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2019年福建省漳州市诏安县“新华杯”初中数学竞赛试卷(含精品解析)

2019学年福建省漳州市诏安县“新华杯”初中数学竞赛试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知，且a+b+c＝2001k，那么k的值为（）A．B．4C．D．﹣42．若x2﹣3x+1＝0，则3x+等于（）A．﹣9B．9C．3D．﹣33．如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝（）A．55°B．60°C．65°D．70°4．运算符号△的含义是，则方程（1+x）△（1﹣2x）＝5的所有根之和为（）A．﹣2B．0C．2D．45．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（）A．B．C．D．6．已知：2x×3y＝576，则等于（）A．1B．2C．3D．47．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（）A．B．C．D．8．若不等式组的解集是x＞2，则整数m的最小值是（）A．2B．3C．4D．59．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2，③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长等于（）A．B．C．12D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．中华人民共和国国旗上的五角星的每一个角的度数是．12．当﹣1≤x≤2时，式子2+|x﹣2|的最大值为．13．已知函数y＝与y＝k2x图象的交点是（﹣2，5），则它们的另一交点是．14．如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE＝CD，连接BE，与AD交于点P，过点B作BQ⊥AD于Q，那么BP：PQ＝．15．如图，把一个长26cm，宽14cm的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个长方形分别全等．那么中间小正方形的面积是cm．16．如图，长方形ABCD内的每个圆的面积是9π，那么长方形ABCD的面积是．17．某班学生共有60人，会游泳的有27人，会体操的有28人，游泳、体操都不会的有15人，那么既会游泳又会体操的有人．18．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD 与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝m，则电线杆AB的长为m．19．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元，百公里耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图中的l1、l2所示，则l1与l2的交点的横坐标m＝（不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用）．20．在一列数x1，x2，x3，…中，已知x1＝1，且当k≥2时，（符号[a]表示不超过实数a的最大整数，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0），则x2010等于．三、解答题（共5小题，满分50分）21．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱一共100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？22．在某市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y，前5场比赛的平均得分x．（1）用含x的代数式表示y；并求y的最小值．（2）当y＞x时，小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？23．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为10km 和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝P A+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝P A+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝P A+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．24．已知A（﹣1，m）与B（2，m+3）是反比例函数图象上的两个点．（1）求k的值；（2）若点C（﹣1，0），则在反比例函数图象上是否存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A（3，0），B（0，）两点．（1）求直线AB的解析式；（2）在第一象限内是否存在点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请画出所有符合条件的点P，并求其中一个点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．【解答】解：由，得，三式相加，得a+b+c＝4×2001∵a+b+c＝2001k，∴k＝4．故选：B．2．【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2+1＝3x，∴3x+，＝，＝，＝9．故选：B．3．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE＝140°，∴∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠C＝＝65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF＝∠C＝65°．所以A错，B错，C对，D错．故选C．4．【解答】解：当x≥0时，1+x≥1﹣2x，∴1+x＝5，解得x＝4；当x＜0时，1+x＜1﹣2x，∴1﹣2x＝5，解得x＝﹣2．所以方程（1+x）△（1﹣2x）＝5的所有根之和为4+（﹣2）＝2．故选：C．5．【解答】解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．6．【解答】解：∵2x×3y＝576＝26×32，∴x＝6，y＝2，∴＝+＝2．故选：B．7．【解答】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，且从P点开始到M 点为止，故选：D．8．【解答】解：解不等式组得：（1）当2m﹣5≥m﹣1时，解得m≥4，∴此时2m﹣5＞3，m﹣1＞3∴此时愿不等式组的解集不可能是x＞2；（2）当2m﹣5＜m﹣1时，此时m﹣1＝2，解得m＝3．故选：B．9．【解答】解：根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG＝4cm，BC＝8cm；P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD＝4cm，面积y＝＝24cm2．图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2．四个结论都正确．故选：D．10．【解答】解：延长AD、BC，两条延长线相交于点E，∵在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠E＝90°﹣60°＝30°．∴在Rt△DCE中，∠E＝30°，CD＝10，∴DE＝2CD＝20，∴AE＝AD+DE＝20+4＝24．∴在Rt△ABE中，AB＝AE•tan∠E＝AE•tan30°＝×24＝8，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．故选：A．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．【解答】解：∠AFD＝∠C+∠D，∠AGB＝∠B+∠E，∵∠A+∠AFD+∠AGB＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝×180°＝36°．故答案为：36°．12．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴当x＝﹣1时，|x﹣2|＝|﹣1﹣2|＝|﹣3|＝3，当x＝2时，|x﹣2|＝|2﹣2|＝0，∴2+|x﹣2|的最大值为2+3＝5．故答案为：5．13．【解答】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它们的另一交点是（2，﹣5）．14．【解答】解：在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD，（SAS）∴∠CAD＝∠ABE，∵∠CAD+∠P AB＝60°，∴∠BPQ＝∠BAP+∠ABE＝∠CAD+∠P AB＝60°，∴在直角△BPQ中，PQ：BP＝sin30°＝1：2，∴BP：PQ＝2：1．故答案为2：1．15．【解答】解：设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据题意得：，解得：，故小正方形的面积＝6×6＝36（cm2）．答案填：36．16．【解答】解：设圆的半径是r，∵圆的面积是9π，∴πr2＝9π，解得：r＝3，∴长方形ABCD的长BC＝6×3＝18，AB＝2×3＝6，∴长方形ABCD的面积是18×6＝108．故答案为：108．17．【解答】解：不会游泳的人数是：60﹣27＝33人；不会体操的人数是：60﹣28＝32人；则游泳和体操有一项不会的人数是：33+32﹣15＝50人．∴既会游泳又会体操的有：60﹣50＝10人．故答案是：10．18．【解答】解：如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F．∵∠DCF＝45°，∠A＝60°，CD＝4m，∴CF＝DF＝m，EF＝DF tan60°＝（m）．∵，∴（m）．19．【解答】解：设每升汽油的价格为a元，由题意可知l1＝（×a）x+1440，l2＝（a+0.8）×x，令l1＝l2，解得x＝22500．故l1与l2的交点的横坐标m为22500．20．【解答】解：∵x1＝1，且当k≥2时，∴x2＝1+1﹣0＝2，x3＝2+1﹣0＝3，x4＝3+1﹣0＝4，x5＝4+1﹣4×（1﹣0）＝1，x6＝1+1﹣4×（1﹣1）＝2，x7＝2+1﹣4×（1﹣1）＝3，x8＝3+1﹣4×（1﹣1）＝4，∴可得规律：每4个一循环，∵2010÷4＝502…2，余数为2，∴x2010＝2．故答案为：2．三、解答题（共5小题，满分50分）21．【解答】解：（1）设生产A型冰箱x台，则B型冰箱为（100﹣x）台，由题意得：47500≤（2800﹣2200）x+（3000﹣2600）×（100﹣x）≤48000解得：37.5≤x≤40∵x是正整数∴x取38，39或40．有以下三种生产方案：（2）设投入成本为y元，由题意有：y＝2200x+2600（100﹣x）＝﹣400x+260000当x＝40时，y有最小值．即生产A型冰箱40台，B型冰箱60台，该厂投入成本最少24400022．【解答】解：（1），（2分）y随x的增大而增大，y最小值12，此时x的最小值8；（2分）（2）由题意有，解得x＜17，（2分）所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为17×5﹣1＝84．（4分）（2分）23．【解答】解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC＝40，又∵AP＝10，∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30．在△ABD中，AD＝＝40，在Rt△PBC中，∴BP＝，S1＝．图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，又∵BC＝40，∴BA'＝，由轴对称知：P A＝P A'，∴S2＝BA'＝，∴S1＞S2．（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'为最小．（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，B′G＝40+10＝50，A′G＝30+30+40＝100，A'B'＝，∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50，∴所求四边形的周长为．24．【解答】解：（1）将A（﹣1，m）与B（2，m+3）代入反比例函数中，得：m＝﹣k，m+3＝，∴（﹣1）•m＝2•（m+3），解得：m＝﹣2，则k＝2；（2）如图1，作BE⊥x轴，E为垂足，则CE＝3，BE＝，BC＝2，∵Rt△CBE中，BE＝BC，∴∠BCE＝30°，又点C与点A的横坐标相同，∴CA⊥x轴，∴∠ACB＝120°，当AC为底时，由于过点B且平行于AC的直线与双曲线只有一个公共点B，故不符题意；当BC为底时，过点A作BC的平行线，交双曲线于点D，过点A，D分别作x轴，y轴的平行线，交于点F，由于∠DAF＝30°，设DF＝m1（m1＞0），则AF＝m1，AD＝2m1，由点A（﹣1，﹣2），得点D（﹣1+m1，﹣2+m1），因此（﹣1+m1）•（﹣2+m1）＝2，解之得（m1＝0舍去），因此点，此时，与BC的长度不等，故四边形ADBC是梯形，如图2，当AB为底时，过点C作AB的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D，由于AC＝BC，因此∠CAB＝30°，从而∠ACD＝150°，作DH⊥x轴，H为垂足，则∠DCH＝60°，设CH＝m 2（m2＞0），则，CD＝2m2，由点C（﹣1，0），得点，因此，解之得m2＝2（m2＝﹣1舍去），因此点D（1，2，此时CD＝4，与AB的长度不相等，故四边形ABDC是梯形，如图3，当过点C作AB的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D时，同理可得，点D（﹣2，﹣），四边形ABCD是梯形，综上所述，函数图象上存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐标为：或D（1，2或D（﹣2，﹣）．25．【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，根据题意，解得，∴．（2）由题可得OA＝3，OB＝，AB＝2，∠OAB＝30°．当∠OBP＝90°时，如图，①若△BOP∽△OBA，则∠BPO＝∠BAO＝30°，BP＝OB＝3，∴P1（3，）；②若△BPO∽△OAB，则∠BOP＝∠BAO＝30°，OP＝OB＝1，∴P2（1，）；当∠OPB＝90°时，③过点P作OP⊥BC于点P（如图），此时△PBO∽△OAB，∠BOP＝∠BAO＝30°，过点P作PM⊥OA，在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝，∵在Rt△PMO中，∠OPM＝60°，∴OM＝OP＝，PM＝OM＝，∴P3（，）；④若△POB∽△OBA，则∠OBP＝∠BAO＝30°，∠P4OM＝90°﹣（90°﹣30°）＝30°，∴P4M＝OM＝，∴P4（，）．当∠OPB＝90°时，点P在x轴上，不符合要求．故符合条件的点有四个：P1（3，），P2（1，），P3（，），P4（，）．。

