导数与微分内容提要.ppt

lim
t t0
tt0
1 2
gt2 1 2
t t0
gt02
gt0.
注意到：
求曲线 y f (x) x2 在点 (x0 , y0 ) 处的切线的斜率归结为求极限
lim f (x) f (x0 )
xx0
x x0
求自由落体运动
h(t)
1 2
gt 2
在时刻
t
t0
处的瞬时速度归结为求极限
lim h(t) h(t0 ) tt0 t t0
0, x 0
在 x 0 处可导.
分析:
由题意,要证明
f ( x) f (0) lim
f (x0 ) 存在 f(x0 ) f(x0 )
6. 理解导数的几何意义
第五章 导 数 与 微 分
CHAPTER 5 DERIVATIVES AND DIFFERENTIAL COEFFICIENT
一、导数的定义 1.实例
例1 求曲线 y x2 在点 (x0 , y0 ) 处的切线方程.
Q(x, y)
§1 导 数 的 概 念
教学要求
1．理解导数的概念，要求能从几何与物理背景理解函数 f (x)
在一点的导数概念. 2．会用导数定义讨论一些简单函数在给定点的可导性. 3．理解函数在一点的可导性与连续性关系，即连续是可导的必
要而非充分条件. 4．理解单侧导数、导函数概念，会用单侧导数与导数的关系讨
论分段函数在分段点处的可导性. 5．了解函数可导的充要条件：
则极限(1)可表为:
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) (2)
x x0
x0
x
函数 f 在 x0 处的导数:
f (x0 )
y |xx0
dy dx
x x0
lim xx0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )
y |xx0
dy dx
x x0
y lim x0 x
dy . dx xx0
f (x0 )
y |xx0
dy dx
x x0
lim xx0
f (x) f (x0 ) x x0
如果极限(1)不存在,则称 f 在 x0 不可导.
令
x x x0(称为自变量x在点 x0 的增量),
y f (x0 x) f (x0 ) (称为函数f在 x0 处的增量),
在时刻 t t0 处的瞬时速度.
解: 令 h(t) 1 gt2
2
从时刻 t0 到时刻t的平均速度为: h(t) h(t0 )
h(t) h(t0 )
t t0
t0
自由落体运动在时刻 t0 的瞬时速度为:
t
lim h(t) h(t0 ) tt0 t t0
lim tt0
1 2
gt
2
1 2
gt02
T
P(x0, y0 )
关键:求切线T的斜率!
令 f (x) x2. 割线PQ的斜率为 f (x) f (x0 )
x x0
T的斜率为:
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
x2 x02 x x0
2x0.
所求的切线方程为:
y y0 2x0 (x x0 ).
例2 求自由落体运动 h 1 gt 2 2
第五章 导 数 与 微 分
内容提要
一.、基本概念
二、基本理论
1. 导数 2. 单侧导数（有导数与左导数） 3. 导函数 4. 高阶导数 5．微分 6. 高阶微分 7. 导数与微分概念的几何意义
1．函数可导与连续的关系 2．可导与单侧导数关系 3．可导与可微的关系 4．一阶微分形式的不变性
三、基本方法 1．求导数的方法 2．利用定义计算导数（此法常用于判断分段函数在分段点处是否可导）. 3．利用基本初等函数的导数公式与求导法则计算导数. （1）基本初等函数导数公式 （2）四则运算求导法则 （3）反函数求导法则 （3）利用隐函数的求导法计算导数. （4）利用对数求导法计算导数. 4.求微分 5.近似计算与误差估计 6．利用导数的几何意义求已知曲线的切线和法线 7．求高阶导数
x
x
2 sin
x 2
cos( x0
x ) 2
x
sin x 2
xBiblioteka Baidu
cos( x0
x 2
)
所以
2
f
( x0
)
lim
x0
sin x 2
x
cos( x0
x 2
)
cos
x0.
2 同理可证明函数 f (x) cos x 在点 x x0 处的导数为: sin x0.
y
x
o
例6 证明函数
x2, x 0
y
f (x)
y
y x2
例4 求函数 f (x) c 在点 x x0 处的导数.
解: 因
lim f (x0 x) f (x0 ) lim c c 0.
x0
x
x0 x
所以
f (x0 ) 0.
(1,1)
x
例5 求函数 f (x) sin x 在点 x x0 处的导数.
解
f (x0 x) f (x0 ) sin(x0 x) sin x0
因而有
lim sin x sin 2n lim sin x 1.
x2n x 2n
x2n x 2n
例3 求函数 f (x) x2 在点 x 1 处的导数.
解: 因
lim f (1 x) f (1) lim (1 x)2 1 lim 2x x2 2,
x0
x
x0
x
x0 x
所以
f (1) 2.
x0 x
x0
x
dx x0
从极限 lim sin x 1, 我们能得到什么? x0 x
因 lim sin x 1, 所以 lim sin x sin 0 1, 故 d sin x 1.
x0 x
x0
x
dx x0
曲线 y sin x 在点 (0, 0) 的切线的斜率为1.
y
2
o
2
4
x
由函数的周期性知曲线 y sin x 在点 (2n , 0) 的切线的斜率为1.
不同的问题有相同的数学结构(模型).
2.导数的定义
定义1设函数 y f (x) 在点x x0 的某邻域内有定义. 若极限
lim f (x) f (x0 )
(1)
xx0
x x0
存在,则称函数 f 在点 x x0 处可导,并称该极限为函数 f 在 x0处的导数,
记作 即
f (x0 ), 或 y |xx0 , 或
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
当 x0 0 时
f
(0)
y |x0
dy dx
x0
lim x0
f
(x) x
f
(0)
从极限 lim sin x 1, 我们能得到什么? x0 x
因 lim sin x 1, 所以 lim sin x sin 0 1, 故 d sin x 1.