概率论与数理统计课件--数学期望E(X)
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1 x e 2
f ( x)
( x )2 2 2
1 2
( x )2 2 2
e
数学期望
E( X )
t
dx
t2 2
x
1 ( t ) 2 e
dt
指数分布的期望
分布密度 数学期望
e f ( x) 0
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)
E(Y2),E(XY).
答案： 2
5 E ( X Y ) ; E ( X 2 ) 3; 2 4 E (Y ) ; 3
2
面积 6
0
3 E ( XY ) 2
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
1
（３）另解
E( X )
3
3
xf ( x , y )dxdy
1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
i i i j
E (Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
j j j i
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E ( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 0, 其它。
所以
E s
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
3
(2) x [0,1] 时
1 所以 k 2
f X ( x)
1 f ( x, y )dy 1 xydy 2 x 2
x [0,1] 其它
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy f ( x, y) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X
我们需要计算X的数学期望，然后与10 比较
先求出化验次数X的分布律。 化验次数X的可能取值为1，11
(X=1)=“10人都是阴性”
注意求 X 期望值的 步骤！
P{ X 1} (1 0.1) 0.9
10
10
（X=11)=“至少1人阳性”
P{ X 11} 1 0.9
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
二项分布可表示为 n 个０－１分布的和 X
X
i 1
n
i
0, A在第i次试验中不发生 其中 X i 1，A在第i次试验中发生
则
E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) np
i 1 i 1 n n
x
x0 x0
E( X ) xf ( x)dx xe
0
x
dx
xe 1
x
|
0
0
e
x
dx
1
e
x
|
0
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f2 ( y) 其它 0,
E[ XY )]
1
xyf ( x, y)dxdy
5
xyf1 ( x) f 2 ( y)dxdy
1
dx xy 2 x e ( y 5) dy
3
0-1分布的数学期望
分布律 X服从0-1分布，其概率分布为 P(X=1)=p P(X=0)=1- p 数学期望
X
P
0
1-p
1
p
E ( X ) 0 (1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
二项分布的数学期望
分布律 数学期望 X服从二项分布，其概率分布为
0 5
2 x dx
2 0
1
5
ye
( y 5)
dy
4
数学期望的性质
. . .
E (C ) C
E (CX ) CE ( X )
C 为常数
E( X Y ) E( X ) E(Y )
当随机变量 X , Y 相互独立时
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E ( X , Y ) ( E ( X ), E (Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E ( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x , y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
If
X ~ P( ) , then
E( X )
均匀分布的期望
分布密度
1 f ( x) b a 0 a xb 其它
数学期望
E( X )
xf ( x)dx
b a
x ab dx ba 2
正态分布的期望
分布密度
X~ N
(μ，σ2）
10
10
E ( X ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10
10
结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
问题的进一步讨论 1、概率p对是否分组的影响 若p=0.2，则
E ( X ) 0.810 1 (1 0.810 ) 11 9.9262
当p>0.2057时，E(X)>10 2、概率p对每组人数n的影响 当p=0.1时，为使
E ( X ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 10 n 21.86
n n
当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证
EX<10.
例
独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别
为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 解 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0，1
If X~B( n, p ), then E(X)= np
泊松分布的数学期望
分布律 数学期望
P( X k )
k
k!
e
E( X ) k
k 0
k
k!
e e
k 1
k 1
(k 1)!
(k 1 t )
e
t!
t 0
t
e e
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
3
1
dy
0
1 y xydx 2
3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{ X xk } pk , k 1, 2,
1
所以
2 x f X ( x) 0
y [1, 3] 时
fY ( y )
1 1 1 f ( x, y )dx 0 xydx 4 y 2
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0
E( X ) E (Y )
第四章
随机变量的数字特征
数学期望 方差 * 协方差与相关系数
大数定律与中心极限定理
数学期望的引例
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1x1 p2 x2 pk xk pk xk
P( X 0) (1- p1 )(1- p2 ) P( X 1) p1 (1- p2 ) (1- p1 ) p2 P( X 2) p1 p2
所以 E ( X ) [ p1 (1- p2 ) (1- p1 ) p2 ] 2 p1 p2
p1 p2
f ( x)
( x )2 2 2
1 2
( x )2 2 2
e
数学期望
E( X )
t
dx
t2 2
x
1 ( t ) 2 e
dt
指数分布的期望
分布密度 数学期望
e f ( x) 0
若广义积分 X 的数学期望
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
设（X,Y）在由4个点（0，0）（3，0），（3，2), (0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)
E(Y2),E(XY).