2019学年浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级(上)竞赛数学试卷(12月份)解析版

2019-2020学年浙江省杭州市萧山区高桥初中八年级（上）竞赛数学试卷（12月份）一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形2．下列命题中，真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中，至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等3．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（）A．6B．6.5C．13D．不能确定4．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为（）A．64B．128C．132D．2565．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．6．某种毛巾原零售价每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠销售办法，第一种：“两条按原价，其余按七折优惠”；第二种：“全部按原价的八折优惠”，若想在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买毛巾（）A．4条B．5条C．6条D．7条7．若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，3）的对应点为C（2，2），则点B（﹣3，﹣1）的对应点D的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，0）D．（4，6）8．函数自变量x的取值范围是（）A．x≥1且x≠3B．x≥1C．x≠3D．x＞1且x≠3 9．若kb＞0，则函数y＝kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A．1B．3C．3（m﹣1）D．二、填空题：（本大题共6小题，每题4分，共24分）11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．12．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差km/h．13．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝．14．在平面直角坐标系中，若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第象限．15．已知：腰长为x，底边边长为y的等腰三角形周长为12，则：y与x的函数关系式，自变量x取值范围．16．对于整数a、b、c、d规定符号＝ac﹣bd，若，则b+d＝．三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．先阅读，再解答问题．例：解不等式＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1）或（2）．解不等式组（1）得＜x＜1，解不等式组（2）知其无解，所以得不等式的解为＜x＜1．请根据以上解不等式的思想方法解不等式＜2．18．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法）19．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．20．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，如，在图中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）请判断点M（1，3），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a、b的值．21．已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的解析式，自变量x的取值范围；（2）当x＝﹣时，函数y的值；（3）当y＜1时，自变量x取值范围．22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；A B载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；（1）用含x的式子填写表格车辆数（辆）载客量租金（元）A x45x400xB5﹣x（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．23．如图，点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求∠EDC的度数；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．2019-2020学年浙江省杭州市萧山区高桥初中八年级（上）竞赛数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A+∠B＝180°﹣∠C，由∠A＝∠B﹣∠C变形得∠A+∠B＝∠C，则180°﹣∠C＝∠C，解得∠C＝90°，即可判断△ABC的形状．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A，而∠A﹣∠C＝∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴180°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝90°，∴△ABC为直角三角形．故选：D．2．下列命题中，真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中，至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等【分析】利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，应该是两个锐角三角形或钝角三角形全等．故错误，为假命题；C、三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，故选：C．3．若直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是（）A．6B．6.5C．13D．不能确定【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．4．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为（）A．64B．128C．132D．256【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1B2是等边三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，A n B n＝2n﹣1，∴△A8B8B9的边长＝27＝128，故选：B．5．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则分析选项可得答案．【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，∴不等式组的解集为：＜x≤4，故选：A．6．某种毛巾原零售价每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠销售办法，第一种：“两条按原价，其余按七折优惠”；第二种：“全部按原价的八折优惠”，若想在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买毛巾（）A．4条B．5条C．6条D．7条【分析】设购买毛巾x条，根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x﹣2）条毛巾的价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，根据题意列出不等式即可．【解答】解：设购买毛巾x条，由题意得：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x解得x＞6．∵x为最小整数，∴x＝7，故选：D．7．若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，3）的对应点为C（2，2），则点B（﹣3，﹣1）的对应点D的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，0）D．（4，6）【分析】根据点A（﹣1，3）的对应点为C（2，2），可知横坐标由﹣1变为2，向右移动了3个单位，3变为2，表示向下移动了1个单位，以此规律可得D的对应点的坐标．【解答】解：点A（﹣1，3）的对应点为C（2，2），可知横坐标由﹣1变为2，向右移动了3个单位，3变为2，表示向下移动了1个单位，于是B（﹣3，﹣1）的对应点D的横坐标为﹣3+3＝0，点D的纵坐标为﹣1﹣1＝﹣2，故D（0，﹣2）．故选：A．8．函数自变量x的取值范围是（）A．x≥1且x≠3B．x≥1C．x≠3D．x＞1且x≠3【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣3≠0，解得x≥1且x≠3．故选：A．9．若kb＞0，则函数y＝kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据kb＞0，可知k＞0，b＞0或k＜0，b＜0，然后分情况讨论直线的位置关系．【解答】解：由题意可知：可知k＞0，b＞0或k＜0，b＜0，当k＞0，b＞0时，直线经过一、二、三象限，当k＜0，b＜0直线经过二、三、四象限，故选：A．10．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A．1B．3C．3（m﹣1）D．【分析】设AD⊥y轴于点D；BF⊥y轴于点F；BG⊥CG于点G，然后求出A、B、C、D、E、F、G各点的坐标，计算出长度，利用面积公式即可计算出．【解答】解：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）．所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD＝BF＝GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于×2×1×3＝3．故选：B．二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE＝a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．【分析】先根据∠C＝30°，∠BAC＝90°，DE⊥AC可知BC＝2AB，CD＝2DE，再由AB＝AD可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论．【解答】解：∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，DE⊥AC，∴BC＝2AB，CD＝2DE＝2a．∵AB＝AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC＝2CD＝4a，AB＝BC＝2a，∴AC＝＝＝2a，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2a+4a+2a＝（6+2）a．故答案为：（6+2）a．12．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差4km/h．【分析】根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可．【解答】解：根据图象可得：∵甲行驶距离为100千米时，行驶时间为5小时，乙行驶距离为80千米时，行驶时间为5小时，∴甲的速度是：100÷5＝20（千米/时）；乙的速度是：80÷5＝16（千米/时）；故这两人骑自行车的速度相差：20﹣16＝4（千米/时）；解法二：利用待定系数法s＝k甲t+b，s＝k乙t，易得k甲＝16，k乙＝20，∵速度＝路程÷时间所以k甲、k乙分别为甲、乙的速度故速度差为20﹣16＝4km/h故答案为：4．13．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|＝8．【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，∴|x﹣5|+|x﹣13|＝x﹣5+13﹣x＝8，故答案为：8．14．在平面直角坐标系中，若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第一象限．【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故答案为：一．15．已知：腰长为x，底边边长为y的等腰三角形周长为12，则：y与x的函数关系式y ＝12﹣2x，自变量x取值范围3＜x＜6．【分析】根据等腰三角形的定义以及周长的定义即可写出函数关系式，根据三角形的边长以及三角形的三边的关系定理即可求得x的范围．【解答】解：y＝12﹣2x，根据题意得：，解得：3＜x＜6．故答案是：y＝12﹣2x，3＜x＜6．16．对于整数a、b、c、d规定符号＝ac﹣bd，若，则b+d＝±3．【分析】根据已知得到1＜4﹣db＜3，求出不等式组的整数解db＝2，即可求出d、b的值，代入即可求出答案．【解答】解：，1＜4﹣db＜3，∴1＜bd＜3，∵bd是整数，∴db＝2，∴当d＝1时b＝2或当d＝﹣1时b＝﹣2，∴b+d＝±3．故答案为：±3．三．解答题（共7小题）17．先阅读，再解答问题．例：解不等式＞1解：把不等式＞1进行整理，得﹣1＞0，即＞0．则有（1）或（2）．解不等式组（1）得＜x＜1，解不等式组（2）知其无解，所以得不等式的解为＜x＜1．请根据以上解不等式的思想方法解不等式＜2．【分析】首先看明白例题的解法，即先移项，再通分最后根据分子、分母同大于0或分子、分母同小于0列不等式组解答即可，然后模仿例题的解法写出解的过程则可．【解答】解：将不等式＜2进行整理得﹣2＜0，即＜0，则有（1）或（2），解不等式组（1）有：﹣6＜x＜2；解不等式组（2）无解．所以原不等式的解集为﹣6＜x＜2．18．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法）【分析】（1）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图即可；（2）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图．【解答】解：（1）按要求作图如图：（2）按要求作图如图：或（视为同一种）；19．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△ACD是直角三角形，分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．【解答】解：连结AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×3×4＝6，在△ACD中，∵AD＝13，AC＝5，CD＝12，∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC•CD＝×5×12＝30．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．20．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，如，在图中，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）请判断点M（1，3），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a、b的值．【分析】（1）根据题意可计算点M、N与坐标轴围成的长方形的面积和周长，即可得出答案；（2）根据题意先把P（a，3）代入y＝x+b中，可得a+b＝3，再根据和谐点的概念可得点P与坐标轴围成的长方形面积S＝3a，周长C＝（a+3）×2相等，可得3a＝（a+3）×2，计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵M（1，3），如图1，∴MA＝1，MB＝3，∴长方形MAOB的面积S＝3×1＝3，周长C＝（1+3）×2＝8，∴M不是和谐点；∵N（4，4），∴MC＝4，MD＝4，∴长方形NCOD的面积S＝4×4＝16，周长C＝（4+4）×2＝16，∴N是和谐点；（2）∵点P（a，3）在直线y＝x+b上，∴a+b＝3，又∵点P（a，3）是和谐点，∴点P与坐标轴围成的长方形面积S＝3a，周长C＝（a+3）×2，∴3a＝（a+3）×2，解得a＝6，b＝﹣3．21．已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．（1）求这个一次函数的解析式，自变量x的取值范围；（2）当x＝﹣时，函数y的值；（3）当y＜1时，自变量x取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把x＝﹣代入函数解析式求得y的值即可；（3）根据y＜1即可列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y＝﹣x+5，x是任意实数；（2）把x＝﹣代入解析式得：y＝+5＝；（3）根据题意得：﹣x+5＜1，解得：x＞4．22．某公交公司有A、B两种客车，它们的载客数量和租金如表；A B载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送八年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题；（1）用含x的式子填写表格车辆数（辆）载客量租金（元）A x45x400xB5﹣x30（5﹣x）280（5﹣x）（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【分析】（1）根据题意，载客量＝汽车辆数×单车载客量，租金＝汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；（3）由（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．【解答】解：（1）∵载客量＝汽车辆数×单车载客量，租金＝汽车辆数×单车租金，∴B型客车载客量＝30（5﹣x）；B型客车租金＝280（5﹣x）；填表如下：车辆数（辆）载客量租金（元）A x45x400xB5﹣x30（5﹣x）280（5﹣x）（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4，∴x的最大值为4；（3）由（2）可知，x≤4，故x可能取值为0、1、2、3、4，①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5＝1400元，但载客量为45×0+30×5＝150＜195，故不合题意舍去；②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4＝1520元，但载客量为45×1+30×4＝165＜195，故不合题意舍去；③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3＝1640元，但载客量为45×2+30×3＝180＜195，故不合题意舍去；④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2＝1760元，但载客量为45×3+30×2＝195＝195，符合题意；⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1＝1880元，但载客量为45×4+30×1＝210，符合题意；故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．故答案为：30（5﹣x）；280（5﹣x）．23．如图，点D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求∠EDC的度数；（2）若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．【分析】（1）证明△ACD≌△BCD即可解题；（2）连接CM，先证明CM＝CD，即可证明△BCD≌△ECM，即可解题．【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，∴∠DAB＝∠DBA，∴AD＝BD，在△ACD和△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SAS），∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝∠CAD+∠ACD＝60°；（2）证明：连接CM，∵DC＝DM，∠CDE＝60°，∴△DMC为等边三角形，∴∠MCE＝45°，∴CM＝CD，在△BCD和△ECM中，，∴△BCD≌△ECM（SAS），∴ME＝BD．。

