质点沿可自由移动的光滑凹槽的运动分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
( 6)
源自文库
dt =
dy
X=
+
)+ C ( 13)
于是 , 质点振动的周期为
K2 Y= ( 1- cos 2
2
T = 4
!
y0 0
d t= 4
!
0
y0
1+
m 2+ m 1 x m1 y 2 g( y 0 - y )
2
3
dy =
质点沿几种常见曲线的运动周期
4 2g 若
!
y
0
y
1+
0
m 2+ m 1 x m1 y 2 y 0y - y
第7期
李慧娟 : 质点沿可 自由移动的光滑凹槽的运动分析
19
系统水平方向动量守恒, 有 m 2 x + m 1 x m 1= 0 由式 ( 4) 得 x m 1= m2 x m1 ( 5) ( 4)
对式( 11) 和式( 12) 作变量代换: = 2 , 有 K2 x= 2
2
m1 m 2+ m 1 ( sin
=
K ( 1- cos 2 ) 2
2
( 11)
再由 d x dx dy = = d dy d K 积分后得 x= K 2
2 2
这与文[ 2] 的结论是一致的. m1 cot ( 2K 2cos sin ) = m 2+ m 1 m1 ( 1+ cos 2 ) m2+ m1 m1 + C0 m2+ m1 ( 12) 2) 凹槽与质点运动平面的交线为椭圆曲线 X 2 ( Y - b) 2 + = 1 a2 b2 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 m1 a2
2
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
x 2+
m1 p2 m 2+ m 1
3) 凹槽与质点运动平面的交线为双曲线 X 2 ( Y + b) 2 - 2+ = 1 ( Y ∃0) a b2 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 m1 a2
2
所以当 x 很小时, 质点作严格等时振动 , 其周期为 T= 2
第 26 卷第 7 期 2007 年 7 月
大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS
Vol. 26 N o. 7 July 2007
教学讨论
质点沿可自由移动的光滑凹槽的运动分析
李慧娟
( 山东农业大学 信息科学与工程学院 , 山东 泰安 271018)
摘要 : 分析了质点在可自由移动的凹槽上运动的 运动平面与凹槽的交线是一般曲线的情况 , 给出了质点 在静止参考系 中 运动的轨迹方程和严格等时振动的条件 , 求出 了质点沿几种常见曲线运动的周期 . 关键词 : 运动轨迹 ; 严格等时性 ; 周期 中图分类号 : O 313. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 0712( 2007 ) 07 0018 03
2 2 2 2
当
# 0 时, K # a m1 2 b( m 2 + m 1 ) m1 a2 ( m 2 + m 1 ) gb X 2= 2 p Y
2
所以当
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
4) 凹槽与质点运动平面的交线为抛物线 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 2 2 x = 2 py m1 其运动轨迹仍是一条抛物线. 于是 K= 当 x # 0 时, K # pm1 2( m 2 + m 1) m1 p ( m 2+ m 1) g 1 2p m 2+ m 1 m1
参考文献:
[1] [ 2] 赵强 , 李 普选 . 应 用质 心 定 理 一例 [ J ] . 物 理 与工 程 , 2002, 12 ( 6) : 22. 陈钢 , 阮中 中 . 椭圆摆的 一种实 现方法 [ J ] . 大 学物理 , 2006 , 25( 5 ) : 18 20.
Analysis of motion of a particle on a free smooth flute
现在讨论满足式 ( 8) 的质点运动平面与凹槽的 交线的方程. 由式( 8 ) 可得 y 1+ 令 x = y m 2+ m 1 x m1 y
2
∀K2
( 10)
m1 cot , 代入式 ( 10 ) , 得 m 2+ m 1 y = K sin
2 2
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
dy
y
1+
m 2+ m 1 x 2 ( ) ∀K m1 y
( 8)
其中 K 为常数 , 则 T = 4K 2g
!
