《数值分析与算法》第六讲-函数插值

(为了方便地计算Newton插值系数)
(递归定义) Th6.8 数学归纳法证明 Th6.9
Wenjian Yu 12
Newton插值

有k-1个节点相同
一阶差商 二阶差商
三阶差商
(例6.10, pp.217)
Wenjian Yu 13
Newton插值

(多项式插值余项的另一种形式)
插值余项
Wenjian Yu
左导数=右导数
前面已经得到2n +2(n-1) = 4n-2 个方程, 还缺 2 个方程！
Wenjian Yu 28
三次样条插值

22
20
18
16
14
(not-a-knot条件, Matlab中spline函数)
Wenjian Yu
12
1
2
3
4
5
6
29
三次样条插值

三次样条插值函数的构造
①以节点一阶导数值为参数列分段Hermite公式, 再定参数 ②以节点二阶导数值为参数, 根据插值条件确定它们
(一个常用的技巧)
Wenjian Yu
8
多项式插值误差估计

Rolle定理
至少有n+1个互不相同的
Wenjian Yu
9
Lagrange插值小结

(例6.9)
Wenjian Yu
10
Newton插值

插值多项式
“点斜式”直线公式:
n个插值节点:
怎么算?
牛顿插值公式:
Wenjian Yu 11
Newton插值

演示模块6.4
“样条”光滑性好 “保形”更反映数据 趋势, 且计算简单
Wenjian Yu 33
样条插值及其他

B-样条函数
可写成基函数的线性组合,
(感兴趣看6.7.3节)
有k-1阶连续导数的分段k次多项式为k次样条函数
基函数为B-样条函数 1次样条函数为分段线性函数 1 B-样条基函数应用广泛(计算机图形
14
Newton插值

增加一 插值点
(判断插值阶数k是否合适) 计算复杂, n较大 时矩阵有病态性
便于动态增、减插值节点 思考题: 比较两种插值法计算未知点处函数值的计算量
Wenjian Yu 15
分段多项式插值
Wenjian Yu
16
高次多项式插值的问题
单个多项式满足所有的插值要求, 光滑性好、易于理论分析
Wenjian Yu 34
介绍第②种方法
做两次积分, 得
Wenjian Yu
30
三次样条插值

三次样条插值函数的构造
Wenjian Yu
31
三次样条插值

(2个方程) … 未知量为位移的二阶导数, 在力学上的意义为”弯矩”
(“三弯矩”方程) 严格对角占优/三对角矩阵 解存在、且唯一
Wenjian Yu 32
三次样条插值
MS
WenΒιβλιοθήκη Baiduian Yu 4
插值与多项式插值

DFT
Wenjian Yu
5
插值与多项式插值

解存在、唯一吗?
(Vandermonde阵)
Wenjian Yu
6
Lagrange插值法

不便于计算、理论分析
“两点式”直线公式:
Wenjian Yu
7
Lagrange插值法

Lagrange 插值函数
保形分段插值

(shape-preserving)
• 否则取调和平均,
Wenjian Yu
相比算术/几何平均， 得到的曲线更平缓
24
保形分段插值

(shape-preserving)
演示 Word中的曲线绘制?
Wenjian Yu
25
样条函数插值
Wenjian Yu
26
三次样条插值
22

20
数 值 分 析 (6)
Numerical Analysis
第六章 函数逼近与函数插值


用较简单的函数近似表示未知函数、或已知复杂函数 逼近：整体上近似 (整体误差最小) 插值：在若干点上两者的值相等 (误差为0)

本章内容
函数逼近的基本概念 连续函数的最佳平方逼近 曲线拟合的最小二乘法 多项式插值
分段线性插值

其中
定理6.10:
Wenjian Yu
19
Hermite插值与分段Hermite插值

称为Hermite (埃尔米特)插值多项式
Wenjian Yu
20
Hermite插值与分段Hermite插值

Hermite插值
基函数
验证它们 !
特殊埃尔米特多项式的构造
Wenjian Yu
学, 几何建模, 数值求解微分方程)

Matlab命令
yi
= interp1(x,y,xi,method) „nearest’, „linear‟, „spline‟, „pchip‟ interp2, interp3, pchip, spline, “Spline toolbox”
二、三维数据的插值 多个函数，含各种边界条件的处理
21
Hermite插值与分段Hermite插值

两点三次埃尔米特插值多项式
n=1情况下的Hermite插值
基函数:
验证与推导?
整体上一阶导数连续
22
Wenjian Yu
Hermite插值与分段Hermite插值

分段三次埃尔米特插值
整体基函数
1
0
1.局部非零的性质 2.整体的收敛性
Wenjian Yu 23
(拉格朗日, 牛顿) 分段多项式插值 样条函数插值
Wenjian Yu 2
多项式插值
Wenjian Yu
3
插值与多项式插值

插值的基本概念
为离散点配曲线，并要求曲线通过各个离散点 y 一种特殊的“逼近”
？

目的与用途
Word的曲线绘制功能 x 图形学/CAD: 画一条通过离散点的光滑曲线 对表达式未知的表格函数, 估算中间点函数值 快速、方便地计算复杂数学函数的函数值 其他方法的基础: 简单函数近似复杂的或未知函数 (非线性方程、数值积分与微分、微分方程数值解法)

收敛性差
Runge现象: 并非多项式的次数n越高, 其逼近程度就越好

保凸性差
有多余拐点(起伏),
违背曲线的凸性(单调性)
3.63
数值稳定性差 : 某个插值点函数值的误差, 会影响整个区间
问题本身的病态性
Wenjian Yu
演示模块6.2
17
分段线性插值

1
时略去)
Wenjian Yu
18
18
16
14
12
10
0
1
2
3
4
5
6
• 二阶导数连续
Wenjian Yu
27
三次样条插值

s0 ( x ), x [ x0 , x1 ] s ( x ), x [ x , x ] 1 1 2 S( x) sn1 ( x ), x [ xn1 , xn ]