金老师教育培训备战高考理科数学一轮专题复习讲义含练习答案解析考点50 随机事件的概率

专题50 随机事件的概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. （2）了解两个互斥事件的概率加法公式.

一、随机事件及其概率 1．事件的分类

2．频率与概率

（1）事件的频率：在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例()A

n n f A n

为事件A 出现的频率. （2）事件的概率：对于给定的随机事件A ,由于事件A 发生的频率()n f A 随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作()P A ，称为事件A 的概率，因此可以用()n f A 来估计概率()P A .

注意：频率是事件A 发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.

二、事件间的关系及运算

B∅且

=

A B U

=

注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.

三、概率的基本性质

1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即0()1P A ≤≤.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 2．当事件A 与事件B 互斥时,()()()P A

B P A P B =+，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多

个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

()()()12

12()n n P A A A P A P A P A =+++.

3．若事件A 与事件B 互为对立事件,则A

B 为必然事件,1()P A B =.再由加法公式得

()()1P A P B +=.

考向一 由频率估计随机事件的概率

随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.

典例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:

(1)计算表中乒乓球优等品的频率;

(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 【解析】(1)依据公式f =

m

n

,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.

(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，

所以质量检查为优等品的概率约为0.950.

典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.

【解析】(1)由题意知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),

∴用频率估计相应的概率约为0.44.

(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,由调查结果得:

(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火

车站.

由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,

∵P(A1)>P(A2),

∴甲应选择L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,

∵P(B2)>P(B1),

∴乙应选择L2.

1．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为

A．108石B．169石

C．237石D．338石

考向二事件间的关系及运算

对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. 具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．

典例3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.

已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中

(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;

(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;

(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;

(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.

【解析】(1)是互斥事件,但不是对立事件.

理由是:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此

二者不对立.

(2)不是互斥事件,也不是对立事件.

理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.

(3)不是互斥事件,也不是对立事件.

理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立. (4)是互斥事件,也是对立事件.

理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们既是互斥事件,又是对立事件.

2．在一次随机试验中，已知A ，B ，C 三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法一定正确的是 A ．B 与C 是互斥事件 B ．A ＋B 与C 是对立事件 C ．A ＋B ＋C 是必然事件

D ．()0.30.5P A B ≤+≤

考向三 概率加法公式的应用

概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn 图或列出全部的试验结果进行分析．

求复杂事件的概率通常有两种方法：

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.