0
y0
1 dy = y0y- y2
2y y0 4 K 4K arccos 1- y = 0 0 2g 2g 质点振动的周期与 y 0 无关, 是严格等时的 .
y = a( 1- cos )
x2 +
-
(y + b) = 1 ( y ∃0) b2
2
由以上分析可知, 当质点沿上述光滑对称曲线 作微小振动时, 质点的振动是严格等时的 , 但对不同 曲线 , 其周期可能不同.
其运动轨迹仍是一条双曲线. 化为参数方程 am 1 x = m + m t an 2 1 y = b ( sec - 1) 于是 a 2 m 1 sec 2 K= 2 2 b( m 2 + m 1 ) cos + 2 b 2 ( m 2 + m 1 ) ( 1- cos )
下面由式 ( 8 ) 给出当凹槽与质点运动平面的交 线为一些常见曲线时的 K 值, 并由式 ( 9) 求出严格 ( 7) 等时条件下的周期. 1) 凹槽与质点运动平面的交线为圆周曲线 X 2 + Y 2 - 2 aY = 0 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 2 2 x + y 2 - 2 ay = 0 m1 其运动轨迹是一个椭圆. 化为参数方程 x= ( 9) 于是 K= 当 # 0 时, K # 所以当 am 1 2( m 2 + m 1) m1 a ( m 2+ m 1) g a( m 1 + m 2 sin2 ) ( m 2 + m 1 ) ( 1+ cos ) am 1 sin m 2+ m 1
+
)+ C0
K y = 2 ( 1- cos ) m 2+ m 1 x , Y = y , 可得质点振动的周期在 m1 严格等时的条件下, 凹槽与质点运动平面的交线方 利用 X = 程为 K2 2 m 2+ m 1 ( sin m1 )
将式 ( 5) 代入式 ( 3) 得 2 m 1 g ( y 0- y ) = ( m 2+ m 1) x 2+ m 1y 2 由式 ( 6) 得 m 2+ m 1 x 1+ m1 y 2g ( y 0 - y )
( 2)
2
图1
质点振动严格等时的条件
系统的能量方程为 1 1 m 2 g(y 0- y ) = m ( x 2 + y 2 ) + m 1x 2 m1 2 2 2
( 3)
收稿日期 : 2006- 06- 29; 作者简介 : 李慧娟 ( 1966 ) , 女 , 山东菏泽人 , 山东农业大学信息科学与工程学院副教授 , 主要从事大学物理教学与信息光学的研究工作 .
文 [ 1] 分析了质点在可自由移动的圆弧形凹槽 上的运动 , 得出质点在惯性参考系中运动的轨迹是 椭圆, 文[ 2 ] 给出了质点在可自由移动的圆弧形光滑 凹槽上的运动周期. 本文将对质点运动平面与凹槽 的交线是一般曲线的情况 , 研究质点在静止参考系 中运动的轨迹, 给出质点严格等时振动的条件, 求出 质点沿几种常见曲线运动的周期. 在光滑水平面上放一质量为 m 1 的光滑对称凹 槽, 将一质量为 m 2 的质点置于凹槽上某处 , 让其由 静止开始自由下滑, 则质点沿凹槽在竖直平面内运 动, 质点和凹槽组成的系统将作无能耗的周期性振 动. 因为系统水平方向不受外力 , 所以振动过程中系 统质心相对于地面的水平位置不变. 以凹槽最低点 所在水平面与系统质心所在竖直线的交点为坐标原 点, 在惯 性参考 系中 建立 坐标系 , Ox 轴 沿水 平方 向, Oy 轴沿竖直方向, Ox y 平面为质点运动的竖直 平面, 如图 1 所 示. 设质 点初始位置的 坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 质点在运动过程中的坐标用 ( x , y ) 表示, 凹槽 的质心在运动过程中的坐标用 ( x m 1 , y m 1 ) 表示.