(完整版)2019年初中七年级数学竞赛试题及答案,推荐文档

对于任意一条直线 l ,在直线 l 从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线 l 分割后，设直线 l 两侧图形的面积分别为 S1，S2.两侧图形的面积由 S1<S2（或 S1>S2）的情形，逐渐变为 S1>S2（或 S1<S2）的情形，在这个平移过程中，一定会存在 S1=S2 的时刻.因此，一定存在一条直线，将一个任意平面图形分割成面积相等的两部分.---- ----15 分
--------------------15 分
18．（15 分）（1）在图中每画出一条给 0.5 分
-----------------2 分
（2）① -----------------------5 分
②
S1<S2 S1=S2 S1>S2
（3）存在.
S1<S2 S1=S2 S1>S2
-------------11 分 ---------------13 分
请你在图18中相应图形下方的横线上分别填写s1s2的数量关系式用182请你在图18中分别画出反映s1s2三种大小关系的直的横线上分别填写s1s2的数量关系式用3是否存在一条直线将一个任意的平面图形如图请简略说出理由184分割成面积相等的两部分19
2019 年初中七年级数学竞赛试题及答案
一、选择题(每小题 6 分，共 48 分；以下每题的 4 个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内．)
17．（15 分）设第一代表团有 a 人，第二代表团有 b 人，由题意得：
a 35m 15 ， b 35n 20 ，其中 m、n 是自然数--------------------3 分
两个代表团共拍了 a×b 张照片，

蕲春县2019年语数英三科测评八年级数学竞赛试题及答案

蕲春县2019年初中语数英三科综合能力测评八年级数学试题（试卷满分：100分考试时间：2019年5月25日上午10:30—12:30）（沉着冷静，细心答题；挑战自我，相信自己！）题号一二三总分 13 14 15 16 17 得分一、细心填一填，相信你填得对！（每小题5分，共30分） 1．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，则=---+222222103225zy x z y x __________．2．直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是21，则此直角三角形的周长最小值是__________．3．设有n 个数x 1，x 2，…，x n ，它们每个数只能取0，1，－2三个数中的一个，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝－5，1922221=+++n x x x ，那么=+++55251n x x x __________． 4．如图，I 为△ABC 内角∠BAC 、∠ACB 平分线的交点，∠BAC ＝80°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，BC ＝6，则AI ＝__________．5．若四边形的一组对边中点的边线的长为d ，另一组对边的长分别为a 、b ，则d 与2ba +的大小关系是__________． 6．如图，双曲线y ＝x4(x ＞0)与矩形OABC 的边CB 、BA 分别交于点E 、F ，且AF ＝BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为__________．二、精心选一选，相信你选得准！（每小题5分，共30分）ACBIOACB E Fxy (第4题图)(第6题图)7．已知a ＋b ＋c ≠0且k bca a cbc b a =+=+=+，则直线y ＝kx ＋k 不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如图所示的正方形ABCD 内(包括边界)整点的个数是（）A ．13B ．21C ．17D ．25(第8题图)(第10题图)9．已知a ＝2010x ＋2019，b ＝2010x ＋2019，c ＝2010x ＋2019，则a 2＋b 2＋c 2―ab ―bc ―ac ＝（） A ．0B ．1C ．3D ．210．正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（） A ．4 B ．2 C ．3D ．211．如图⑴在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝60°，动点P 从A 点出发，以1cm /s 的速度沿着A →B →C →D 的方向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止。

2019年全国初中数学竞赛(湖北省襄阳市)预选赛试卷解析版

2019年全国初中数学竞赛（湖北省襄阳市）预选赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．如果分式的值等于0，则x的值是（）A．2B．﹣2C．﹣2或2D．2或32．已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值为（）A．恒为正B．恒为负C．可正可负D．非负3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处4．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图，该校七．八．九三个年级共有学生800人．甲，乙，丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲，乙，丙三个同学中，说法正确的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．甲和乙及丙5．若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜B．0＜x﹣y＜C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜6．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cos B＝，则AC的长等于（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）7．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，则x+y+z＝．8．已知m，n是有理数，且（+2）m+（3﹣2）n+7＝0，则m＝，n＝．9．如图，在△ABC中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点，则∠O与∠A 的关系是．10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG＝58°，那么∠BEG＝度．11．如图，直线y＝kx﹣2（k＞0）与双曲线在第一象限内的交点R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k 的值等于．12．如图，BD：DC＝5：3，E为AD的中点，延长BE交AC于F，则BE：EF＝．三、解答题（共7小题，满分72分）13．解方程：．14．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．15．已知方程x2﹣kx﹣7＝0与x2﹣6x﹣（k+1）＝0有公共根．求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根．16．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD 于F，点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：．（2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积．17．如图，给定锐角三角形ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．18．某厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有几种方案请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x．试写出y与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案获总利润最大，最大利润是多少？19．如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．【解答】解：由题意可得|x|﹣2＝0且x2﹣5x+6≠0，解得x＝±2，代入x2﹣5x+6≠0检验得到x＝﹣2．故选：B．2．【解答】解：4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2＝（2bc﹣b2﹣c2+a2）（2bc+b2+c2﹣a2）＝[a2﹣（b﹣c）2][（b+c）2﹣a2]＝（a﹣b+c）（a+b﹣c）（b+c+a）（b+c﹣a）＞0．故4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值恒为正．故选：A．3．【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．4．【解答】解：由扇形统计图可以看出：八年级共有学生800×33%＝264人；七年级的达标率为×100%＝87.8%；九年级的达标率为×100%＝97.9%；八年级的达标率为．则九年级的达标率最高．则乙、丙的说法是正确的，故选B．5．【解答】解：①﹣②得，7x﹣7y＝k+1﹣3整理得x﹣y＝又因为2＜k＜4所以＜x﹣y＜即0＜x﹣y＜．故选：A．6．【解答】解：由圆周角定理知，∠D＝∠B，∴cos D＝cos B＝＝CD：AD．又∵AD＝13，∴CD＝5．在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC＝12．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）7．【解答】解：∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9＝0，∴（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，z﹣3＝0，∴x＝1，y＝﹣2，z＝3，故x+y+z＝1﹣2+3＝2．故答案为：2．8．【解答】解：由且（+2）m+（3﹣2）n+7＝0，得（m﹣2n）+2m+3n+7＝0，∵m、n是有理数，∴m﹣2n、2m+2n+7必为有理数，又∵是无理数，∴当且仅当m﹣2n＝0、2m+3n+7＝0时，等式才成立，∴n＝﹣1，m＝﹣2．故答案为：﹣2、﹣1．9．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC与∠ACD的平分线，∴∠OCD＝∠ACD＝∠O+∠OBC＝∠O+∠ABC，∠O＝∠OCD﹣∠OBC＝∠ACD﹣∠ABC，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∠ACB＝180°﹣∠ACD，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣180°+∠ACD＝∠ACD﹣∠ABC，又∠O＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠O＝∠A．故答案为∠O＝∠A．10．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠EFG＝∠CEF＝58°，∵∠FEC＝∠FEG，∴∠FEC＝∠FEG＝∠EFG＝58°，∴∠BEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°．11．【解答】解：∵y＝kx﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，kx﹣2＝0，解得x＝，所以点P（，0），点Q（0，﹣2），所以OP＝，OQ＝2，∵RM⊥x轴，∴△OPQ∽△MPR，∵△OPQ与△PRM的面积相等，∴△OPQ与△PRM的相似比为1，即△OPQ≌△MPR，∴OM＝2OP＝，RM＝OQ＝2，所以点R（，2），∵双曲线经过点R，∴＝2，即k2＝8，解得k1＝2，k2＝﹣2（舍去）．故答案为：2．12．【解答】解：过D作DG∥AC交BF于G，∵E是AD的中点，∴△AEF≌△DEG，∴EG＝EF，∵DG∥AC，BD：DC＝5：3，∴BG：GF＝5：3，∴BE：EF＝（5+1.5）：1.5＝13：3．故答案为：13：3．三、解答题（共7小题，满分72分）13．【解答】解：方程两边各自通分，得，整理得：，即x2﹣11x+30＝x2﹣17x+72，解得x＝7．检验：把x＝7代入原方程各分母，显然（x﹣5）（x﹣6）（x﹣8）（x﹣9）≠0，∴原方程的解为x＝7．14．【解答】解：探究结论：BM+CN＝NM．证明：延长AC至E，使CE＝BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，即∠ABD＝∠DCE＝90°，∴在△DCE和△DBM中，∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），∴∠BDM＝∠CDE，又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°，∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°，∴∠MDN＝∠NDE＝60°∴DM＝DE（上面已经全等）在△DMN和△DEN中∵∴△DMN≌△DEN（SAS），∴BM+CN＝NM．15．【解答】解：，②﹣①得，（﹣6+k）x+（6﹣k）＝0，当﹣6+k＝0，即k＝6时，x取任意值，两个方程得解都相同．两个方程是同一个式子．方程得解是x1＝7，x2＝﹣1；当k≠6时，解得x＝1．把x＝1代入x2﹣kx﹣7＝0得，1﹣k﹣7＝0，k＝﹣6．于是两方程为：x2+6x﹣7＝0③，x1＝1，x2＝﹣7．x2﹣6x+5＝0④，x1＝1，x2＝5．故答案为：k＝6，有公共根，公共根为7和﹣1．k＝﹣6；其公共根为1，相异根为：﹣7和5．16．【解答】解：（1）∵DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴，（2）∵EF为△ABD的中位线，∴，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∵S△AEF：S△ABD＝1：4，∴S△AEF：S四边形BDEF＝1：3，∵四边形BDFE的面积为8，∴S△AEF＝．17．【解答】解：结论是DF＝EG．∵∠FCD＝∠EAB，∠DFC＝∠BEA＝90°，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，∴＝，∴，同理可得，又∵，∴BE•CD＝AD•CE，∴DF＝EG．18．【解答】解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50﹣x）件，根据题意，得解得30≤x≤32．因为x是自然数，所以x只能取30，31，32．所以按要求可设计出三种生产方案：方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；（2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，由题意，得y＝700x+1200（50﹣x）＝﹣500x+60000因为a＜0，由一次函数的性质知，y随x的增大而减小．因此，在30≤x≤32的范围内，因为x＝30时在的范围内，所以当x＝30时，y取最大值，且y最大值＝45000．19．【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x＝，设解析式为y＝a（x﹣）2+k．把A，B两点坐标代入上式，得，解得a＝，k＝﹣．故抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y＝（x﹣）2﹣，∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线，∴S＝2S△OAE＝2××OA•|y|＝﹣6y＝﹣4（x﹣）2+25．因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．①根据题意，当S＝24时，即﹣4（x﹣）2+25＝24．化简，得（x﹣）2＝．解得x1＝3，x2＝4．故所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），点E1（3，﹣4）满足OE＝AE，所以平行四边形OEAF是菱形；点E2（4，﹣4）不满足OE＝AE，所以平行四边形OEAF不是菱形；②当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．。

2019-2020年初中数学竞赛试题及答案

2019-2020年初中数学竞赛试题及答案一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18 4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有（）（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个二、填空题：（每小题6分，共30分）6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。

