运筹学多目标规划
运筹学-目标规划
目标规划的数学模型
三.优先因子(优先等级)与优先权系数 优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并表示出 来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ，k=1,2…,K。表 示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级 目标的基础上考虑的；依此类推。 若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时 可分别赋予它们不同的权系数ωj,这些都由决策者按具 体情况而定。
• 优先等级法：
各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
• 有效解法：
寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
• 目标规划法：
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
22
OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
根据市场预测：
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
第二节 目标规划的数学模型
1.目标约束表示
n
ckj x j
d
k
-
d
k
E*
j 1
引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
例：甲乙产品的最优生产计划。
运筹学资料3多目标规划2
000 0 -1 0
首先满足第一目标P1进基变量X1，出基变量y3- 主元（4）
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 6 4 -1 1 0 0 0 0 280
0 d2- 2 3 0 0 -1 1 0 0 100
0 x1 1 1/2 0 0 0 0 -1/4 1/4 30
P1 0 1 -1 0 0 0 3/2 -3/2
λ P2 0 0 0 0 -5 0 -1 0
第二行除以2
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 0 1 -1 1 0 0 3/2 -3/2 100 0 x2 0 1 0 0 -1/2 1/2 1/4 -1/4 20
X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3)
标准型
目标函数：Max S’=-P1d1--P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
X1,X2,di-, di+ 0(i=1,2,3)
0 x1 1 1/2 0 0 0 0 -1/4 1/4 30
P1 0 1 -1 0 0 0 3/2 -3/2
λ P2 0 0 0 0 -5 0 -1 0
第一行加上第二行（-1）
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 5/4 -5/4 80 0 x2 0 1 0 0 -1/2 1/2 1/4 -1/4 20
多目标规划(运筹学)
09:18
3
目标规划模型的约束和目标 目标规划模型里，目标被描述成了约束条件 约束分为软约束和硬约束
硬约束：必须得到满足的条件 软约束（目标约束）：描述模型目标的约束条件
硬约束必须得到满足 目标规划模型的目标是各个目标约束满足程 度的偏差量的加权和
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4
目标约束建模：
如一个管理者构建了一个劳动力工时的目标，则：
阅读材料：
书P153，例7-1 书P160-161，7-3节
09:18
13
第二节 层次分析法
多准则决策问题(multi-criterion decision making problems) 可分为:
多目标决策问题(multi-objective decision making problem)：决策变量是连续的，备选方案有无限多。如 目标规划可以解决此类问题。
主要内容
了解目标规划与线性规划的相同点与不同点 掌握建立目标规划模型的方法 可用图解法解决有两决策的目标规划 掌握用描述层次分析法解决的问题 熟悉用AHP计算每个方案的一致性比例、优 先级百分比和优先级分数方法
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1
第一节 目标规划
目标规划的来源
管理层的目标通常包括下面一些内容：
▪保持稳定的利润 ▪增加市场份额 ▪多样化产品线 ▪保持价格稳定
12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+4x3+u2-v2=40 5x1+7x2+8x3+u3-v3=55 xi0, ui 0, vi0
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8
LINDO中数据输入为
Min 5u1+2v2+4u2+3v3 St 12x1+9x2+15x3+u1-v1=125 5x1+3x2+ 4x3+u2-v2=40 5x1+ 7x2+ 8x3 +u3-v3=55 end
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
多目标规划(运筹学
环境与资源管理
资源利用
多目标规划可用于资源利用优化，以最 大化资源利用效率、最小化资源浪费为 目标，同时考虑环境保护、可持续发展 等因素。
VS
环境污染控制