2
m1 sin 2 + K 2 m 2+ m 1
x2 +
( y - b) 2 = 1 b2
20
大
学
物
理
第7卷
m 2+ m 1 其运动轨迹仍是一个椭圆. 特别地 , 当 a = b m1 时, 是一个圆. 化为参数方程 am 1 x = m + m sin 2 1 y = b ( 1- cos ) 于是 K= 当 # 0 时, K # 所以当 a2 m 1 2 b( m 2 + m 1 ) m1 a2 ( m 2 + m 1 ) gb a m 1 cos + b ( m 2 + m 1 ) sin b( m 2 + m 1 ) ( 1+ cos )
1
质点运动的轨迹方程
质点 m 由静止开始下滑 , 设系统质心在所选坐 标系中的坐标为( x C , y C ) , 则 x C= 0 y C= m 2 y + m 1y m 1 m 2+ m 1
由质心运动定理得 m 2 x + m 1 x m 1= 0 即 x m 1= m2 x m1 ( 1)
以凹槽最低点为坐标原点 , 建立固定于凹槽上的运 动坐标系, OX 沿水平方向 , O Y 沿竖直方向, OX Y 平面为质点运动的竖直平面 . 设凹槽与质点运动平 面的交线方程为 F(X , Y )= 0 设凹槽的质心在凹槽最低点的正下方, 则质点 运动时在两坐标系中的坐标关系为 X = x - x m 1 = m 2+ m 1 x , Y = y , 代入上式 , 得质点在惯性坐标系 m1 中运动的轨迹方程为 m 1+ m 2 F x,y = 0 m1
L I Hui juan
( Information Science and Engineering College, Shandong Ag ricultural U niversity, T aian, Shandong 271018, China)
Abstract: A part icle% s mot ion on a free smooth f lute w hich int ersects motive plane of the part icle is general curve is invest ig at ed. T he track equat ion of the part icle% s mot ion in inert ial fram e of ref erence is deduced, t he st rict isochronism vibration condit ion is given, and periods of t he particle% s vibrat ion on some familiar curves are obtained. Key words: kinetic track; st rict isochronism; period
( 6)
源自文库
dt =
dy
X=
+
)+ C ( 13)
于是 , 质点振动的周期为
K2 Y= ( 1- cos 2
2
T = 4
!
y0 0
d t= 4
!
0
y0
1+
m 2+ m 1 x m1 y 2 g( y 0 - y )
2
3
dy =
质点沿几种常见曲线的运动周期
4 2g 若
!
y
0
y
1+
0
m 2+ m 1 x m1 y 2 y 0y - y
第7期
李慧娟 : 质点沿可 自由移动的光滑凹槽的运动分析
19
系统水平方向动量守恒, 有 m 2 x + m 1 x m 1= 0 由式 ( 4) 得 x m 1= m2 x m1 ( 5) ( 4)
对式( 11) 和式( 12) 作变量代换: = 2 , 有 K2 x= 2
2
m1 m 2+ m 1 ( sin
=
K ( 1- cos 2 ) 2
2
( 11)
再由 d x dx dy = = d dy d K 积分后得 x= K 2
2 2
这与文[ 2] 的结论是一致的. m1 cot ( 2K 2cos sin ) = m 2+ m 1 m1 ( 1+ cos 2 ) m2+ m1 m1 + C0 m2+ m1 ( 12) 2) 凹槽与质点运动平面的交线为椭圆曲线 X 2 ( Y - b) 2 + = 1 a2 b2 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 m1 a2
2
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
x 2+
m1 p2 m 2+ m 1
3) 凹槽与质点运动平面的交线为双曲线 X 2 ( Y + b) 2 - 2+ = 1 ( Y ∃0) a b2 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 m1 a2
2
所以当 x 很小时, 质点作严格等时振动 , 其周期为 T= 2
第 26 卷第 7 期 2007 年 7 月
大 学 物 理 COL L EGE PHYSICS
