c n n n n x c )1(1

1-++， (I) 对(I)式两边求导，

则有1+2x+3x 2+…+nx n-1=c n 2

1++211

13

1)1()1(-+++-+⋅⋅⋅+-n n n n x n x c c ,

由此得x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n =〔c n 2

1++211

13

1)1()1(-+++-+⋅⋅⋅+-n n n n x n x c c 〕〔(x-1)+1〕=c n 2

1++(c n 2

1++2+-+)1)(3

1x c n (2++c n 3

13+⋅⋅⋅+-+24

1)1)(x c n n n n n x c )1(1

1-++,

两边求导得：1+22x+32x 2+…+n 2x n-1

=(c n 2

1++2)3

1c n ++2(2++c n 3

13+⋅⋅⋅+-+)1)(4

1x c n n 211

1)1(-++-n n n x c ,

令x=1，则 12+22+32+…+n 2=6

1

n(n+1)(2n+1),