多目标规划可以应用于环境污染控制，以 最小化污染排放、最大化环境质量为目标 ，同时考虑经济成本、技术可行性等因素 。
城市规划与交通管理
城市布局
发展更高级的建模语言和工具， 以简化多目标规划问题的描述和 求解过程。
求解算法
02
03
混合整数规划
研究更高效的求解算法，以处理 大规模、高维度的多目标规划问 题。
研究如何将连续变量和离散变量 有效地结合在多目标规划问题中， 以解决更广泛的优化问题。
数据驱动的多目标优化
数据驱动决策
利用大数据和机器学习技术，从大量数据中提取有用的信息，以 支持多目标决策过程。
案例二：投资组合优化
总结词
投资组合优化是多目标规划在金融领域的应 用，旨在实现投资组合的风险和回报之间的 最佳平衡。
详细描述
在投资组合优化中，投资者需要权衡风险和 回报两个目标。多目标规划方法可以帮助投 资者找到一个最优的投资组合，该组合在给 定风险水平下能够获得最大的回报，或者在 给定回报水平下能够实现最小的风险。通过 考虑多个目标，多目标规划可以帮助投资者 避免过度依赖单一目标而导致的潜在风险。
在多目标规划中，约束条件可能包括资源限制、时间限制、技术限制等，需要综合考虑各种因素来制 定合理的约束条件。
决策变量
决策变量是规划方案中需要确定的参 数，其取值范围和类型根据问题的实 际情况而定。
在多目标规划中，决策变量可能包括 投资规模、生产能力、产品种类等， 需要合理选择和定义决策变量，以便 更好地描述问题。
运筹学第四章多目标规划
习题四4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题（1） min z ＝p 1（ d 1 ＋ d 2 ）＋p 2 d 3st.－x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋ 1＝1－＋ －0.5x 1＋ x 2 ＋ d 2－d 2 ＝2－＋3x 1＋3x 2 ＋ d 3 － d 3＝50x 1，x 2≥0；d － i ，d ＋i ≥0（i =1 ，2，3）（2） min z ＝ p 1（ 2 d 1 ＋3 d 2 ）＋ p 2 d 3 ＋ p 3 d 4st.x 1＋ x 2＋d －1－d＋1＝10x 1＋d － 2－d ＋2 ＝45x 1＋ 3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56 x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（ i =1 ，⋯， 4）4.2 考虑下述目标规划问题＋＋－－－min z ＝p 1（d 1＋d 2）＋ 2p 2d 4＋p 2d 3＋p 3d 1 st. x 1＋d － 1－d ＋1＝ 20x 2＋d －2 －d ＋2 ＝35 －5x 1＋3x 2＋ d － 3－d ＋ 3＝220x 1－ x 2＋ d －4－d ＋4＝60x 1，x 2≥－＋≥0（ i =1 ，⋯， 4）0；d i ，di（ 1）求满意解；（ 2）当第二个约束右端项由 35 改为 75 时，求解的变化；（ 3）若增加一个新的目标约束： － 4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝ 8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化；（ 4）若增加一个新的变量 x 3，其系数列向量为（ 0，1， 1，－ 1）T ，则满意解如何变化？4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。
依据法律，该台每天允许广播 12 小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入 250 美元，新闻节目每小时需支出40 美元，音乐节目每播一小时费用为17.50 美元。
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
运筹学第四章多目标规划
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
di+= fi(X)-fi(0) fi(X)>fi(0)
0
fi(X)fi(0)
负偏差变量（di-）：
实际决策值低于第i个目标值的数量
di-= 0
fi(X)fi(0)
fi(0) -fi(X) fi(X)<fi(0)
di+0 说明实际值超过目标值 则di-=0
di-0 说明实际值低于目标值 则di+=0
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .7.221. 7.2Frid ay , July 02, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。23:46:4423 :46:442 3:467/2 /2021 11:46:44 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 7.223:4 6:4423:46Jul-2 12-Jul- 21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:46:4423:4 6:4423:46Friday , July 02, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.221.7.22 3:46:44 23:46:4 4July 2, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年7月 2日星 期五下 午11时4 6分44 秒23:46:4421.7. 2 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年7月下 午11时 46分21 .7.223:46July 2, 2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年7月2 日星期 五11时4 6分44 秒23:46:442 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午11时4 6分44 秒下午1 1时46 分23:46:4421.7. 2