8、已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a =___________。

“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案

2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若一次函数2y x =+与反比例函数4y x=的图像交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（）A ．8B ．6C ．6-D ．8-【答案】D【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2240x x +-=……………①。

依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。

∴121212121212441616484x x y y x x x x x x x x +=+⋅=+=-+=--。

2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（）A ．15︒B ．18︒C ．20︒D ．22︒【答案】C【解答】如图，连结OC 。

由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。

∵D 为BC 中点，∴OD BC ⊥，1602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。

∴30OCD ∠=︒，12OD OC =。

又E 为OA 中点，∴12OE OA OD ==。

结合40ABC ∠=︒，知24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒，（第2题图）（第2题答题图）11(180)(180140)2022OED EOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒。

3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知124a b a++=-。

2019年全国初中数学竞赛各地初赛试题(解析版)

1、2019年全国初中数学竞赛（四川赛区）初赛试卷2、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷3、2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷4、2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷5、2019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷6、2019年全国初中数学竞赛（湖北赛区）初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条1．解：∵一个凸多边形的每一个内角都等于150°，∴此多边形的每一个外角是180°﹣150°＝30°，∵任意多边形的外角和是：360°，∴此多边形边数是：360°÷30°＝12，∴这个多边形所有对角线的条数是：n（n﹣3）÷2＝12×（12﹣3）÷2＝54．故选：B．2．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∠BAC＝60°，∴△BAO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∵AB＝OB＝BE，∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故选：D．3．设方程（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0的两根是c、d，则方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0的根是（）A．a，b B．﹣a，﹣b C．c，d D．﹣c，﹣d3．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）﹣x＝0，∴x2﹣（a+b+1）x+ab＝0，而方程的两个根为c、d，∴c+d＝a+b+1，①cd＝ab，②又方程（x﹣c）（x﹣d）+x＝0可以变为x2﹣（c+d﹣1）x+cd＝0，③∴把①②代入③中得x2﹣（a+b）x+ab＝0，（x﹣a）（x﹣b）＝0，∴x＝a，x＝b．故选：A．4．若不等式2|x﹣1|+3|x﹣3|≤a有解，则实数a最小值是（）A．1B．2C．4D．64．【解答】解：当x＜1，原不等式变为：2﹣2x+9﹣3x≤a，解得x≥，∴＜1，解得a＞6；当1≤x≤3，原不等式变为：2x﹣2+9﹣3x≤a，解得x≥7﹣a，∴1≤7﹣a≤3，解得4≤a≤6；当x＞3，原不等式变为：2x﹣2+3x﹣9≤a，解得x＜，∴＞3，解得a＞4；综上所述，实数a最小值是4．故选：C．5．若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18B．24C．30D．365．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8＝24个．故选：B．6．不定方程x2﹣2y2＝5的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组6．【解答】解：若有解，x必为奇数，令x＝2n+1，（2n+1）2＝2y2+5，整理得2n（n+1）＝2+y2，y为偶数，令y＝2m，2n（n+1）＝2+4m2，n（n+1）＝1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故选：A．二、填空题（共3小题，每小题7分，满分21分）7．二次函数y＝x2﹣ax+2的图象关于x＝1对称，则y的最小值是．7．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，解得a＝2，∴二次函数为y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∵二次项系数为1，图象开口向上，∴y的最小值是1．故答案为1．8．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝．点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是．8．【解答】解：∵（）2＝62+（）2，∴AB2＝BC2+CA2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角．在直角△AMC中，CA＝，CM＝BC＝3，∴∠CMA＝30°，∴∠DMB＝30°，在直角△BDM中，BD＝BM•sin∠DMB＝3×＝．故答案是：．9．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其10n﹣1个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分．比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是．9．【解答】解：每场对局都有2分，10n个棋手对局共下：局，总分为100n×n﹣10n，假设男选手与女选手的所有比赛中都不得分，则9n个男选手最低总得分为81n×n﹣9n，女选手最高得分总和为19n×n﹣n，依题意，男选手最低得分总和比女选手最高得分总和应不大于4，列不等式（81n×n ﹣9n）：（19n×n﹣n）≤4，因女选手得分为正数，变形得：（81n×n﹣9n）≤4（19n×n﹣n），移项：5n（n﹣1）≤0，解得：0≤n≤1，因n为正整数，所以n的所有可能值是1．故答案为：1．三、解答题（共3小题，满分70分）10．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，使得（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80成立，求其实数a的可能值．10．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的两个实数根，a＝1，b＝（3a﹣1），c＝2a2﹣1，∴x1+x2＝﹣（3a﹣1），x1•x2＝2a2﹣1，而（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）＝﹣80，∴3x12﹣10x1x2+3x22＝﹣80，3（x1+x2）2﹣16x1x2＝﹣80，∴3[﹣（3a﹣1）]2﹣16（2a2﹣1）＝﹣80，∴5a2+18a﹣99＝0，∴a＝3或﹣，当a＝3时，方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1＝0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a＝﹣．11．抛物线y＝ax2+bx+c的图象于x轴交于点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0＜x1＜x2，过点A的直线l交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式．11．【解答】解：由条件知该抛物线开口向上，与x轴的两个交点在y轴的右侧，由于△CAN是等腰直角三角形，故点C在x轴的左侧，且∠CAN＝90°，故∠ACN＝45°，从而C（﹣1，0），N（1，0）．于是直线l的方程为：y＝x+1．设B（x3，y3），由S△BMN＝S△AMN，知y3＝，（10分）从而，即．综上可知，该抛物线通过点A（0，1），，N（1，0）．于是，解得．所以所求抛物线的解析式为y＝4x2﹣5x+1．（25分）12．如图．AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB＝90°．12．【解答】证明：如图，连接MH，EH，∵M是Rt△AHD斜边AD的中点，∴MA＝MH＝MD，∴∠MHD＝∠MDH，∵M，D，H，E四点共圆，∴∠HEC＝∠MDH，∴∠MHD＝∠MDH＝∠HEC，∴∠MHC＝180°﹣∠MHD＝180°﹣∠HEC＝∠MEH，∵∠CMH＝∠HME，∴△CMH∽△HME，∴，即MH2＝ME•MC，∴MA2＝ME•MC，又∵∠CMA＝∠AME，∴△CMA∽△AME，∴∠MCA＝∠MAE，∴∠BHE+∠BAE＝∠DHE+∠BAD+∠MAE＝∠DHE+∠MAC+∠MCA＝∠DHE+∠DME＝180°，∴A，B，H，E四点共圆，∴∠AEB＝∠AHB，又∵AH⊥BH，∴∠AHB＝90°，∴∠AEB＝∠AHB＝90°．2019年全国初中数学竞赛（广东赛区）初赛试卷一、选择题（每小题6分，满分30分）1．已知＝0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．O1．【解答】解：∵＝＝0，∴bc+ac+ab＝0，又∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）＝1+0＝1；∴a+b+c＝±1．故选：C．2．若使函数的自变量x的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（）A．b＞c＞0B．b＞0＞c C．c＞0＞b D．c＞b＞02．【解答】解：∵函数的自变量x取值范围是一切实数，∴分母一定不等于0，∴x2﹣2bx+c2＝0无解，即△＝4b2﹣4c2＝4（b+c）（b﹣c）＜0，解得：c＜b＜﹣c或﹣c＜b＜c．当c＞b＞0时，一定满足要求上面要求．故选：D．3．如图，E、F、G、H、I、J、K、N分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应该是（）A．B．C．D．3．【解答】解：∵△BMI∽△ABI，∴MI＝BM，∴AI＝3MB+MB＝MB，又∵在直角△ABI中，AB：AI＝3：，∴AB＝×MB，∵MB与小正方形的边长相等，∴AB＝×＝＝5．故选：C．4．如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L1，四边形BDEC的周长为L2，则L1与L2的大小关系是（）A．L l＝L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定4．【解答】解：∵等边三角形各内角为60°，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠BPD＝∠CPE＝30°，∴在Rt△BDP和Rt△CEP中，∴BP＝2BD，CP＝2CE，∴BD+CE＝BC，∴AD+AE＝AB+AC﹣BC＝BC，∴BD+CE+BC＝BC，L1＝BC+DE，L2＝BC+DE，即得L1＝L2，故选：A．5．一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差最大是（）A．10000B．9822C．377D．96445．解：甲拿201至300，然后用280换102 则标号之和是：（201+300）×﹣（280﹣102）＝24872；乙的编号之和是：（101+200）×+（280﹣102）＝15228 24872﹣15228＝9644．故选：D．6．已知a2+4a+1＝0，且，则m＝．6．【解答】解：∵a2+4a+1＝0，∴a2＝﹣4a﹣1，＝＝＝＝＝5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2＝5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）＝﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）＝2，解得m＝．故答案为．7．如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有．7．解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色．∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG，而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG；同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AE、BC．则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG．故答案为：AB、DH、FG．8．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是．8．【解答】解：设该旅行团住三人间x间，双人间y间，单人间z间，总住宿费为a元．则由题意得由②﹣①得2x+y＝30，即y＝30﹣2x④由②﹣①×2得x﹣z＝10，即z＝x﹣10 ⑤∵0≤y≤20，即0≤30﹣2x≤20，解得5≤x≤15 ⑥同理0≤z≤20，即0≤x﹣10≤20，解得10≤x≤30 ⑦由⑥⑦知10≤x≤15将④⑤代入③得a＝60x+60（30﹣2x）+50（x﹣10）＝1300﹣10x⇒x＝130﹣∴10≤≤15⇒1200≤a≤1150∴这笔最省的住宿费用是1150元，此时x＝15再将x的值代入④⑤得y＝0、z＝5故答案为1150，15、0、5．9．△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．若AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，则c可用a、b 的代数式表示为．9．【解答】解：∵AC、BC上的中线BE、AD垂直相交于点O，于是，中线BE、AD，E和D是AC，BC上的中点由题可知，∴∠BOA＝90°，BD＝CD＝，AE＝EC＝，∵E，D为中点，故DE为中线＝AB＝，∴①BO2+DO2＝（）2，②AO2+EO2＝（）2，③DO2+EO2＝（）2，④BO2+AO2＝c2，∴①+②＝③+④，∴5c2＝a2+b2．故c＝．故答案为：c＝．10．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，∠AOC＝60°，点P在AB的延长线上，且PB＝BO ＝3cm．连接PC交半圆于点D，过P作PE⊥P A交AD的延长线于点E，求PE长．10．【解答】解：如图，连接BD，BE，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠PDE＝∠AOC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDE＝90°，∵PE⊥P A，∴∠BPE＝90°，∴∠BDE＝∠BPE＝90°，∴∠BDE+∠BPE＝180°，∴点B，P，E，D四点共圆，∴∠PBE＝∠PDE＝30°，在Rt△BPE中，tan∠PBE＝，∴tan30°＝＝，∴PE＝．三、解答题（每小题15分，共60分）11．设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围．11．【解答】解：∵方程x2﹣6x+a＝0有实数根，∴△＝36﹣4a≥0，（1）当△＝0时，即△＝36﹣4a＝0，解得a＝9，此时三角形为等边三角形；（2）当△＞0，即△＝36﹣4a＞0时，解得a＜9，设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2，由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2＝6，∴x1≤2，∵x1+x2＝6，x1•x2＝a，∴a＝x1•（6﹣x1），＝6x1﹣（x1）2＝﹣（3﹣x1）2+9＝﹣（3﹣x1）2+9≤8，∴当0＜a≤8，a＝9时，三角形只有一个．12．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？12．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．13．（15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED ＝∠A．求证：BD＝2CD．13．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有＝．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得＝＝＝．故AF＝OD＝OC＝CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．14．如图，已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形，直角梯形，等腰梯形？（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）经过点A（﹣2，0），∴0＝9a+3，∴a＝﹣∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x+；（3分）（2）①∵D为抛物线的顶点，∴D（1，3），过D作DN⊥OB于N，则DN＝3，AN＝3，∴AD＝＝6，∴∠DAO＝60°．∵OM∥AD，①当AD＝OP时，四边形DAOP是平行四边形，∴OP＝6，∴t＝6（s）．②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，过O作OH⊥AD于H，AO＝2，则AH＝1（如果没求出∠DAO＝60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH＝1）∴OP＝DH＝5，t＝5（s）（6分）③当PD＝OA时，四边形DAOP是等腰梯形，易证：△AOH≌△DPP′，∴AH＝CP，∴OP＝AD﹣2AH＝6﹣2＝4，∴t＝4（s）综上所述：当t＝6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；（3）由（2）及已知，∠COB＝60°，OC＝OB，△OCB是等边三角形则OB＝OC＝AD＝6，OP＝t，BQ＝2t，∴OQ＝6﹣2t（0＜t＜3）过P作PE⊥OQ于E，则PE＝t（8分）∴S BCPQ＝×6×3×（6﹣2t）×t＝（t﹣）2+（9分）当t＝时，四边形BCPQ的面积最小值为．（10分）∴此时OQ＝3，OP＝，OE＝；∴QE＝3﹣＝，PE＝，∴PQ＝．（11分）2019年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设xy＜0，x＞|y|，则x+y的值是（）A．负数B．0C．正数D．非负数1．【解答】解：∵xy＜0，x＞|y|，∴x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，∴x+y的值正数．故选：C．2．若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m等于（）A．﹣2B．2C．﹣5D．52．解：∵（x+3）（x+n）＝x2+（3+n）x+3n，∴3n＝﹣15，∴n＝﹣5，m＝3+（﹣5）＝﹣2．故选：A．3．若a+|a|＝0，则等于（）A．1﹣2a B．2a﹣1C．﹣1D．13．【解答】解：由a+|a|＝0，得|a|＝﹣a，可知a为非正数，∴＝1﹣a，＝﹣a∴原式＝1﹣a﹣a＝1﹣2a故选：A．4．无论m为何实数，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．【解答】解：由于直线y＝﹣x+4的图象不经过第三象限．因此无论m取何值，直线y＝x+2m与y＝﹣x+4的交点不可能在第三象限．