机械工程控制基础--系统的数学模型概述
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消去中间变量可得：
L
1 Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
ur
微分方程中的变量也可采用增量方式 表示： 方程形式相同
工作元件存在非线性，在工作点处有导 数或偏导数存在－线性化处理
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
机械工程控制基础
第2章 系统的数学模型
— 微分方程、差分、状态方程 复域模型 — 传递函数、结构图 频域模型— 频率特性
系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
di (t ) ur (t ) L dt Ri(t ) uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t )
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
x o
K2 f
xo
x i
xo
f
K1K2 (K1 K2
)
xo
K1 K1 K2
x i
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
电枢反电势：Eb ce m
— 克希霍夫 — 楞次定律
电磁力矩： 力矩平衡：
Mm cmi
— 安培定律
Jmm fmm M—m牛顿定律
m m
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
Tm m m K mur
Tmm m K mur
Tm Jm R /(R fm ce cm ) 电机时间常数
Km
cm
/(R
fm
ce
cm )
电机传递系数
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K 3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
dt
|h0 h
h0 2
h h0
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
d(h0 h) (
dt
S
h0
2
1 h0
h)
1 S
(Qr 0
Qr )
dh0
dt S
h0
Qr 0 S
上两式相减可得线性化方程
dh
1
dt
2S
h0 h S Qr
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
机械工程控制基础
课程回顾
例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K1( xi xm )
B :
Fm f ( x m xo )
Fo K 2 x0
K1( xi xm ) f ( x m xo ) K 2 xo
K1 x m K1 x i K 2 xo
x m
x i
K2 K1
x o
K2 f
xo
x o
K1 K2 K1
传递函数：
C(s) R(s)
bm sm bm1sm1 ... b1s b0 an sn an1sn1 ... a1s a0
G(s)
m
K * (s z j )
⑴ 首1标准型：G(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
m1
m2
( k s 1)
(
2 l
s
2
2
l
s
1)
⑵
尾1标准型：G(s) K
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh
1
dt S
h S Qr
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
dh
1
h
h0
首1标准型
4
s1
(s 1)
G(s) 2 s( 1 s2 3 s 1) 2 s( 1 s 1)(s 1) 尾1标准型
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j1
§2.3 系统的复域模型—传递函数
例7 已知
G( s )
s3
4s 4 3s2
2s
来自百度文库
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
解.
G(s)
s3
4(s 1) 3s2 2s
4(s 1)
s(s 1)(s 2)
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
§2.3 系统的复域模型—传递函数
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。 G(s) C(s) R(s)
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
...
a1
dc(t ) dt
a0c(t )
bm
d mr(t) dt m
bm 1
d m1r(t) dt m1
...
b1
dr(t ) dt
b0r(t )
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
y( x) E0 cos[ x(t)]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y( x0 )
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y( x) y( x) y( x0 ) E0 sin x0 ( x x0 )
既有 y E0 sin x0 x
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bm r (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r(t )
拉氏变换： ansn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)
L
1 Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
L
K1K2K3K4Km Tm
ur
微分方程中的变量也可采用增量方式 表示： 方程形式相同
工作元件存在非线性，在工作点处有导 数或偏导数存在－线性化处理
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例1）
例5 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。
机械工程控制基础
第2章 系统的数学模型
— 微分方程、差分、状态方程 复域模型 — 传递函数、结构图 频域模型— 频率特性
系统的数学模型 2.1 引言
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变
量之间关系的数学表达式
建模方法： 解析法，实验法
2.2 时域数学模型 —— 微分方程
线性元部件、线性系统微分方程的建立 非线性系统微分方程的线性化
di (t ) ur (t ) L dt Ri(t ) uc (t )
i(t ) C duc (t ) dt
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc (t )
d 2uc (t ) dt 2
R L
duc (t ) dt
1 LC
uc (t )
1 LC
ur (t )
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
x o
K2 f
xo
x i
xo
f
K1K2 (K1 K2
)
xo
K1 K1 K2
x i
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例3 电枢控制式直流电动机
电枢回路： ur Ri Eb
电枢反电势：Eb ce m
— 克希霍夫 — 楞次定律
电磁力矩： 力矩平衡：
Mm cmi
— 安培定律
Jmm fmm M—m牛顿定律
m m
消去中间变量 i, Mm , Eb 可得：
Tm m m K mur
Tmm m K mur
Tm Jm R /(R fm ce cm ) 电机时间常数
Km
cm
/(R
fm
ce
cm )
电机传递系数
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例4 X-Y 记录仪
反馈口： u ur up 放大器： u K1u 电动机： Tmm m Kmu 减速器： 2 K 3m 绳 轮： L K32 电 桥： up K4L
dt
|h0 h
h0 2
h h0
代入原方程可得 在平衡点处系统满足
d(h0 h) (
dt
S
h0
2
1 h0
h)
1 S
(Qr 0
Qr )
dh0
dt S
h0
Qr 0 S
上两式相减可得线性化方程
dh
1
dt
2S
h0 h S Qr
线性定常微分方程求解
微分方程求解方法
机械工程控制基础
课程回顾
例2 弹簧—阻尼器系统
A : Fi K1( xi xm )
B :
Fm f ( x m xo )
Fo K 2 x0
K1( xi xm ) f ( x m xo ) K 2 xo
K1 x m K1 x i K 2 xo
x m
x i
K2 K1
x o
K2 f
xo
x o
K1 K2 K1
传递函数：
C(s) R(s)
bm sm bm1sm1 ... b1s b0 an sn an1sn1 ... a1s a0
G(s)
m
K * (s z j )
⑴ 首1标准型：G(s)
j 1 n
(s pi )
i 1
m1
m2
( k s 1)
(
2 l
s
2
2
l
s
1)
⑵
尾1标准型：G(s) K
§2. 2. 2 非线性系统微分方程的线性化（举例2）
例6 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程
dh
1
dt S
h S Qr
式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量
变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。
解. 在 h0处泰勒展开，取一次近似
dh
1
h
h0
首1标准型
4
s1
(s 1)
G(s) 2 s( 1 s2 3 s 1) 2 s( 1 s 1)(s 1) 尾1标准型
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s
2
2Tj
s
1)
i 1
j1
§2.3 系统的复域模型—传递函数
例7 已知
G( s )
s3
4s 4 3s2
2s
来自百度文库
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
解.
G(s)
s3
4(s 1) 3s2 2s
4(s 1)
s(s 1)(s 2)
§2.1 引言
•数学模型
描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系 的数 学表达式
•建模方法
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程 线性定常系统微分方程的一般形式
系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
§2.3 系统的复域模型—传递函数
§2.3.1 传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。 G(s) C(s) R(s)
an
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
...
a1
dc(t ) dt
a0c(t )
bm
d mr(t) dt m
bm 1
d m1r(t) dt m1
...
b1
dr(t ) dt
b0r(t )
§2.2 控制系统的数学模型—微分方程
§2. 2. 1 线性元部件及系统的微分方程
例1 R-L-C 串连电路
y( x) E0 cos[ x(t)]
解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数
y( x)
y( x0 )
y( x0 )( x
x0 )
1 2!
y( x0 )( x
x0 )2
取一次近似，且令
y( x) y( x) y( x0 ) E0 sin x0 ( x x0 )
既有 y E0 sin x0 x
§2.3.2 传递函数的标准形式
微分方程一般形式：
anc(n)
a c(n1) n1
...
a1c
a0c
bm r (m)
b r (m1) m1
...
b1r
b0r(t )
拉氏变换： ansn an1sn1 .... a1s a0 C(s) bm sm bm1sm1 ... b1s b0 R(s)