水泥混凝土路面应力分析

2. 应力计算公式 【1】荷载位于板中（荷位1） 1 P 荷载应力计算公式为： i 1.1(1 c )(lg 0.2673) 2
b h
(7-21)
相应的位移为：
其中
Pl 2 wi 8D
(7-22)
l
4
Ec h 3 12(1 c 2 ) K
【2】荷载位于板边（荷位2） l P 荷载应力公式为： c 2.116(1 0.54 c )(lg 0.08975) 2
水泥混凝土路面应力分析
1 2 3 4 5 6 早期荷载应力分析 威斯特卡德荷载应力分析 弹性地基板的荷裁应力 混凝土路面板荷载应力的有限元分析 有接缝泥凝土路面板的有限元分析 水泥混凝土路面的温度应力分析
1 早期荷载应力分析
欧尔德和歌德贝克根据调查发现一般水泥混凝土路板 的厚度较薄，路面破坏的主要形式为角隅断裂，所以欧尔 德认为主要应该验算角隅应力：并且认为角隅断裂主要是 板下地基局部下沉，使得板角端部脱空所致。当然，除了 地基局部下沉以外，路面板因温度的均匀或不均匀变化而 产生板角向上翘曲，也会引起水泥混凝土路面板与地接的 局部脱开。反映这种情况的计算图见图7—l。欧尔德根据 材料力学原理，假定地基脱空，板是悬臂变截面梁
假如考虑板自重的影响，根据弹性半空间体系在轴对称荷载作 用下的表面位移计算公式可得： 主要变换公式：
4 混凝土路面板荷载应力的有限分 析
一 水泥混凝土路面有限元分析方法
2 矩形薄板单元和位移模式 对于一个不受支承的结点i的位移可以表示为
位移模式如下：
对于结点j、m、p都有上述类似的公式，整理可得：
布拉德伯利提出了当 L 5l , C 0.2, 0.15 时，板中板底的最 大应力修正公式为
凯利提出了当 L 1.75l , C 0.05, 0.15 时，板中的板底最大应力 修正公式：
由计算结果可知．凯 利修正公式的结果为威 斯特卡德的72％—82％， 布拉德伯利修正公式结 果为威斯特产德的87 ％—91％(图7—6)。
（7-8）
其中：D-板的弯曲刚度。 经过整理可得：
12M y 12M xy 12M x x 3 z, y 3 z, xy yx z 3 h h h 6Qy h2 2 6Qx h2 2 1 z z xz 3 ( z ), yz 3 ( z ), z 2q( )2 (1 ) h 4 h 4 2 h h
3 弹性地基板的荷载应力
一、弹性半空间地基水泥混凝土路面应力分析 在求解弹性半空间地基板的荷载应力计算公式时，弹性小 挠度薄板的基本假定以及弹性曲面微分方程、弯矩、挠度 计算公式仍然适用。但将板臵于弹性地基之上并与之共同 作用，在解题时对板与地基之间的联系应补充作以下假设： (1)在变形过程中，板与地基始终紧密接触，因此，地基顶 面的垂直位移与薄板中面的垂直位移相等； (2)板与地基的接触面上无摩擦阻力，可以自由滑动，也就 是说层间水平剪力为零，地基对板体只有垂直作用； (3)地基符合弹性、均质、各向同性的假定。 当弹性地基无限大板作用有轴对称荷载q(r)时，可采用 柱坐标系，若考虑到地基对板体的反力荷载为p(r)，则弹 性曲面微分程可写为
（7-24）
3半径及的修正(见图7—5)。 如果作用 在面板上的力不出现 集中现象．荷载半径R与厚度h 相差并个大，则以往的假定是 符合实际的．假如出现集中现 象，R 同h相比，小于某一限度， 则以上的假定不再符合实际。 应按照厚板理论进行计算，由 此采用当量半径b取代实际半 径及R： 当R<1.724h， b 1.6R2 h2 0.675h 当R>1.724h， b R (7-25)
b h
相应的位移为：
wc
1 P (1 0.4 ) Kl 2 6
（7-23）
【3】荷载位于板角（荷位3） 2 R 0.6 P 2 c 3 1 荷载应力公式为： h l
相应点的位移为：