故选：C．5．（5分）从1到9这9个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（）A．B．C．D．15．【解答】解：所有机会均等的可能共有9种．而2的倍数有2，4，6，8四个，因此是2的倍数的概率是．故选：B．6．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（）A．B．C．D．无法计算6．【解答】解：本题没有AB两地的单程，可设为1，那么总路程为2，总时间为+．平均速度＝2÷（+）＝2÷＝．故选B．7．如图，韩老师早晨出门散步时离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（）A．B．C．D．7．【解答】解：由于一段时间离家的距离保持不变，家是一个点，所以在那段时间内行走的路线就可能是在以家为圆心，那段距离为半径的一段弧上．故选：D．8．如图，AB是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC的长度为4米，则电线杆AB的高度为（）A．4米B．6米C．8米D．10米8．【解答】解：如图，由题意可知，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，则AB＝2BC＝8米，故选：C．9．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．B．C．1D．29．【解答】解：∵∠BAC＝∠BCA＝∠OBC＝∠OCB，∴△BOC∽△ABC，所以，即，所以，a2﹣a﹣1＝0．由a＞0，解得．故选：A．10．如图，根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是（）A．10h B．20h C．30h D．40h10．【解答】解：如图，以点A为圆心，250km为半径画圆，交OM于点B、C，作AN⊥BC于点N，∵∠AON＝90°﹣60°＝30°，AO＝300，∴在Rt△OAN中，AN＝AO＝150km，又AC＝250km，在Rt△CAN中，由勾股定理，得CN＝＝200km，则BC＝2CN＝400km，台风中心在线段BC上时，A市都会受到台风的影响，∴A市受台风影响持续的时间为400÷20＝20小时．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m+n的值为．11．【解答】解：把n代入方程得到n2+mn+2n＝0，将其变形为n（m+n+2）＝0，因为n≠0所以解得m+n＝﹣2．12若a+3b＝0，则＝．12．【解答】解：∵a+3b＝0，∴a＝﹣3b．∴原式＝＝＝＝＝．故答案为：．13．如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25～45次的频率是．13．【解答】解：由频率分布直方图可知，“25～45”的学生人数有21人，∴仰卧起坐次数在25～45次的频率＝21÷30＝0.7．故应填：0.7．14．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则cos∠ABC的为．14．【解答】解：连接AC，延长AD交CD的延长线于D，由题意可知∠D＝90°，则AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∵AC2+BC2＝AB2∴△ABC直角三角形，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝＝45°．cos45°＝故答案为．15．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣，﹣），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．15．【解答】解：根据题意得，与x轴的另一个交点为（1，0）或（﹣1，0），因此要分两种情况：（1）过点（﹣1，0），设y＝ax（x+1），则，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x；（2）过点（1，0），设y＝ax（x﹣1），则，解得：a＝，∴抛物线的解析式为：y＝x2+x．16．如图，两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20cm，滑块B距O点15cm．则当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了．16．【解答】解：如图，由AB2＝AO2+OB2＝202+152＝252，可知连杆AB的长度等于25cm，当滑块A向下滑到O点时，滑块B距O点的距离是25cm，故滑块B滑动了25﹣15＝10cm．故答案为10cm．17．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是°．17．【解答】解：由旋转的性质可知，∠AOC＝40°，而∠AOD＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝50°又∵点C恰好在AB上，OA＝OC，∠AOC＝40°，∴∠A＝＝70°，由旋转的性质可知，∠OCD＝∠A＝70°在△OCD中，∠D＝180°﹣∠OCD﹣∠COD＝60°．18．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为cm．18．【解答】解：如图，连接BM，EM，BE，由折叠的性质可知，四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM＝EM，∵点E是CD的中点，DE＝1，∴在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2＝BM2，DM2+DE2＝EM2，∴AM2+AB2＝DM2+DE2．设AM＝x，则DM＝4﹣x，∴x2+22＝（4﹣x）2+12．解得，即cm．故答案为：．三、解答题（共2小题，满分30分）19．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP＝2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题．①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S．试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．19．【解答】（1）证明：过点O作OM∥AB交PC于点M，则∠COM＝∠CAB．∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠CAB＝∠CBD＝∠COM＝45°，∴AP＝2OM．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠COM＝∠2+∠CBD，即∠OMQ＝∠OQM．∴OM＝OQ∴AP＝2OQ．（2）解：根据题意作出图形，如图所示①ⅰ、当PC绕点P逆时针旋转90°时，作EF⊥AB交BA延长线于点F，则∠EFP＝∠PBC＝90°，∠3+∠CPB＝90°．又∠2+∠CPB＝90°，∴∠3＝∠2．又PE由PC绕点P旋转形成∴PE＝PC∴△EPF≌△CPB．∴EF＝BP＝x，∴AP＝1﹣x，∴．∴△APE的面积S与x的函数关系式为（0＜x＜1）．ⅱ、当PC绕点P顺时针旋转90°时，作E′G⊥AB交AB延长线于点G，则同理可得△E′PG≌△CPB，E′G＝BP＝x．∴△APE的面积S与x的函数关系式为由ⅰ、ⅱ可得△APE的面积S与x的函数关系式为，（0＜x＜1）②由①知S与x的函数关系式为，（0，x，1）即，（0＜x＜1）∴当时S的值最大，最大值为．此时点P所在的位置是边AB的中点处．20．文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票价上车站下车站一等座二等座三等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x 张（x小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？20．【解答】解：（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：，解得，则2m＝20，答：参加社会实践的老师、家长与学生分别有10人、20人、180人．（2）解：由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当180≤x＜210时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（x﹣180）名成年人买二等座火车票，（210﹣x）名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51×180+68（x﹣180）+81（210﹣x），即y＝﹣13x+13950（180≤x＜210），②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共（210﹣x）张，∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：y＝51x+81（210﹣x），即y＝﹣30x+17010（0＜x＜180），答：购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式是y＝﹣13x+13950（180≤x＜210）或y＝﹣30x+17010（0＜x＜180）．（3）由（2）小题知，当180≤x＜210时，y＝﹣13x+13950，∵﹣13＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝209时，y的值最小，最小值为11233元，当x＝180时，y的值最大，最大值为11610元．当0＜x＜180时，y＝﹣30x+17010，∵﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当x＝179时，y的值最小，最小值为11640元，当x＝1时，y的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元，答：按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．2019年全国初中数学竞赛（天津赛区）初赛试卷一、选择题(每小题4分，共20分，每小题只有一个答案是正确的，答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分.)1．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2012﹣c2012）（a2012﹣d2012）＝2012，（b2012﹣c2012）（b2012﹣d2012）＝2012，则（ab）2012﹣（cd）2012的值为（）A．﹣2012B．﹣2011C．2012D．20111．【解答】解：设a2012与b2012看做方程（x﹣c2012）（x﹣d2012）＝2012的两个解，方程整理得：x2﹣（c2012+d2012）x+（cd）2012﹣2012＝0，则（ab）2012﹣（cd）2012＝，又x1x2＝（cd）2012﹣2012，则（ab）2012﹣（cd）2012＝＝（cd）2012﹣2012﹣（cd）2012＝﹣2012．故选：A．2．一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4．摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）A．B．C．D．2．【解答】解：可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为＝；若第一次抽出2号球，则第二次抽出2，3，4号球可满足要求，概率为＝；若第一次抽出3号球，则第二次抽出3，4号球可满足要求，概率为＝；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为＝；则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为＝；故选：D．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF，则EF的长为（）A．B．C．D．3．【解答】解：如右图所示，∵四边形EDCF折叠后得到四边形EBCF，∴∠1＝∠2，BE＝DE，∵四边形ABCDE是矩形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BF＝BE，设AE＝x，那么BE＝9﹣x，在Rt△BAE中，AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴BE＝5，过点E作EG⊥BC于G，∵EG⊥BC，∴∠BGE＝∠A＝∠ABG＝90°，∴四边形ABGE是矩形，∴GF＝BF﹣BG＝5﹣4＝1，EG＝AB＝3，在Rt△EGF中，EF2＝EG2+GF2，＝10，∴EF＝．故选：C．4．在正九边形ABCDEFGHI中，若对角线AE＝2，则AB+AC的值等于（）A．B．2C．D．4．【解答】解：如图，设O为正九边形ABCDEFGHI的中心，连接OE、OA，则∠AOE＝×4＝160°，∴∠OEA＝10°，又易得∠OED＝70°，∴∠DEA＝60°，在AE上截取EP＝ED，连接DP、PC，∵∠PDC＝140°﹣60°＝80°，∴，∴∠CP A＝70°，又∵∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝40°，∴∠CAP＝70°，∴AC＝AP，又∵AB＝DE＝EP，∴AE＝AB+AC＝2．故选：B．5．有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则n的最小值等于（）A．171B．172C．180D．1815．【解答】解：对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项，报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有种，故可得：每个人报名方式有9种，又题目要求要求有20人相同，故可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可，所以n min＝19×9+1＝172．故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）.6．若，则的值为．6．【解答】解：平方得：，展开后，∴，∴，即，∴+＝2或﹣2（舍去）∴x2﹣＝（x+）（+）（﹣）＝﹣24，故答案为：﹣24．7．若四条直线x＝1，y＝﹣1，y＝3，y＝kx﹣3所围成的凸四边形的面积等于12，则k的值为．7．【解答】解：在y＝kx﹣3中，令y＝﹣1，解得x＝；令y＝3，x＝；当k＜0时，四边形的面积是：[（1﹣）+（1﹣）]×4＝12，解得k＝﹣2；当k＞0时，可得[（﹣1）+（﹣1）]×4＝12，解得k＝1．即k的值为﹣2或1；故答案为：﹣2或1．8．如图，半径为r的⊙O沿折线ABCDE作无滑动的滚动，如果AB＝BC＝CD＝DE＝2πr，∠ABC＝∠CDE＝150°，∠BCD＝120°，那么，⊙O自点A至点E转动了周．8．【解答】解：圆的周长是2πr，AB+BC+CD+DE＝8πr，则8πr÷2πr＝4．经过点B从AB到BC时，从与AB相切到与BC相切转动了一个∠ABC补角的度数即180﹣150＝30°，同理C、D两点都要转一个补角度数，总共转了30°，60°，则在三个点处转动了30°+30°+60°＝120°，即周．在⊙O自点A 至点E转动了4+＝4周．故答案是：4．9．如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：MN：ND等于．9．【解答】解：如图，作PD∥BF，QE∥BC，∵D为BC的中点，∴PD：BF＝1：2，∵E，F为AB边三等分点，∴PD：AF＝1：4，∴DN：NA＝PD：AF＝1：4，∴ND＝AD，AQ：AD＝QE：BD＝AE：AB＝1：3，∴AQ＝AD，QM＝QD＝AD＝AD，∴AM＝AQ+QM＝AD，MN＝AD﹣AM﹣ND＝AD∴AM：MN：ND＝5：3：2．故答案为5：3：2．10．若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则的最小值为．10．【解答】解：过点M作MF⊥AD交AD的延长线与点F，作ME垂直BC交BC的延长线与点E，如图，∵MA2+MC2＝MF2+AF2+ME2+CE2，MB2+MD2＝BE2+ME2+DF2+FM2，DF＝CE，AF＝BE，∴MA2+MC2＝MB2+MD2，又∵AC2＝MA2+MC2﹣2MA•MC•cos∠AMC，BD2＝MB2+MD2﹣2MB•MD•cos∠BMD，AC＝BD，∴MA•MC•cos∠AMC＝MB•MD•cos∠BMD，，∵，又∵MA2+MC2＝MB2+MD2，∴当最小时，这个值最小，所以当∠BMD＝90°，∠AMC＝0°时最小，即点M与点A、C重合时，此时＝．故答案为：．三、解答题（每小题15分，共60分）.11．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于两点A（a，0）B（b，0），若点P为该抛物线的顶点，求使△P AB面积最小时抛物线的解析式．11．【解答】解：由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，∴a+b＝﹣m，ab＝n，又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，∴，P点纵坐标为，＝，可见，当m＝﹣4时S△P AB最小，解析式为y＝x2﹣4x+3．12．如图，分别以边长1为的等边三角形ABC的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点D、E、F，连接CF交⊙C于点G，以点E为圆心，EG长为半径画弧，交边AB于点M，求AM的长．12．【解答】解：如图，过点E作EP⊥AB，连接EA、EC、EM．∵在⊙C中，EC＝AC；在⊙A中，AE＝AC，∴EC＝AC＝AE，∴△EAC为正三角形；同理证得△ABC为正三角形，则∠ECA＝∠CAB＝60°，∴EC∥AB，又∵由相交两圆的性质得：CG⊥AB，∴EC⊥CG，∴EM＝EG＝＝，∵∠EAP＝60°，∴EP＝，AP＝，PM＝＝，∴AM＝PM﹣AP＝﹣1．13．已知p与5p2﹣2同为质数，求p的值．13．【解答】解：∵5p2﹣2＝5p2﹣5+3＝5（p+1）（p﹣1）+3，①当p+1＝3n（n≥1），即p＝3n﹣1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；②当p﹣1＝3n（n≥1），即p＝3n+1时，3|5（p+1）（p﹣1）+3，即5p2﹣2为合数，不符合题意；③当p＝3n（n≥2）时，p为合数，不符合题意；∴p只能取3，当p＝3时，5p2﹣2＝43为质数符合题意，∴p＝3．14．已知关于x的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数a的取值范围．14．【解答】解：不等式组可以化为：，即＜x＜a+1．满足原不等式组的解集中的整数恰好有2个，只需（k为整数），即（k为整数）（1）只需关于整数k的不等式组有解．解得：1＜k≤4，得k＝2，3，4．当k＝2时，代入（1），有，解得：3＜a＜4；当k＝3时，代入（1）得：，解得：4＜a≤5；当k＝4时，代入（1）得：，解得：a＝6．所以，3＜a＜4或4＜a≤5或a＝6即为所求．2019年全国初中数学竞赛（湖北赛区）初赛试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．如果分式的值等于0，则x的值是（）A．2B．﹣2C．﹣2或2D．2或32．已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值为（）A．恒为正B．恒为负C．可正可负D．非负3．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处4．某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图，该校七．八．九三个年级共有学生800人．甲，乙，丙三个同学看了这两张统计图后，甲说：“七年级的体育达标率最高．”乙说：“八年级共有学生264人．”丙说：“九年级的体育达标率最高．”甲，乙，丙三个同学中，说法正确的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．甲和乙及丙5．若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x﹣y的取值范围是（）A．0＜x﹣y＜B．0＜x﹣y＜C．﹣3＜x﹣y＜﹣1D．﹣1＜x﹣y＜6．如图，已知AD是△ABC的外接圆的直径，AD＝13cm，cos B＝，则AC的长等于（）A．5cm B．6cm C．10cm D．12cm二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）7．已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14＝0，则x+y+z＝．8．已知m，n是有理数，且（+2）m+（3﹣2）n+7＝0，则m＝，n＝．9．如图，在△ABC中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO、CO的交点，则∠O与∠A的关系是．。