管理运筹学第4章-目标规划
多目标决策问题
多目标规划的矩阵表示： 多目标规划的矩阵表示：
max Z = CX
AX ≤ b
X ≥0
z1 z 其中： 其中： Z = 2 M zm
C = (cij )m×n c11 c = 21 M c m1 c12 c 22 cm 2 L c1n L c2n M L c mn
目标规划的数学模型---相关概念
1、设 x1 , x 2 为决策变量，此外，引进正负偏差变 量 d i+ d i−
d i+ 表示： 决策值超过目标值的部分。 正偏差变量
负偏差变量 d i−表示： 决策值未达到目标值的部分。 因决策值不可能既超过目标值又同时未达到目标值， 即恒有 d + × d − = 0
例：LP----目标规划：加入正负偏差变量
目标规划的数学模型---相关概念
3、优先因子（优先等级）与权系数 依据达到目标的主次或轻重缓急而存在的系数（权）。
要求第一个达到的目标赋予优先因子P1，次位目标P2 …… 并规定PK > PK+1……，表示更大的优先权。
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，此时可 以分别赋予它们不同的权系数 wi
+ i
目标规划的一般数学模型—p103
− + min z = ∑ Pl ∑ ( wlk d k− + wlk d k+ ) l =1 k =1 L K
式中，
− + wlk , wlk 为权系数
n c kj x j + d k− − d k+ = g k , k = 1K K ∑ j =1 n a x ≤ (=, ≥)b , i = 1L m i ∑ ij j j =1 x j ≥ 0, j = 1L n − + d k , d k ≥ 0, k = 1L K
运筹学目标规划
运筹学目标规划运筹学目标规划，英文名为Operations Research，是一门应用数学领域的综合性学科，旨在通过数学建模和优化方法解决工程和管理问题。
运筹学目标规划是运筹学中的一个重要方法，可以帮助决策者制定合理的目标，并找到实现这些目标的最优方案。
运筹学目标规划的主要目标是将决策问题转化为数学模型，并采用数学优化方法解决这些模型。
在目标规划中，决策者的目标通常是多个且互相冲突的，因此需要进行目标权重的设定和优化。
运筹学目标规划通过建立数学模型和运用多目标优化算法，可以帮助决策者找到最佳的目标权重，从而实现最优方案。
运筹学目标规划的应用范围广泛，可以用于解决工程、生产、物流、供应链管理等各个领域的问题。
在生产领域，目标规划可以帮助企业制定合理的生产计划，优化资源配置，提高生产效率和质量。
在物流领域，目标规划可以帮助企业设计最佳的物流网络，优化货物配送路线和仓库布局，降低物流成本和时间。
在供应链管理领域，目标规划可以帮助企业协调供应链上各个环节的决策，并优化整个供应链的绩效。
运筹学目标规划的具体步骤包括问题定义、建模、求解和结果分析。
首先，需要明确决策问题的目标和约束条件，并收集相关的数据。
然后，将问题转化为数学模型，确定目标函数和约束条件。
接下来，采用适当的数学优化方法，如线性规划、整数规划、动态规划等，求解模型，得到最优解。
最后，对求解结果进行分析，评估方案的可行性和有效性，并提出相应的优化建议。
总之，运筹学目标规划是一种将决策问题转化为数学模型，并采用数学优化方法解决的方法。
它可以帮助决策者制定合理的目标，并找到实现这些目标的最优方案。
运筹学目标规划在工程和管理领域有着广泛的应用，可以显著提高效率和降低成本。
将来随着计算机技术的发展和算法的改进，运筹学目标规划还将不断发展和完善，为各个行业的决策者提供更强大的决策支持。
运筹学多目标规划
多目标规划问题与线性规划问 题相似，可用单纯形算法求解。
注意：在比较检验数大小时，要 先比较较高级别的系数，再比较 较低级别的系数。
例4-9（例4-5）
目标函数：Min Z=P1d1+P2(5d2++d3+) 约束方程：
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
1 120
P1 6 4 -1 0 0 0 0 0
λ P2 0 0 0
0
-5 0 -1
0
主元运算：第三行除以4
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1- d1- 6 4 -1 1 0 0 0 0 280 0 d2- 2 3 0 0 -1 1 0 0 100
0 x1 1 0 0 0 1/4 -1/4 -3/8 3/8 20
P1
λ P2
计算检验数
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-
-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 (5/4) -5/4 80
0 x2 0 1 0
0 x1 1 0 0
0 x1 1 1/2 0 0 0 0 -1/4 1/4 30
P1 0 1 -1 0 0 0 3/2 -3/2
λ P2 0 0 0 0 -5 0 -1 0
第一行加上第二行（-1）
0 0 0 -P1 -5p2 0 -p2 0 x1 x2 d1+ d1- d2+ d2- d3+ d3-P1 d1- 0 0 -1 1 1/2 -1/2 5/4 -5/4 80 0 x2 0 1 0 0 -1/2 1/2 1/4 -1/4 20
运筹学知识点总结归纳
运筹学知识点总结归纳运筹学知识点总结归纳一、引言运筹学是一门综合运用数学、统计学和优化理论等相关知识解决实际问题的学科。
