基本要求熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算方法(对角线法则(精)

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33
说明1
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
三阶行列式展开式的另一记忆法：
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23
即
a31 a32 a33 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
补充例题1
求解二元线性方程组 3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
对角线法则
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
a12
a21
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21a21 x1 a22 x2 b2 .
第6 章
行 列 式
( determinant)
基本要求: 熟练掌握二、三阶行列式的定义与计算 方法(对角线法则),了解n阶行列式的定义, 理解和熟 练掌握行列式的基本运算性质,会计算简单的n阶行 列式;理解和掌握克拉默法则（Cramer’s rule).
第6章 行 列 式
6.1 n阶行列式的概念
6.1.1 二阶、三阶行列式
由方程组的未知数的四个系数确定.
（3）
定义1 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作
即
a11 a12 a21 a22
( 5)
a11 a21
a12 a11a22 a12a21 . a22
解
D
3 2 2 1 1
3 ( 4) 7 0,
D1
12 2 1
14, D2
3 12 2 1
21,
D1 14 D2 21 x1 2, x 2 3. D 7 D 7
定义2 设有9个数排成 3行3列的数表
a11 a12 a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 b1 D2 . a21 b2
则二元线性方程组的解为
记 a11
a13 a23 a33
列标
( 5)
行标
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a a a a a a a a a 11 23 32 12 21 33 13 22 31, a32 a33
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
（替代行列式1）
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , （替代行列式2） a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 用消元法解二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
若记
或
b1 b2 b 1
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33