北师大版高中数学必修二教师用书：复习课1 立体几何初步

复习课(一)立体几何初步

一、几何体的三视图及其应用

三视图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的结构特征，进而研究几何体的有关性质．由空间几何体的直观图可以画出它的三视图，同样由空间几何体的三视图可以想象并画出这个几何体的直观图．另外，三视图也常结合简单几何体的表面积与体积进行考查．1．由几何体的三视图识别几何体

【典例1】如下图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．

[解析]由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C1－ABCD)，还原在正方体中，如图．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB＝2知最长棱的长为2 3.

[★答案☆]23

由三视图还原几何体时，要根据几何体的主视图、左视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的特征，从而判断三视图所描述的几何体．

2．由几何体的三视图计算几何体的表面积或体积

【典例2】 (1)已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )

A.2π3＋12

B.4π3＋16

C.2π6＋16

D.2π3＋12

(2)一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

[解析] (1)由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方

是半球，∴V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223×12＝16

＋2π6，故选C. (2)该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该

几何体的表面积为34×(4π×22)＋2×π×222＝16π.

[★答案☆] (1)C (2)16π

(1)求几何体的表面积，注意组合体的各个面．

(2)本例(2)是一个锥体与半球体的组合体，应分别求出体积再求和．

二、球的问题

球与多面体的位置关系问题突出考查了立体几何的核心能力——空间想象力，在其求解过程中，除了用到球体与多面体的性质外，还要用到平面几何的知识，综合性很强，是高考试题命题者青睐的一个考点．

【典例3】 已知在半径长为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB ＝CD ＝2，则四面体ABCD 的体积的最大值为( ) A.233 B.433 C ．2 3 D.833

[解析] 如图，设O 为球心，OA ，OB ，OC ，OD 四条线段把四面体ABCD 分成四个三棱锥，且三棱锥B －ODC 与A －ODC 同底，三棱锥D －AOB 与C －AOB 同底．在三棱锥B －ODC 和A －ODC 中，

底面积为34×22＝3，高分别为B 到平面ODC 的距离与A 到平面

ODC 的距离，只有AB ⊥平面ODC 时，两距离之和才能取得最大值

2，所以其体积和最大值为13×3×2＝23 3.同理可得三棱锥D －AOB

与C －AOB 的体积和的最大值为23 3.所以四面体ABCD 的体积的最

大值为43 3.

[★答案☆]B

求球体与多面体的组合体问题的关键是将空间问题转化为平面问题解决．

三、空间中的平行关系

在证明线与线、线与面、面与面的平行关系时，从“看到结论想判定定理，看到条件想性质定理”来分析题意和寻求证明思路，往往要根据定理的条件，通过构造辅助线或辅助面来解决问题．【典例4】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

[解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，

连接FO，则PF＝1

2PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点，∴OF∥PD.

又OF⊆/平面PMD，PD平面PMD，

∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝1

2PB，

∴PF∥MA且PF＝MA，

∴四边形AFPM是平行四边形，

∴AF∥PM.又AF⊆/平面PMD，PM平面PMD，

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC，

∴平面AFC∥平面PMD.

(1)判断线面平行的两种常用方法

①利用线面平行的判定定理．

②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．

(2)判断面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

四、空间中的垂直关系

空间中的各种垂直关系是高中数学的重要内容．在高考中着重考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明，这就需要利用线面垂直、

面面垂直的判定定理及其性质，运用三者之间的转化关系．【典例5】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)P A⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面P AD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

[证明](1)因为平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD ＝AD，P A平面P AD，P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.

又因为BE⊆/平面P AD，AD平面P AD，

所以BE∥平面P AD.

(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知P A⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.

又因为AP∩AD＝A，AP，AD平面P AD，

所以CD⊥平面P AD，所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF，

所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，