Vol. 26 N o. 7 July 2007
教学讨论
质点沿可自由移动的光滑凹槽的运动分析
李慧娟
( 山东农业大学 信息科学与工程学院 , 山东 泰安 271018)
摘要 : 分析了质点在可自由移动的凹槽上运动的 运动平面与凹槽的交线是一般曲线的情况 , 给出了质点 在静止参考系 中 运动的轨迹方程和严格等时振动的条件 , 求出 了质点沿几种常见曲线运动的周期 . 关键词 : 运动轨迹 ; 严格等时性 ; 周期 中图分类号 : O 313. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 0712( 2007 ) 07 0018 03
2 2 2 2
当
# 0 时, K # a m1 2 b( m 2 + m 1 ) m1 a2 ( m 2 + m 1 ) gb X 2= 2 p Y
2
所以当
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
4) 凹槽与质点运动平面的交线为抛物线 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 2 2 x = 2 py m1 其运动轨迹仍是一条抛物线. 于是 K= 当 x # 0 时, K # pm1 2( m 2 + m 1) m1 p ( m 2+ m 1) g 1 2p m 2+ m 1 m1
参考文献:
[1] [ 2] 赵强 , 李 普选 . 应 用质 心 定 理 一例 [ J ] . 物 理 与工 程 , 2002, 12 ( 6) : 22. 陈钢 , 阮中 中 . 椭圆摆的 一种实 现方法 [ J ] . 大 学物理 , 2006 , 25( 5 ) : 18 20.
Analysis of motion of a particle on a free smooth flute
现在讨论满足式 ( 8) 的质点运动平面与凹槽的 交线的方程. 由式( 8 ) 可得 y 1+ 令 x = y m 2+ m 1 x m1 y
2
∀K2
( 10)
m1 cot , 代入式 ( 10 ) , 得 m 2+ m 1 y = K sin
2 2
很小时 , 质点作严格等时振动, 其周期为 T= 2
dy
y
1+
m 2+ m 1 x 2 ( ) ∀K m1 y
( 8)
其中 K 为常数 , 则 T = 4K 2g
!
0
y0
1 dy = y0y- y2
2y y0 4 K 4K arccos 1- y = 0 0 2g 2g 质点振动的周期与 y 0 无关, 是严格等时的 .
y = a( 1- cos )
x2 +
-
(y + b) = 1 ( y ∃0) b2
2
由以上分析可知, 当质点沿上述光滑对称曲线 作微小振动时, 质点的振动是严格等时的 , 但对不同 曲线 , 其周期可能不同.
其运动轨迹仍是一条双曲线. 化为参数方程 am 1 x = m + m t an 2 1 y = b ( sec - 1) 于是 a 2 m 1 sec 2 K= 2 2 b( m 2 + m 1 ) cos + 2 b 2 ( m 2 + m 1 ) ( 1- cos )
下面由式 ( 8 ) 给出当凹槽与质点运动平面的交 线为一些常见曲线时的 K 值, 并由式 ( 9) 求出严格 ( 7) 等时条件下的周期. 1) 凹槽与质点运动平面的交线为圆周曲线 X 2 + Y 2 - 2 aY = 0 相应的质点在惯性坐标系中的轨迹方程为 m 2+ m 1 2 2 x + y 2 - 2 ay = 0 m1 其运动轨迹是一个椭圆. 化为参数方程 x= ( 9) 于是 K= 当 # 0 时, K # 所以当 am 1 2( m 2 + m 1) m1 a ( m 2+ m 1) g a( m 1 + m 2 sin2 ) ( m 2 + m 1 ) ( 1+ cos ) am 1 sin m 2+ m 1
+
)+ C0
K y = 2 ( 1- cos ) m 2+ m 1 x , Y = y , 可得质点振动的周期在 m1 严格等时的条件下, 凹槽与质点运动平面的交线方 利用 X = 程为 K2 2 m 2+ m 1 ( sin m1 )
将式 ( 5) 代入式 ( 3) 得 2 m 1 g ( y 0- y ) = ( m 2+ m 1) x 2+ m 1y 2 由式 ( 6) 得 m 2+ m 1 x 1+ m1 y 2g ( y 0 - y )
( 2)
2
图1
质点振动严格等时的条件
系统的能量方程为 1 1 m 2 g(y 0- y ) = m ( x 2 + y 2 ) + m 1x 2 m1 2 2 2
( 3)
收稿日期 : 2006- 06- 29; 作者简介 : 李慧娟 ( 1966 ) , 女 , 山东菏泽人 , 山东农业大学信息科学与工程学院副教授 , 主要从事大学物理教学与信息光学的研究工作 .
