最优控制理论第二次作业

4题任选2题

1.一质点沿曲线()y f x =从点（0，8）运动到（4，0），设质点运动速度为x ，问曲线取什么样的形状，质点运动的时间最短？ 解答：取两点之间的连线直线为质点运动时间最短曲线。

2.设有一阶系统x x u ∙

=-+，()03x =，试确定控制函数()u t ，在t=2时，把系统转移到零状态，并使泛函

()2

201J u dt

=+⎰

取极小值，如果把系统转移到零态的时间不固定，那该如何求解？ 解答：t=2时的系统转移到零时刻，

2112H 020

1112201(t)(t)(t )e 2

3

(0)3,(2)0(t 32

t t

u x u H x H

x x

x u H

u u

u x

x x x d dx C

C e x C x x x λλ

λλλ

λλλλλλλ--=∂=-→=-∂∂=-→=-+∂∂=→+=∂→

⎧⎛⎫=-+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪-=-⎝⎭⎩

=→=+==⇒=+ 做汉密尔顿函数：（1+）+(-+)欧拉方程：状态方程：控制方程：消除代入边界条件：

)e 3(t)2

t t

u e --⇒=-

222111(t )0(1)()0

t 21230

33(t 3)e e 22C 31e C t +6+C 22f f f f f

t

t f t f H u x u u ux u x u θ

θλλ---∂=-=→++-+=∂=-→+-==+=-=移动到零态的时间不固定则还要符合条件由于则将和代入

（）

无法继续。。。。。。

3.已知线性二阶系统的微分方程及初始条件为

12x x ∙

=，()101x = 2x u ∙

=，()201x =

求最优控制()u t ，使下列性能指标分别为最小 （a ）1

20J u dt =⎰，()111x =

（b ）20

f t J u dt =⎰，()()21f f f x t c t t ==-（f t 可变）

（c ）20

f t J u dt =⎰，()()()212,0f f f f x t c t t x t ==-=

解答：（a ）

2122122111

212112H ,0,(t)C (t)C C H

0202

f u x u H

x

x

x x u H x

t u u t u λλλ

λλλλλλλ=++∂=→==∂∂=-→==∂=→=∂=→+=→=-∂ 本题为t =1，终端固定的最优解问题正则方程：

控制方程：

211222

231112123231

113122(t)24

(t)412

(0)11,1

(1)11111212

(t)t 1(t)3t 1C C

x

t x t C C C

x

t C x t C t C x C C C x C x t x =-→=-+=-+→=-++=→===→-++=⇒=⇒=-++=-+ 边界条件 （b ）

232

1111C =1,C =1(t )t (t )(

)(t )(t )

1

f f T

f f f x M v x v C λ=-∂=→∂==同理可以得到

4.设受控系统为12x x ∙=，23x x ∙=，3x u ∙

=，试写出在约束()1u t ≤条件下，系统由初始条件()()()1230000x x x ===转移到目标集()2

1f f x t t =，

()()2

23f f x t x t =，且使性能指标()220

f t f f J t x t u dt =+⎰为最小的最优控

制必要条件，其中f t 未定。