2R P wc (1.1 0.88 ) 2 l Kl
考虑收敛情况： 7-60式前三项反应了薄板的刚体位移，三个二次项反应了常量的应 变，可见满足单元位移的完备性准则。另外还要满足位移模式在 单元内要连续，单元之间边界要协调。在边ij ，y是常量，w是x 的三次式，所以， 这四个数可以完全地确定它。因而保证了这两个单元之间的挠度 w及转角 y 的连续。 其中 在边 ij 上也是x的三次多项式，但只有
这 两个限制条件，因此在边 ij相邻的单元并不是 在整个公共边界上都有相同的x ，但是单元逐步取小的时候 还是可以收敛的。 3 薄板的内力矩阵与劲度矩阵
4 单元刚度矩阵 根据虚功原理，外荷载在虚位移上的虚功，就等于整个 弹性体内应力在虚应变上的虚功。
5 地级刚度矩阵 （1）温克勒地基
（2）弹性半空间地基 地基刚度矩阵的建立采用布辛尼斯克公式，假定在结点i 周围的地基反力是均匀分布的，由该反力荷载引起的任意 点的挠度可以写为：
四、多层地基板的有限元分析原理 第一步：对每一种单元类别，用层状体系计算对自身 的柔度系数 。在单元刚度形成过程中只要判断该单元属 fii fii值。 哪一种类别，就可采用对应的柔度系数 第二步：对某一种固定荷载面积的多层地基结构，沿 径向各点的挠度仅与距离r有关。荷载为一半径很小的圆 形均布荷载，其荷载总值为1，然后选定一组径向距离， 计算各点的挠度。当获得各点的挠度之后，再用回归分析 法建立挠度与径间距离之间的函数关系W(r)。 五、有接缝路面板的压缩矩阵法有限元分析 如图7—19所示的五块板体系。假定四块边板不受荷 载作用，荷载通过接缝处的某种剪力传递形式，由中心板 传至边板。假定每块板的尺寸相同，并且划分为相同的矩 形单元。为了叙述方便，每块扳分为4个单元、9个结点。
[2]荷载作用于板边(荷位2) 阿灵顿试验发现，在没有翘曲的 情况下，对于常用的轮印，实测应 力与威斯特卡德理论计算结果很一 致；假如a值较大，则实测应力略大 于威斯特卡德理论计算结果；假如a 较小，则实测应力略小于威斯特产 德理论计算结果，但差异很小。在 没有翘曲的情况下，其差值很小。 在白天有翘曲的情况下， 对于常用 的轮印，实测应力略大于威斯持卡 德理论计算结果，在夜晚有翘曲的 情况下，对于常用的轮印，实测应 力明显大于威斯特卡德理论计算结 果。 凯利(Kclly)提出了修正。当 时 L 5l ： 由计算结果可知凯利结果比没 合修正的结果大6％—17％(图7—7)。
1．弹性薄板基本假设 研究弹性地基上无限大板时，以弹性薄板小挠度问题 作为力学模型描述板体。弹性力学理论中，对此有以下三 点假设： (1)垂直于中面方向形变分量 z 极其微小，可以略去不计； (2)应力分量 zx , zy和 z远小于其余三个应力分量，是次要的。 可以忽略它们所引起的形变分量； (3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移。 由假设（1）可以得到：
不计 z 的影响 ，板的应力应变关系为：
x
1 1 2(1 ) ( x y ), y ( y x ), xy xy E E E
（7-7）
由假设（3）可以得到：
u | z 0 v | z 0 0
则
w w u z , v z x y
（7-13）
当z=h/2时，可得板得最大应力的关系为：
6M xy 6M 6M x 2 , y 2 , xy yx h h h2
（7-14）
三、威斯特卡德计算公式 1．荷载图式 威斯持卡德研究了三种典型临界 荷载位臵下板的最大挠度和最大应 力。这三种荷载位臵为板中(图7-4 荷位1)、板边(图7-4荷位2)、板角 (图7-4荷位3)。