文 [ 1] 分析了质点在可自由移动的圆弧形凹槽 上的运动 , 得出质点在惯性参考系中运动的轨迹是 椭圆, 文[ 2 ] 给出了质点在可自由移动的圆弧形光滑 凹槽上的运动周期. 本文将对质点运动平面与凹槽 的交线是一般曲线的情况 , 研究质点在静止参考系 中运动的轨迹, 给出质点严格等时振动的条件, 求出 质点沿几种常见曲线运动的周期. 在光滑水平面上放一质量为 m 1 的光滑对称凹 槽, 将一质量为 m 2 的质点置于凹槽上某处 , 让其由 静止开始自由下滑, 则质点沿凹槽在竖直平面内运 动, 质点和凹槽组成的系统将作无能耗的周期性振 动. 因为系统水平方向不受外力 , 所以振动过程中系 统质心相对于地面的水平位置不变. 以凹槽最低点 所在水平面与系统质心所在竖直线的交点为坐标原 点, 在惯 性参考 系中 建立 坐标系 , Ox 轴 沿水 平方 向, Oy 轴沿竖直方向, Ox y 平面为质点运动的竖直 平面, 如图 1 所 示. 设质 点初始位置的 坐标为 ( x 0 , y 0 ) , 质点在运动过程中的坐标用 ( x , y ) 表示, 凹槽 的质心在运动过程中的坐标用 ( x m 1 , y m 1 ) 表示.
2
m1 sin 2 + K 2 m 2+ m 1
x2 +
( y - b) 2 = 1 b2
20
大
学
物
理
第7卷
m 2+ m 1 其运动轨迹仍是一个椭圆. 特别地 , 当 a = b m1 时, 是一个圆. 化为参数方程 am 1 x = m + m sin 2 1 y = b ( 1- cos ) 于是 K= 当 # 0 时, K # 所以当 a2 m 1 2 b( m 2 + m 1 ) m1 a2 ( m 2 + m 1 ) gb a m 1 cos + b ( m 2 + m 1 ) sin b( m 2 + m 1 ) ( 1+ cos )
1
质点运动的轨迹方程
质点 m 由静止开始下滑 , 设系统质心在所选坐 标系中的坐标为( x C , y C ) , 则 x C= 0 y C= m 2 y + m 1y m 1 m 2+ m 1
由质心运动定理得 m 2 x + m 1 x m 1= 0 即 x m 1= m2 x m1 ( 1)
以凹槽最低点为坐标原点 , 建立固定于凹槽上的运 动坐标系, OX 沿水平方向 , O Y 沿竖直方向, OX Y 平面为质点运动的竖直平面 . 设凹槽与质点运动平 面的交线方程为 F(X , Y )= 0 设凹槽的质心在凹槽最低点的正下方, 则质点 运动时在两坐标系中的坐标关系为 X = x - x m 1 = m 2+ m 1 x , Y = y , 代入上式 , 得质点在惯性坐标系 m1 中运动的轨迹方程为 m 1+ m 2 F x,y = 0 m1
L I Hui juan
( Information Science and Engineering College, Shandong Ag ricultural U niversity, T aian, Shandong 271018, China)
Abstract: A part icle% s mot ion on a free smooth f lute w hich int ersects motive plane of the part icle is general curve is invest ig at ed. T he track equat ion of the part icle% s mot ion in inert ial fram e of ref erence is deduced, t he st rict isochronism vibration condit ion is given, and periods of t he particle% s vibrat ion on some familiar curves are obtained. Key words: kinetic track; st rict isochronism; period