它的一个核心目标是在给定的约束条件下，使系统达到最佳状态。
本文将对运筹学的一些基本概念、方法和应用进行总结归纳，以便读者对这门学科有更深入的了解。
二、线性规划线性规划是运筹学中最基本、最常见的数学模型之一。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
通过线性规划，我们可以最小化或最大化一个目标函数来寻找最优解。
常见的线性规划方法有单纯形法、对偶法和内点法等。
三、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式。
在整数规划中，决策变量的取值限制为整数。
这种限制使问题更加复杂，通常需要使用分支定界法、割平面法等算法来求解。
整数规划在许多实际问题中有广泛的应用，如生产调度、路径优化等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中一个重要的研究方向。
在网络流问题中，节点和边表示物理或逻辑上的位置，流量沿边流动，目标是最大化总流量或最小化总成本。
常见的网络流问题有最小费用流问题、最大流问题等。
在实际应用中，网络流问题可以用于交通规划、供应链管理等领域。
五、排队论排队论是研究队列系统的数学理论。
队列是指一组按照某种顺序排列的实体，而排队论则是研究这些实体如何进入和离开队列的过程。
通过排队论，可以估计系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等。
排队论在交通管理、生产调度等领域有广泛的应用。
六、决策分析决策分析是运筹学中的一个重要分支，旨在通过分析问题的数据和信息，寻找最优的决策方案。
决策分析中常用的工具包括决策树分析、多属性决策等。
通过决策分析，我们可以对风险进行评估，并为决策者提供有力的支持。
七、多目标规划多目标规划是一种同时优化多个目标函数的决策问题。
在多目标规划中，不同的目标可能相互冲突，无法简单地将其转化为单一目标。
解决多目标规划问题的方法有权重法、向量法等。
多目标规划在工程设计、投资组合等领域有广泛的应用。
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0
x1* Rpa*
x2*
x
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
定义4 设 X ∈R，若不存在X∈R，使 F(X)<F(X )， * 则称 X 为问题的弱有效解。其全体记为 Rwp 。
注：有效解必是弱有效解。
f
f1(x)
f2(x)
0
Rwp
*
x
§2
最优点集合。
定理2
* ab
R R R
* pa
* wp
R
f2(x)
f
f1(x) Rpa*= Rab* R1* R2*
0
Rwp *
x
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
多目标规划——解的关系 定理3 定理4
R R
* i
* ab
* wp
若R ， 则 （ 1 ）R R R ； （ 2 ）R R
多目标决策简介
Tianjin University
三、多目标决策与单目标决策区别 • 点评价与向量评价 单目标： 方案dj ←评价值f(dj) 多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj)) • 全序与半序: 方案di与dj之间 单目标问题: di<dj ; di=dj ; di>dj 多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况 是不可比较大小 • 决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对 目标的偏好。
Tianjin University
例2【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资 金A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第 i (i=1,…,n) 个项目要用资金ai 万元，预计可得到 收益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能 得到最佳的经济效益？ 解：令 1， 投资第i个项目 xi = 0，不投资第i个项目 约束条件： a i x i A i 1 x 0或1 （i 1,, n) i
x2
x
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
多目标规划——解的关系 R Rab*=Rpa*
* Rpa
R1 R2*
*
R
R2*
R1* Rwp* R3*
p=3
Rab*=φ
p=3 Rab*≠φ
多目标规划
§1 多目标决策简介 §2 多目标规划模型及其解的概念 §3 多目标规划的解法
第二章
多目标规划
（Multiple Objective Programming）
§1
多目标决策简介
Tianjin University
一、多目标决策问题实例 • • • • • 干部评估－德、才兼备 教师晋升－教学、科研、论文等 购买冰箱－价格、质量、耗电、品牌等 球员选择－技术、体能、经验、心理 找对象－容貌、学历、气质、家庭状况
§1
多目标决策简介
Tianjin University
二、多目标决策与多目标规划 多目标规划 多目标决策
（ Multiple Objective Programming， 决策变量连续）
多准则决策
（ Multiple Criteria Decision Making，决策变量离散，即有限方案）
§1
Tianjin University
§3 多目标规划的解法 求：有效解或弱有效解 方法分类 评价函数法
