13.4_课题学习_最短路径问题课件_(新版)新人教版

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E
G
D M
Ｃ .
A
O
H N E
B
.
• 4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到 河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一 天的最短路线。
F G
作法：1.作点C关于直线
A
O
OA 的 对称点点F, D · 2. 作点D关于直线 OB B 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H， 则CG+GH+DH最短
·
B
l
B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？ B · A 若直线l 上任意一点（与点 · C 不重合）与A，B 两点的距离 C′ l 和都大于AC +BC，就说明AC + C BC 最小． B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？ B
·
A
·
C′ C
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站， 向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
请你自己动手 试一试！
(Ⅲ)一点在两直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求．
·
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
· C
H E
最短路线：A
P
Q
B
A/
P
N
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE，ND=NE,
F ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, G O M CG+GH+HD=FG+GH+HE, A H 在四边形EFGH中， C N ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短）， D · 即CG+GH+HD＞CM+MN+ND 即CM+MN+ND最短 B
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″， 分别交OM，ON于点B、点C， 则点B、点C即为所求
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B
A l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． · A· l
B
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C A
①D ②
E B
③
两点之间,线段最短
F
已知：如图， A，B在直线L的两 (Ⅰ)两点在一条直线异侧 侧，在L上求一点P，使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
·
A
·
B
C
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． A ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， · AC′+BC′ C′ = AC′+B′C′． C 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO， BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了 糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？
作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短
C l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2，如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB′的长度 相等？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？
P
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
探索新知
问题1
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． B A