“周报杯”2019年全国初中数学竞赛试题及参考答案

解：由
4 ，得
4，
a 1 0，
依题意有
(a
1)2
(a
1)
0，解得，
a
0
，或
a
1
．
（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从
迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每
隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是
分钟．
【答】4．
5a （A） 2
（B）1
3
（C） 2
（D） a
解：如图，连接OE，OA，OB．设 D ，
则 ECA 120 EAC ．
ABO 1 ABD 1 60，
所以 △ ACE ≌ △ ABO ，于是 AE OA 1．
（5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意
所以 s 13 可能为1，3，5，7，9，进而 (t 13)2 为337，329，313，289，257，故
5
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s 6，s 20 只能是 (t 13)2 ＝289，从而 s 13 ＝7．有 t 4；，t 4 故
x 48，x 160
y
32，
y
32.
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最
少有8条．
（4）已知 AB 是半径为1的圆 O 的一条弦，
且
AB a 1 ．以 AB 为一边在圆 O 内作正△ ABC ，
点
D 为圆 O 上不同于点A的一点，且 DB AB a ， DC 的延长线交圆 O 于点 E ，则 AE 的长为（ B ）．

2019年全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（）．（A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++= 的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23BC =422-CD ＝2AD 边的长为（）．（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE 6，CF ＝2DF ＝6，于是 EF ＝46．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得 AD 222(46)(6)(224)=++=+226+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （第3题）（第3题）（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2010的坐标是（）．（A ）（2010，2）（B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-）（D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+），由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿（第5题）车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=． ③由①②，得30b c S -=（），所以，x =30．故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是．解：11133y x =-+ 如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AE AD= ．（第8题）（第8题解： 215- 见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅．又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n n m m+-=，解得51n m -=，或51n m --=（舍去）．又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====51-，即AE AD=51-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数．由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，，因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：．tan EF PAD BC ∠=（第9题）（第11题）证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分）连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得 EF AH BC AP=，从而 EF PD BC AP=，所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=. 设点B （t ，4t ），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有 44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，，解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以 4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩， …（10分）（第11题）（第12题）（2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BO CO . 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ，则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-1A 的坐标为（4，1-）.延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>， 2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数.当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n . 由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<，故n d ≤60. 所以，n ≤61. 综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。