Tianjin University
目标排序法
准备工作：目标函数规范化
fi ( X ) fi ( X ) , 其中 f max f ( X ) i i fi X R
§3 多目标规划的解法
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
多目标规划模型的向量表达形式
记： X ( x1 ,, xn )T
F ( X ) ( f1 ( X ),, f p ( X ))T
R X gi ( X ) 0, i 1,, m
min ( f 1 ( X ), , f p ( X ) 则模型为： ( VMP ) g i ( X ) 0, i 1, , m
n
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
目标函数：何为最佳的经济效益？ （1）收益最大：
n
max f 1 ( x1 , , x n ) bi x i
i 1 n
（2）投资最少：
min f 2 ( x1 , , x n ) a i x i
i 1
多目标0-1规划问题
§3 多目标规划的解法
Tianjin University
下面我们将指出，当评价函数h( F )具有某种“单调
* 性时”，是可以保证 X R* （或 X R pa wp）的。为此，先给
出两个定义： 定义4 设h( F )是定义在E p上的函数，若对于任 h( F 1 ) h( F 2 ) 则称h( F )为严格单调函数。 定义5 设h( F )是定义在E p上的函数，若对于任 h( F 1 ) h( F 2 ) 则称h( F )为单调函数。 意满足F 1 F 2的F 1 E p，F 2 E p，均有： 意满足F 1 F 2的F 1 E p，F 2 E p，均有：
§3 多目标规划的解法
定理6 问题 ( p ) min h[ F ( X )]
X R
Tianjin University
若h( F )为定义在E p上的严格单调函数， X 为规划
的最优解，则 X R* pa。 证：用反证法。若 X R* pa，则存在Y R，有F (Y ) F ( X )， 由h( F )的严格单调性，有 h[ F (Y )] <h[ F ( X )] 这与 X 为问题( p )的最优解矛盾，故 X R* pa。 定理7 若h( F )为定义在E p上的单调函数， X 为规划问题 ( p ) min h[ F ( X )]
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
二、多目标规划的模型
决策变量：x1 , , x n 目标函数：min f 1 ( x1 , , x n ) …
min f p ( x1 , , x n )
约束条件： g1 ( x1 , , x n ) 0
g m ( x1 , , x n ) 0
三、多目标规划解的概念
先引进一些记号，记 F 1 ( f11，„„，f p1 ) E p F 2 ( f12，„„，f p2 ) E p (1)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要严格的小于向 量F 2 对应的分量。即对于i 1，„„，p，均有f i1 f i 2。 (2)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要小于或等于向 量F 2 对应的分量。即对于i 1，„„，p，均有f i1 f i 2。 (3)" "：F 1 F 2意味着向量F 1的每个分量都要小于或等于向 量F 2 对应的分量，并且存在F 1的某一个分量要严格的小于向量F 2 对应的分量。即对于i 1，„„，p，均有f i1 f i 2，并且要至少存 在某个i0(1 i0 p)，有f i01 f i02。 可见， " F 1 F 2 " 等价于 " F 1 F 2 " 且 " F 1 F 2 "。
• 解概念区别
单目标决策的解只有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况： 绝对最优解
数学 外语 专业
Tianjin University
解的类型
d1
d2 d3 d4 d5
80
75 76 85 78
75
81 78 82 74
88
85 89 92 86 绝对最优解
• 解概念区别 Tianjin University 单目标决策的解只 有一种（绝对）最优解; 多目标决策的解有下面三种情况：
或
min F ( X ) (VMP) XR
向量数学规划 (Vector Mathematical Programming)
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
一、多目标规划举例 二、多目标规划的模型
三、多目标规划解的概念
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
Tianjin University
一、评价函数法:
评价函数法就是利用一个复合函数: h( F ) h( f1，„„，f p ) 把多目标问题(VMP )转化为单目标问题: (P) min h[ F ( X )]
X R
然后来求解，而单目标问题的解法我们是熟知的。问题 是，用评价函数h( F )得到的( P )的最优解 X 是否为原问题 (VMP )的有效解或弱有效解？因为若连弱有效解都不是， 那显然是不足取的。
§2
多目标规划模型及其解的概念
Tianjin University
目标函数：何为最佳？ （1）总花费最小： min f1(x1,x2)=4x1+2x2 （2）糖的总数量最大： max f2(x1,x2)=x1+x2 （3）甲级糖的数量最大： max f3(x1,x2)=x1
多目标规划问题
§2
多目标规划模型及其解的概念
绝对最优解 劣解（如d4劣于d1 ） 有效解(pareto解)——非劣解
数学
d1 80
外语
75