4．阿灵顿试验路 [1] 荷载作用于板中(荷位1) 阿灵顿试验发现，实测的板中应力值比板中加载的威斯特卡应 力计算公式的计算结果小，威斯特卡德曾解释，主要是由于地 基反力同挠度相比较更加集中于荷载的周 围。而温克勒地基假设那样，反力与挠度成正比关系。因此， 荷载附近反力增加，板体的挠度和应力略有降低：威斯特卡德 提出如下修正公式。
6 荷载矩阵
5 有接缝泥凝土路面板的有限元分 析
一 采用传力杆的接缝 当采用传力杆传递剪力时，沿接缝处，中心板的浇 度与边板的挠度是不同的，挠度之差Wd 是由于传力杆的 剪切变形S 和传力杆下混凝土的变形 C引起，如图7— 14所示。 中心板与边板的挠度差：
其中传力杆下混凝土的变形如下：
h2
3P h2
当荷载作用在内侧角隅处，纵缝有传力杆连接时，则荷 载的传力情况十分复杂，可以认为有l／3的荷载通过纵缝 传给邻板，则破裂面上的最大弯拉应力为： P （7-3） 2
h
2
威斯特卡德荷载应力分析

一 弹性薄板的基本假设和弹性曲面方程 两个平行面利垂直于这两个平行向的柱面或棱柱面所 围成的物体称为板。平分厚度厚度h的平面称为板的中面。 如果板的厚度h远小于板面的最小尺寸b就称为薄板。薄板 受到垂直于板面的荷载作用时，板面就会弯曲，中面所弯 成的曲面称为弹性曲面，而中面各点沿z方向的位移称为 薄板的挠度w。假如挠度w远小于板的厚度h就称为小挠度 薄板，相应的理论称为小挠度薄板理论。通常的水泥混凝 土路面(道面)一般符合小挠度薄板理论的基本假定。
z
w 0, 即W W ( x, y ) z
（7-5）
由假设（2）可得：
zx zy 0,即
u w v w , z x z y
则
u z
w w f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ) x y
（7-6）
传力杆本身的剪切变形S 可近似地按材料力学的剪切变形计 算公式计算。定义传力杆系数 CW 为：
二
企口缝或依靠骨料锁结传递荷载
三 接缝混凝土路面的应力分析 直接法计算接缝混凝土路面应 力的基本原理 根据有限元理论，对图7— 15所示的两板系统，结点力与 结点位移之间的平衡方程为
由上式可知，对接缝混凝土路面板，只要在总刚 度矩阵中对有关项的刚度系数进行一定的处理，就可 生成接缝混凝土路面板的总刚度短阵。
当车轮荷载P作用在板角处，混凝土路面板形成一种悬 臂的形式；板的一端是固定的，与板内侧相联；板的另一 侧为自由端。由于荷载P引起的角隅断裂线AB与边缘线成 45度角，离顶点的距离为a(图7—2a)。
M 集中荷裁P引起的断裂线AB处的弯矩为：
Pa
以板中的应力来表征为：
由此可得：

（7-1） 当荷载作用在内侧角隅处，横缝有传力杆连接时，如 图(7—2b)所示，假定有一半的荷载传到邻板，路面沿着 CD、DE发生破坏，则破裂面上的最大弯拉应力为： 1.5 P （7-2）
[3]荷载作用于板角(荷位3) 布拉德伯利认为实测应力远远大于威斯特 卡德理论计算结果．并且提出角隅 加载时混凝土路面的荷载应力公式如下： 布拉德伯利提出的修正公式相当于将原来板 角附近的反应模量减少为原有的四分之一， 以此来提高混凝土路面板的应力。 凯里提出了角隅修正公式：
阿灵顿试验表明，在正常气候条件 下．在白天．板角向下翘曲，板体 与地基保持接触的条件下，实测应 力与威斯特卡德理论计算结果完全 一致。可是，在夜间，当角隅向上 翘曲时，实测府力比威斯特卡德理 论公式(7—25)计算结果和布拉德伯 利公式(7—30)计算结果高出许多， 但比欧尔德应力计算公式(7—1)低。 断裂面离开角隅顶端的对角线距离 略大于威斯持卡德理论公式的计算 结果。通过实例计算表明，不同的 角隅应力计算公式有很大的差别。 假如以威斯特卡德理论计算结果为 准，则布拉德伯利公式(7—30)计算 结果超出7％—20％；凯利计算结果 超出27％—51％；而欧尔德公式超 出38％—104％(图7-8)。