10第六章 数字控制系统的模拟化设计

由
【分析】
1 1 (1 + σT ) 2 + (ωT ) 2 z− = 2 4 (1 − σT ) 2 + (ωT ) 2
2
当σ=0时（s平面虚轴），上式为|z-1/2|=1/2，这是z平面上圆的方程， 圆心(1/2，0)，半径1/2。表明s平面虚轴映射到Z平面为该小圆的圆周； 当σ>0时，上式为|z-1/2|>1/2，映射到z平面为上述小圆的外部； 当σ<0时，上式为|z-1/2|<1/2，映射到z平面为上述小圆的内部。
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—前向差分变换法
主要特性： Z平面和s平面的映射关系： （s=σ+jω，z=u+jv）
可见s左平面，即σ<0，映射为u<1。如下图所示。
(u + jv) − 1 u − 1 v u −1 s = σ + jω = = − j ，所以：σ = T T T T
数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—带有零阶保持器的Z变换法
图中，o为连续控制器的单位阶跃响应；*为采用带有零阶保持器的Z变 换法离散后的离散控制器的单位阶跃响应曲线。
1 0.9 0.8 0.7
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 a=1,T=1 a=1,T=2 6 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5
前向差分变换的实质是将连续域中的微分用一阶前向差分替换。即：
du (t ) u (k + 1) − u (k ) ⇒ ,U ( s) ⇒ u (k ) dt T de(t ) e(k + 1) − e(k ) sE ( s ) ⇒ ⇒ , E ( s ) ⇒ e( k ) dt T sU ( s ) ⇒
s=
z −1 T
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—前向差分变换法
该图表明：s左半平面上的极点可能映射到z平面的单位圆外，故离散后 的数字控制器可能是不稳定的。
s=
z −1 T
再看从Z平面到s平面的映射：
z = 1 + Ts = (1 + σT ) + jωT，z |2 = (1 + σT ) 2 + (ωT ) 2 |
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数字控制系统的模拟化设计方法
数字控制系统的典型结构图如下图所示。数字控制系统是离 散系统，包含计算机、AD、DA、零阶保持器等离散环节，但是只 要合理选择系统的元部件和足够高的采样频率，系统可以近似看 成是连续的。在这种情况下，将AD，数字控制器和DA看成是一个 整体，等效为连续的控制器D(s)。这样数字控制系统可视为控制器 为D(s)的连续控制系统，从而利用已积累了丰富经验的连续域设计 技术。
【例】已知 D ( s ) = 写为差分方程为：
u (k ) = e − aT u (k − 1) + (1 − e − aT )e(k − 1)
带零阶保持器的z—变换法的特点： 如果D(s)是稳定的，则D(z)也稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
由上述映射关系可见，若D(s)稳定（即极点在s平面的左半平面），变 换后的D(z)也一定稳定。同时，若有一些不稳定的D(s)，采用一阶后向 差分离散，离散后可能变得稳定。 变换前后的稳态增益不变，即：D(s)|s=0=D(z)|z=1。 因为s平面的稳定域被映射为单位圆中的一个小圆内，离散后的数字 控制器的时间响应和频率响应与连续控制器相比有相当大的畸变。 【应用场合】 应用场合】 这种变换的映射关系畸变较严重，变换精度较低， 这种变换的映射关系畸变较严重，变换精度较低，在工程应用中受 到限制。但该变换简单易行，在要求不高，采样周期T 到限制。但该变换简单易行，在要求不高，采样周期T很小时也有很多 的应用。 的应用。
数字控制系统
--分析、设计与实现 分析、 分析
第六章 数字控制系统的模拟化设计 2011年2月 gesibo@mail.xjtu.edu.cn
1 Ge Sibo,Department of Automation
数字控制系统的模拟化设计方法
数字控制系统的的经典设计方法一般分为两种： 将连续域设计好的控制律D(s)利用不同的离散化方法变换为离散控制律 D(z)，这种方法称为“连续域-离散化设计”方法，或称为“模拟化”设 计方法。它允许设计师用熟悉的各种连续域设计方法设计出令人满意的 连续域控制器，然后将连续控制器离散化。 在离散域先建立被控对象的离散模型G(z)，然后直接在离散域进行控制 器设计。常用方法包括直接数字设计法、W变换设计法和Z域根轨迹设计 法等。
假设给定
D(s) =
U ( s) = E (s) s
du (t ) u (k ) − u (k − 1) ⇒ ,U ( s ) ⇒ u (k ) dt T de(t ) e(k ) − e( k − 1) sE ( s ) ⇒ ⇒ , E ( s ) ⇒ e( k ) dt T 1 sU ( s ) ⇒
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
【一阶后向差分法】 一阶后向差分法】
D( z ) = D( s)
1− z −1 s= T
【例】设有： D ( s ) = U ( s )
a = E ( s) s + a
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
2、差分变换法 差分变换法的基本思想是把给定的模拟滤波器传递函数D(s)化为微 分方程，再将其化为等价的差分方程。 后向差分法 将连续域中的一阶微分和导数用一阶差分和差商近似替换。