2019年江苏省中考数学竞赛试卷附解析

2019年江苏省中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．张华的哥哥在西宁工作，今年“五一”期间，她想让哥哥买几本科技书带回家，于是发短信给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0，2，8三个数字，则张华一次发短信成功的概率是（）A．16B．13C．19D．122．正方形具有而菱形不一定具有的特征有（）A．对角线互相垂直平分B．内角和为360°C．对角线相等D．对角线平分内角3．将一个有40个数据的样本经统计分成6组，若某一组的频率为0.15，则该组的频数为（）A．6 B．0.9 C．6 D．14．如图，下列条件中能得到△ABC≌△FED的有（）①AB∥EF，AC∥FD，BD=CE；②AC=DF，BC=DE，AB=EF；③∠A=∠F，BD=CE，AB=EF；④BD=CE，BA+AC=EF+FD，BA=EF．A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知点A（0，-l），M（1，2），N（-3,0），则射线AM和射线AN组成的角度数（）A．一定大于90° B．一定小于90°C．一定等于90° D．以上三种情况都有可能6．如图所示，已知AD=CB，∠AD0=∠CB0，那么可用“SAS”全等识别法说明的是（）A．△AD0≌△CB0 B．△AOB≌△COD C．△ABC≌△CDA D．△ADB≌△CBD7．下列式子中正确的是（）A．x-（y-z）=x-y-z B．-（x-y+z） =x-y-zC．x+2y-2z=x-2（y+z） D．-a+c+d-b=-（a+b）+（c+d）8．9的算术平方根是（）A．±3 B． 3 C．－3 D．3二、填空题9．如图，在黑暗的房间里，用白炽灯照射一个足球，则球在地面上的投影是一个，当球离地面越来越近时，地面上的投影会．10．若函数23=−是关于x的反比例函数，则m= ．(2)m my m x−−11．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，则m＝．12．在△ABC 中，∠= 90°，若 AB= 8，BC=1，则 AC= ．13．如果不等式2(1)3−−≤的正整数解是 1、2、3，那么a的取值范围是．x a14．如图，正方体的棱长为1，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面中∠CAB=_______度．答案:60°15．用x、y分别表示 2辆三轮车和3辆卡车一次运货的吨数，那么5辆三轮车和4辆卡车共能运货24吨所表示的数量关系式是 .16．在如图所示的方格纸中，已知△DEF是由△ABC经相似变换所得的像，则△DEF的每条边都扩大到原来的倍.17．如图所示，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=5，△ABC的周长为30，则△ABD的周长是．18．如图所示，△ABC三条中线AD、BE、CF交于点0，S△ABC=l2，则S△ABD= ，S△AOF= ．19．a、b、c三个数在数轴上的位置如图所示，化简||||++++−= .a cb ac a20．已知点A、B、C三个点在同一条直线上，若线段AB=8，BC=5，则线段AC=_______．解答题三、解答题21．如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角30B∠=°，背水坡AD的坡度为1:2，坝顶DC宽25米，坝高CE是45米，求：坝底AB的长，迎风坡BC的长以及BC的坡度．（答案可以带上根号）22．如图，已知∠B=∠AEF=40°，∠C=58°，求∠BAC与∠F的度数．23．如图，在△ABC 中，∠C = 40°，∠DEC =35°，∠A = 105°，那么DE 与 AB 是否平行？请说明理由.24．有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数.25．已知△ABC 和直线m ，以直线m 为对称轴，画△ABC 轴对称变换后所得的图形.26．探索规律：(1)计算并观察下列每组算式： 88___79___⨯=⎧⎨⨯=⎩，， 55___46___⨯=⎧⎨⨯=⎩，， 1212___1113___⨯=⎧⎨⨯=⎩，． (2)已知25×25=625，那么24×26 = .(3)从以上的计算过程中，你发现了什么规律；你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示出这个规律吗？27．如图，O 是线段AC ，BD 的交点，并且AC=BD ，AB=CD ，小刚认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：在△AB0和△DC0中，AC=BD ，∠AOB=∠DOC ，AB=CD =>△AB0≌△DC0．你认为小刚的思考过程正确吗?如果正确，指出他用的是哪种三角形全等识别法；如果不正确，请你增加一个条件，并说明你的思考过程．AB mC28．计算：1152052精确到 0.01)(2)1(384)(27323)2−(精确到 0.01)29．据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)30．2(44)(2)a a a−+÷−= ．2a−【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．C3．C4．C5．C6．D7．D8．B二、填空题9．圆，变小10．一111．2± 12．．13a ≤<14．15．542423x y +=16． 217．2018．6，219．2a b c +−20．3和13三、解答题21．解：45AF ∵，AF = 30tan 45=BE ，BE =25AB =+∴（米），又451sin 302BC ==∵°90BC =（米），BC 的坡度为22．∠BAC=82°，∠F= 42°23．DE ∥AB(同位角相等，两直线平行)24．设这个两位数十位上、个位上的数字分别是x 、y ，则11(10)(10x )9x y y x y +=⎧⎨+−+=⎩，解这个方程组得56x y =⎧⎨=⎩，经检验，符合题意，答：这个两位数是 5625．略．26．(1)略；（2）624；（3）2n n n−+=−(1)(1)127．不正确，增加一个∠A=∠D(或∠B=∠C)的条件即可通过“AAS”证明，或增加一个A0=0D(或BO=OC)的条件即可通过“SAS”证明三角形全等．28．(1)4.02 (2)—2.4629．解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2∴x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)，∴x≈0.41即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41% ．30．a−2。

2019-2019年全国初中数学联赛试题30套30页word文档

1991年年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的。

请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（）。

（A ）3 （B ）31 （C ）2 （D ）35 2．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（）。

（A ）10 （B ）12（C ）16 （D ）18。

3．方程012=--x x 的解是（）。

（A ）251± （B ）251±- （C ）251±或251±- （D ）251±-± 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）。

那么n x x )1(2+-的值是（）。

（A ）11991- （B ）11991-- （C ）1991)1(n - （D ）11991)1(--n5．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则M （）。

（A ）能被2整除，但不能被3整除（B ）能被3整除，但不能被2整除（C ）能被4整除，但不能被3整除（D ）不能被3整除，也不能被2整除6．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（）。

（A ）1- （B ）5- （C ）0 （D ）17．如图，正方形OPQR 内接于ΔAB （C ）已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（）。

2019年四川省宜宾市全市初中数学竞赛试卷解析版

2019年四川省宜宾市全市初中数学竞赛试卷一、选择题（50分，1-10题每题3分，11-15题每题4分）1．使代数式的值为零的x的值是（）A．0，1B．1，C．0，1，D．2．若|a|+a＝0，则的化简结果是（）A．2a﹣1B．1﹣2a C．﹣1D．13．下列图形，①正方形，②正三角形，③矩形，④菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．下列命题中真命题是（）A．若a≠0，则a﹣1＜a B．若a＞b，则|a|＞|b|C．若sinα＝，则α＝30°D．若a≠b，则（a﹣b）2＞05．已知方程x2+5x+k＝0的两根之差为3，则k为（）A．﹣4B．﹣1C．1D．46．在△ABC中，sin A•cos B＜0，则△ABC的外心在△ABC的（）A．一边上B．内部C．外部D．一边上或外部7．已知平行四边形的对角线长为x、y，一边长为12，则x与y的值可能是下列各组数中的（）A．8与14B．10与14C．10与38D．18与208．方程|x2﹣6x|＝9的不相等的根的个数是（）A．1B．2C．3D．49．如图，AT切⊙O于T，直线AO交⊙O于B、C且∠TAB＝40°，则∠C的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．50°10．已知|3x+y﹣4|+＝0，则（x﹣y）0+（x+y）﹣1等于（）A．B．C．D．11．已知函数y＝﹣ax+b（a≠0）的图象经过一、三、四象限，则函数y＝﹣ax2+bx的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．已知△ABC是钝角三角形，AB＝2，AC＝5，BC＝x，那么x的取值范围是（）A．3＜x＜7B．＜x＜7或3＜x＜4C．3＜x＜或＜x＜7D．＜x＜713．设x1、x2是方程3x2﹣7x﹣6＝0的两根，则（x1﹣3）•（x2﹣3）＝（）A．6B．4C．2D．014．有序实数对的运算定义为：（a，b）※（c，d）＝（ac+bd，ad+bc），如果对所有的（a，b），均有（a，b）※（x，y）＝（a，b），则（x，y）是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（1，1）15．设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A．12公斤B．15公斤C．18公斤D．24公斤二、填空题（24分，每小题4分）16．一个凸多边形过相邻两边上各一点（但不是顶点）作一线段，形成另一多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是．17．已知＝＝，那么＝．18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，E、G三等分AB，且EF∥GH∥BC，则EF＝，GH＝．19．计算：++++…+＝．20．如图，在△ABC中，AD：DB＝2：3，E为CD的中点，AE的延长线交BC于点F，则BF：FC＝．21．两座灯塔A和B与海岸观察站S的距离相等，A在S北偏东30°方向，B在S的南偏东60°方向，则灯塔B在灯塔A的方向．三、解答题（46分）22．已知方程组的解为，求a、b的值．23．如果对于自然数n，7n的个位数字用a n表示，试求a1995的值．24．当x＝时，求代数式A＝x3﹣x2﹣x+1的值．25．（已知如图，半径为2的⊙A与直线l相切于C，点B与⊙A在l的同旁，与l的距离BD ＝6，DC＝15，点P为l上到A、B两点距离之和为最短的一点，试确定P点的位置，并求出PC和PD．26．在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，过D作DF⊥AC，垂足为F，连接BF交⊙O于E，求证：（1）DF是⊙O的切线；（2）BF：AF＝FC：EF．27．在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速运动，甲球从A点出发按顺时针方向运动，乙球同时从B点出发，按逆时针方向运动，两球相遇于C点，相遇后两球各自在圆上反向作匀速运动，但这时甲球速度是原来的2倍，乙球速度是原来的一半，它们第二次相遇于D点，D在AnB上，已知AmC＝40cm，BnD＝20cm，求ACB的长度．参考答案一、选择题（50分，1-10题每题3分，11-15题每题4分）1．【解答】解：根据题意，得，解得，x＝．故选：D．2．【解答】解：∵|a|+a＝0，∴a≤0，∴原式＝|a﹣1|+|a|＝1﹣a﹣a＝1﹣2a．故选：B．3．【解答】解：①正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；故选：C．4．【解答】解：A、若a≠0，则a﹣1＜＝，当0＜a＜1时，＞a，故本选项错误；B、若a＞b，假设a＝2，b＝﹣3，此时|a|＜|b|，故本选项错误；C、若sinα＝，则α＝30°或150°，故本选项错误；D、若a≠b，则（a﹣b）2＞0，故本选项正确．故选：D．5．【解答】解：设x1、x2是方程x2+5x+k＝0的两根．∵方程x2+5x+k＝0二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是k，∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝k；∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝25﹣4k＝9，解得，k＝4．故选：D．6．【解答】解：∵sin A•cos B＜0，当△ABC是直角或锐角三角形时，sin A和cos B的值都是正数，不符合已知条件，直角三角形的外心在直角三角形斜边的中点上，锐角三角形的外心在三角形的内部，故答案A错误；B错误；D错误；只有钝角三角形的cos B的值是负数，故答案C正确．故选：C．7．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OA＝OC，OB＝OD，当AB＝12时，根据三角形的三边关系定理只要满足：OB﹣OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可，A、OA＝4，OB＝7，12＞4+7，故本选项错误；B、OA＝5，OB＝7，12＝5+7，故本选项错误；C、0A＝5，0B＝19，19﹣5＞12，故本选项错误；D、OA＝9，OB＝10，10﹣9＜12＜10+9，故本选项正确；故选：D．8．【解答】解：方程|x2﹣6x|＝9可化为两个方程，分别为x2﹣6x＝9…①x2﹣6x＝﹣9…②①化简为x2﹣6x﹣9＝0，△＝（﹣6）2﹣4×（﹣9）＝72＞0，即①有两个不相等的实数根．②化简为x2﹣6x+9＝0，△＝（﹣6）2﹣4×9＝0，即②有两个相等的实数根，∴方程|x2﹣6x|＝9共有三个不相等的实数根．故选：C．9．【解答】解：连接OT，∵AT切⊙O于T，∴∠ATO＝90°，∵∠TAB＝40°，∴∠AOT＝50°，∵OC＝OT，∴∠C＝∠OTC，∵∠AOT＝∠C+∠OTC，∴∠C＝25°．故选：A．10．【解答】解：根据题意得，，解得或（x﹣y＝0，不符合题意，舍去），∴（x﹣y）0+（x+y）﹣1＝（﹣4﹣16）0+（﹣4+16）﹣1＝1+＝．故选：B．11．【解答】解：∵一次函数y＝﹣ax+b的图象经过一、三、四象限，∴﹣a＞0，∴a＜0，b＜0，∴二次函数y＝﹣ax2+bx的图象开口向上，对称轴x＝＞0，在y轴右边．故知二次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．12．【解答】解：∵AB＝2，AC＝5，BC＝x，∴3＜x＜7，∵△ABC是钝角三角形，∴若AC的对角∠B是钝角，则cos∠B＝＝＜0，∴4+x2﹣25＜0，∴﹣＜x＜，即3＜x＜；若BC的对角∠A是钝角，则cos∠A＝＝＜0，∴x2＞29，∴x＞或x＜﹣，即＜x＜7．∴x的取值范围是：3＜x＜或＜x＜7．故选：C．13．【解答】解：∵x1+x2＝，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1x2﹣3（x1+x2）+9＝﹣2﹣3×+9＝0．故选：D．14．【解答】解：∵（a，b）※（x，y）＝（ax+by，ay+bx）＝（a，b），∴ax+by＝a，ay+bx＝b，∵对于任意实数都成立，∴x＝1，y＝0，∴（x，y）为（1，0）．故选：B．15．【解答】解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有＝，解得x＝24．切下的合金重24公斤．故选：D．二、填空题（24分，每小题4分）16．【解答】解：设原多边形的边数是n，则新多边形的边数是（n+1），根据题意得，[（n+1）﹣2]•180°＝2520°，解得n＝15．故答案为：15．17．【解答】解：设＝＝＝k，那么x＝6k，y＝4k，z＝3k，∴＝＝＝．故答案是．18．【解答】解：设EF＝a，GH＝b，∵E、G三等分AB，且EF∥GH∥BC，AD∥BC，∴DF＝FH＝CH，∵AD＝4，BC＝6，根据梯形的中位线定理得：，解得：a＝，b＝，故答案为：，．19．【解答】解：++++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．故答案为：．20．【解答】解：在AE上取点G，使EG＝EF，∵E为CD的中点，∴DE＝CE，又∵EG＝EF，∠DEG＝∠CEF，∴△DGE≌△CFE，∴DG＝FC，根据比例关系可知：DG∥FC，∵AD：DB＝2：3，∴＝＝＝．故答案为．21．【解答】解：由题意得∠MSA＝30°，∠NSB＝60°，∴∠ASB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵AS＝BS，∴∠SAB＝45°．∵MN∥AD，∴∠SAD＝∠MSA＝30°，∴∠BAD＝∠SAB﹣∠SAD＝45°﹣30°＝15°．∴灯塔B在灯塔A的南偏东15°．故答案为：南偏东15°．三、解答题（46分）22．【解答】解：把代入原方程组得，解得．∴a、b的值分别为2，1．23．【解答】解：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649，∴可得出个位数分别为7、9、3、1且呈周期性变化，又∵1995÷4＝498余3，71995的个位数字为3，即a1995的值为3．24．【解答】解：∵x＝，∴x＝＝+1，∴A＝x3﹣x2﹣x+1＝x（x2﹣2x+1）﹣x+1＝x（x﹣1）2﹣x+1＝x﹣x+1＝1．25．【解答】解：∵半径为2的⊙A与直线l相切于C，∴以l为对称轴作点A的对称点A′，连接BA’，交l与点P，点P即要求的点，∵P A＝P A′，∴P A+PB＝P A′+PB＝BA′（两点之间线段最短）；由作图得∠APC＝∠A′PC，∵∠A′PC＝∠BPD（对顶角相等），∴∠BPD＝∠APC，∴由已知在Rt△PDB和Rt△PCA中，∴tan∠BPD＝tan∠APC，∴＝，即＝，得：PD＝，则PC＝15﹣PD＝．26．【解答】证明：（1）连接AD，DO，∵AB为直径作⊙O交BC于D，∴∠ADB＝90°，（直径所对圆周角等于90°）即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵O为AB中点，D为BC中点，∴DO∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）设AC与⊙O交于一点G，∵AF，FB都为⊙O的割线，∴FG•F A＝FE•FB，∴＝，∵∠ABC＝∠DGC，（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠DGC，∴DG＝DC，∵DF⊥AC，∴FC＝FG，∴＝，即BF：AF＝FC：EF．27．【解答】解：设BC＝x厘米．甲球速度为v甲，乙球速度为v乙．根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程第二次等候时方程．由此可得，（x﹣40）（x﹣80）＝0．由于已知条件v甲≠v乙，∴x≠40，x＝80（厘米）ACB＝40+80＝120（厘米）．。