答案： 2
5 E ( X Y ) ; E ( X 2 ) 3; 2 4 E (Y ) ; 3
2
面积 6
0
3 E ( XY ) 2
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X sin x f x dx
xf X ( x )dx yfY ( y )dy
0 3
2 x 2 xdx 3 y 13 y dy 4 6
1
（３）另解
E( X )
3
3
xf ( x , y )dxdy
1
1
0
1
dx
1
1 x xydy 2
1
无需求 边缘分布密度函数
i i i j
E (Y ) y j P{Y y j } y j p. j y j pij
j j j i
(X,Y)为二维连续型随机变量
E( X )
x f X ( x)dx
x f ( x, y)dxdy,
E (Y )
k
数学期望的计算
例 已知随机变量X的分布律： X P 4 5 6 1/4
1/4
1/2
求数学期望E（X）
解
1 1 1 E( X ) 4 5 6 5 4 2 4
E ( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
连续型随机变量的数学期望E(X)
连续型随机变量
定义 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则
因为
1 , 0 x 2 ； f x 2 0, 其它。
所以
E s
随机变量的函数的数学期望
定理 2：二维情形 设 Z g( X ,Y ) 是随机变量 X， Y的函数, 离散型
P{ X xi , Y y j } pij , i , j 1, 2,
f ( x , y )dxdy 1
k ydy
1
1 xdx k 4 2k 1 2
3 1
3
(2) x [0,1] 时
1 所以 k 2
f X ( x)
1 f ( x, y )dy 1 xydy 2 x 2
x [0,1] 其它
y fY ( y)dy
y f ( x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy f ( x, y) 0
(1) 求k
x [0,1], y [1, 3] 其它
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解
得
(1)由
3
1 0
分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X
我们需要计算X的数学期望，然后与10 比较
先求出化验次数X的分布律。 化验次数X的可能取值为1，11
(X=1)=“10人都是阴性”
注意求 X 期望值的 步骤！
P{ X 1} (1 0.1) 0.9
10
10
（X=11)=“至少1人阳性”
P{ X 11} 1 0.9
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
二项分布可表示为 n 个０－１分布的和 X
X
i 1
n
i
0, A在第i次试验中不发生 其中 X i 1，A在第i次试验中发生
则
E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) np
i 1 i 1 n n
x
x0 x0
E( X ) xf ( x)dx xe
0
x
dx
xe 1
x
|
0
0
e
x
dx
1
e
x
|
0
数学期望在医学上的一个应用
An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每 10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果 结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对 10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病 率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化 验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？
求E（XY） 解
e ( y 5) , ( y 5) f2 ( y) 其它 0,
E[ XY )]
1
xyf ( x, y)dxdy
5
xyf1 ( x) f 2 ( y)dxdy
1
dx xy 2 x e ( y 5) dy
3
0-1分布的数学期望
分布律 X服从0-1分布，其概率分布为 P(X=1)=p P(X=0)=1- p 数学期望
X
P
0
1-p
1
p
E ( X ) 0 (1 p) 1 p p
若X 服从参数为 p 的0-1分布， 则E(X) = p
二项分布的数学期望
分布律 数学期望 X服从二项分布，其概率分布为
0 5
2 x dx
2 0
1
5
ye
( y 5)
dy
4
数学期望的性质
. . .
E (C ) C
E (CX ) CE ( X )
C 为常数
E( X Y ) E( X ) E(Y )
当随机变量 X , Y 相互独立时
E ( XY ) E ( X ) E (Y )
数学期望又可以称为期望值(Expected Value)， 均值(Mean)
二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望
E ( X , Y ) ( E ( X ), E (Y ))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E ( X ) xi P{X xi } xi pi. xi pij
E[ g( X , Y )] g( xi , y j ) pij
i j
连续型
联合概率密度为 f ( x , y )
E[ g ( X , Y )]
g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例
设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为
2 x, (0 x 1) f1 ( x) 0, 其它
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值
x
在E(X)附近摆动
x E( X )
If
X ~ P( ) , then
E( X )
均匀分布的期望
分布密度
1 f ( x) b a 0 a xb 其它
数学期望
E( X )
xf ( x)dx
b a
x ab dx ba 2
正态分布的期望
分布密度
X~ N
(μ，σ2）
10
10
E ( X ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10
10
结论： 分组化验法的次数少于逐一化验法的次数
问题的进一步讨论 1、概率p对是否分组的影响 若p=0.2，则
E ( X ) 0.810 1 (1 0.810 ) 11 9.9262
当p>0.2057时，E(X)>10 2、概率p对每组人数n的影响 当p=0.1时，为使
E ( X ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 10 n 21.86
n n
当p=0.2时，可得出n<10.32，才能保证
EX<10.
例
独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别
为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2 解 设产生故障的仪器数目为X 则X的所有可能取值为0，1
If X~B( n, p ), then E(X)= np
泊松分布的数学期望
分布律 数学期望
P( X k )
k
k!
e
E( X ) k
k 0
k
k!
e e
k 1
k 1
(k 1)!
(k 1 t )
e
t!
t 0
t
e e
0
2 x 2 xdx 3
E (Y )
1
yf ( x , y )dxdy
3
1
dy
0
1 y xydx 2
3
1
y 13 y dy 4 6
随机变量的函数的数学期望
定理 1：一维情形
设 Y g( X ) 是随机变量 X的函数, 离散型 P{ X xk } pk , k 1, 2,
1
所以
2 x f X ( x) 0
y [1, 3] 时
fY ( y )
1 1 1 f ( x, y )dx 0 xydx 4 y 2
y [1, 3] 其它
3
1 1
1
（３）
y f y ( y) 4 0
E( X ) E (Y )
第四章
随机变量的数字特征
数学期望 方差 * 协方差与相关系数
大数定律与中心极限定理
数学期望的引例
Mathematical Expectation 例如：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为
90 85 2 80 2 75 60 7 1 2 2 1 1 90 85 80 75 60 7 7 7 7 7 79.3
以频率为权重的加权平均
数学期望E(X)
Mathematical Expectation 离散型随机变量 定义 设离散型随机变量的概率分布为
若级数 pk xk 绝对收敛， 则称此级数为
k
P( X xk ) pk
k 1, 2,
随机变量X的数学期望，记作E（X），即
E( X ) p1x1 p2 x2 pk xk pk xk
P( X 0) (1- p1 )(1- p2 ) P( X 1) p1 (1- p2 ) (1- p1 ) p2 P( X 2) p1 p2
所以 E ( X ) [ p1 (1- p2 ) (1- p1 ) p2 ] 2 p1 p2
p1 p2