u (k ) − u (k − 1) 1− z −1 du (t ) U ( z) = E ( z) 微分方程为： = e(t ) ⇒ = e( k ) ⇒ dt T T U ( z) T 1− z−1 ⇒ D( z ) = = 。比较D ( s )得：s = E ( z) 1 − z −1 T 11 Ge Sibo,Department of Automation
数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
另外，一阶后向差分法也是s平面和z平面映射关系的一种近似：
z = e sT =
【主要特性】
1 e − sT
1 1 − z −1 ≈ ，所以有：s = 1 − sT T
采用这种方法，当采样周期T较小时，可保证较高的精度。 采用这种方法，当采样周期T较小时，可保证较高的精度。 S平面和z平面的映射关系：该离散方法使得s平面与z平面的映射关系 改变了。映射关系如下：
同样若：
D( s ) =
U (s) 1 = E ( s) s
u (k + 1) − u (k ) du (t ) 微分方程为： = e(t ) ⇒ = e(k ) ⇒ ( z − 1)U ( z ) = TE ( z ) dt T U ( z) T z −1 ⇒ D( z ) = = 。比较D ( s )得：s = E( z) z −1 T
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—带有零阶保持器的Z变换法
1、带有零阶保持器的Z变换法 带有零阶保持器的Z 其方法是在原模拟控制器的基础上串联一个虚拟的零阶保持器，再 进行z变换，从而得到D(s)的离散化形式D(z)。加入这一虚拟保持器的 目的是使该数字控制器的输入更逼近D(s)的输入，从而D(z)的响应更加 真实地反应原模拟控制器的响应。这个虚拟的零阶保持器只是在分析问 题时人为加的，而在实际系统中并不需要设置相应的硬件。下图示出了 这一离散化的过程。
1− z −1 s= T
则：D ( z ) = D ( s )
a aT = = −1 1− z 1 + aT − z −1 +a T
1 u (k ) = [u (k − 1) + aTe(k )] 1 + aT
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
令 | z |= 1(单位圆)，则其对应为s平面上一个圆，即：
(1 + σT ) + (ωT ) = 1,
2 2
1 1 = ( + σ )2 + ω 2 T2 T
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化
常用离散化方法 z变换法（脉冲不变法）； 零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）； 数值积分法（置换法）：包括一阶后向差分法、一阶前 向差分法、双线性变换等； 零极点匹配法。
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数字控制系统的模拟化设计----设计步骤
在如图(a)所示的连续控制系统中，HG(s)被控对象，D(s)是系 统满足设计要求的模拟校正网络（模拟控制器）。用连续系统的 设计方法确定D(s)，再由D(s)求出图(b)中数字校正网络（数字控 制器）。最终使图(b)数字控制系统的性能逼近图(a)的连续系统。
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数字控制系统的模拟化设计----设计步骤
数字控制系统模拟化设计方法的步骤 用连续系统的设计理论确定D(s)； 采用合适的离散化方法由D(s)求G(z)； 验证数字控制系统的性能是否满足要求； 将D(z)化为差分算式，并编制计算机程序； 进行混合仿真以验证系统设计与程序编制是否正确。
根据上图可得：
1 − e −Ts D( z ) = Z [ D ( s)] s
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(6.1 − 1)
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—带有零阶保持器的Z变换法
a s+a U (s) 1 − e −Ts a 1 − e − aT 则： D ( z ) = = Z[ ]= E (s) s s+a z − e −aT
图中，o为连续控制器的单位阶跃响应；*为采用后向差分变换法离散 后的离散控制器的单位阶跃响应曲线。（T=1，a=1时）
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—前向差分变换法
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化
模拟控制器离散化的实质是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递函 数D(z)。“等效”是指D(s)与D(z)在以下特性方面的相似性：脉冲响应特 性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益等。 通常有多种离散化方法，但要求在离散前后，两者必须具有近似相 同的动态特性，即相同的时域和频域响应特性。对于给定的连续控制器， 选择合适的离散化方法是较难处理的问题。 不同的离散化方法所具有的特性不同，离散后的脉冲传递函数与原 传递函数相比，并不能保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一 致。因此设计者必须要了解不同方法的特点，并且要确定那种特性是最 重要的，据此来选择合适的离散化方法。
1 − z −1 s= T
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数字控制系统的模拟化设计----模拟控制器的离散化—后向差分变换法
1 s = σ + jω及z = 得： 1 − Ts 1 1 1 1 + Ts 得： z= = + ，则有 1 − Ts 2 2 1 − Ts