2019-2020年初中数学竞赛初赛试题(一,含详解)

及 x 轴围成的三角形面积为 sk ，则 s1 s2 s3 ... s2006 的值是
。
13．如图，正方形 ABCD和正方形 CGEF的边长分别是 2 和 3，且
点 B、 C、 G 在同一直线上， M 是线段 AE 的中点，连结 MF，则 MF
的长为
。
14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为
心 DEF 的各边与 ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是
1cm,
那么 DEF 的周长是（
）
(A)5cm (B)6cm (C)
( 6 3 )cm (D) ( 3 3 )cm
3．将长为 15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有 ( ) (A)5 种 (B) 6 种 (C)7 种 (D)8 种
（ 1）随着 m 的变化，该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；
（ 2）如果直线 y x 1 经过二次函数 y x 2 2( m 1 ) x m 1 图象的顶点 P，求
此时 m的值。
全国初中数学竞赛初赛试题（一）参考答案
一、选择题 1．答案 D
4．作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线 B，再将抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是 y 2( x 1 ) 2 1，则抛物线 A 所对应的函数表达
式是 ( )
(A) y 2( x 3 )2 2 (B) y 2( x 3) 2 2
(C) y 2( x 1 )2 2 (D) y 2( x 3 )2 2
顶点，棋子停在顶点 D。依这样的规则，在这 10 次移动的过程

2019年全国初中数学竞赛(湖北省襄阳市)预选赛试卷(含答案)

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的弦的条数是
A．5
B．7
C．10
D．12
10. 已知二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图象
y
如图所示，记 p 2a b ， q b a ，则下列
结论正确的是
A． p ＞ q ＞0 C． p ＞0＞ q
B． q ＞ p ＞0 D． q ＞0＞ p
01
x
二、填空题（本大题满分 40 分，每小题 5 分）
2009
2009
2．B；由 a b ＜0， b ＞0 知 a ＜0 且| a |＞| b |，所以| a |2＞| b |2，即 a 2＞ b 2；
3. C；将图 1 中的平面图折成正方体
4. A；延长 CO 交于⊙O 于 D，连结 AD，则∠D=∠B=15°，因为 CD 为⊙O 的直径，所以∠CAD=90°，
很快售完；由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出 0.5 元，共用了 150 元，所购得书的数量比第一次多 10 本；这批书按原定价售出 80%后，出现滞销，便以 5 折售完剩余的该图书. 试问：这个书店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.
条.
y y x 3
A
E F
A
D
F
o
xB
（第 14 题图）
D （第 15 题图）
C
B
E
C
（第 16 题图）
16. 如图，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC，∠DBC=45°，折叠梯形 ABCD，使点 B 重合于
点 D，折痕为 EF，若 AD=2，BC=8，则 tan∠CDE=
.
17. 18.
全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷
（本试卷共 4 页，满分 120 分，考试时间：3 月 22 日 8:30——10:30）
题号得分一Fra bibliotek二（1—10）（11—18）
三
19
20
总分
一、选择题（本大题满分 50 分，每小题 5 分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 E 在 AC 上（点 E 与 A、C 都
不重合），点 F 在斜边 AB 上（点 F 与 A，B 都不重合）
（1）若 EF 平分 Rt△ABC 的周长，设 AE= x ，△AEF 的面积为 y ，写出 y 与 x 之间的函
数关系式，并指出 x 的取值范围；
如实图数，x在, y平满面足直2x角2坐标6x系中y，2 点0A，的设坐w标是x2（10y，2 0）8，x ，y 则
w
的最大值是
.
点 B 的坐标为（8，0），点 C，D 在以 OA 为直径的
C
D
半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形，则点 C
的坐标为
.
O
M• B A x
（第 18 题图）
三、解答题（本大题满分 30 分，每小题 15 分） 19. 某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了 100 元，按该书定价 2.8 元出售，
A. 2a b c
B. 2b a c
C. 2c a b
D. c 2a b
6. 若实数 n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是
1
D.1
B．
2
C．0
D. -1
7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是
（第 10 题图）
11. 已知 | x |=3， y2 =2，且 x y ＜0，则 x y =
.
1
1
12. 如果实数 a, b 互为倒数，那么
.
1 a2 1 b2
13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球 4 个，
2
绿球 6 个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为，那么，随机从中摸出一个黄球的
那么，图 1 中的线段 AB 在图 2 中的对应线段是
A. k
B． h
C． e
D． d
4. 如图，A、B、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是
A．75°
B．72°
C．70°
D．65°
A
A
B
B
C
图1
图2
（第 3 题图）
O （第 4 题图）
5. 已知2a =3， 2b =6， 2c =12，则下列关系正确的是
5
概率为
.
14.
如图，在直线 y x 3 上取一点 P ，作 PA ⊥ x 轴， PB ⊥ y 轴，垂足分别为
A、B，若矩形 OAPB 的面积为 4，则这样的点 P 的坐标是
.
15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°,
E, F 分别在 AC、AB 上，且
AE=AF，∠CDE=∠BAC，那么，图中长度一定与 DE 相等的线段共有
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1. 方程 1 1 x 0 的根是 2009
A. 1 2009
B. 1
C. -2009
2. 如果 a9 b 0 ，且b 0 ，那20么0 a2 与 b2 的关系是
D. 2009
A. a2 ≥ b2
B. a2 ＞ b2
C. a2 ≤ b2
D. a2 ＜ b2
3. 如图所示，图 1 是图2 中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），
A．∠A＞60°
B．∠C＜60° C．∠B＞45° D．∠B＋∠C＜90°
8.有 2009 个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第
一个数是 1，第二个数是-1，则这 2009 个数的和是
A．-2
B．-1
C．0
D．2
9. ⊙0 的半径为 15，在⊙0 内有一点 P 到圆心 0 的距离为 9，则通过 P 点且长度是整数值
（2）试问：是否存在直线 EF 将 Rt△ABC 的周长和面积同时平
B
分，若存在，求出 AE 的长，若不存在，说明理由.
F
CE
A
2009 年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试题参考答案
一、选择题：DBCAB，CDADB 提示：
1．D；由1 1 x 0 ，得 1 x 1, x 2009
所
以在 Rt△ACD 中 , ∠OCA=90°－15°=75°.
5．B；由 2 a =3，2 c =12，得 2 a ·2 c =3×12. 即 2 a c =36=62，而 2 b =6
aac (2b )2 22b 2b a c