微分中值定理的推广2

又因为 f 在 [ a, b ] 上为上半连续 , 则
f ( xn ) f ( x0 ) , Π n
可知函数 f ( x ) = u ( x ) ± v ( x ) 在点 x0 也 Schwa rtz 可导 , 性质 2. 2 若函数 u ( x )和 v ( x )在点 x0 Schwartz可
1
n
< f ( x0 ) ] a -
1
n
< f ( xn ) -
1
n
<
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2009 年 9 月 第 23 卷 第 3 期
微分中值定理的推广
令 n → ∞,α ≤ f ( x0 ) , 所以 x0 ∈ A (α) , 这说明
A (α) 为有界闭集 。 由确界原理知 A (α) 中必有下确 f (ω + h ) - f (ω - h ) 2h
f′ = lim r ( 0)
h →0 +
2h
v ( x0 + h ) u ( x0 - h ) 2h
f ( h) - f ( - h) 2h h sin
h →0 +
= u′ r ( x0 ) v ( x0 ) + v′ r ( x0 ) u ( x0 )
1
h
+ h sin
1
- h =0 h sin
设 f ( x ) 在 x0 及其附近有定义
则称函数 f ( x ) 在点 x0 Schwartz可导 , 并称此极限值为 函数 f ( x ) 在点 x0 的 Schwa rtz导数 , 记为 f ′ r ( x0 ) 。 如果函数 f ( x ) 在 ( a, b) 内的每一点都 Schwa rtz 可导 , 则称 f ( x ) 在 ( a, b) Schwa rtz可导 。
x0 Schwa rtz可导 , 则函数 f ( x ) = u ( x ) ± v ( x ) 在点 x0
2h
v ( x0 + h ) - v ( x0 - h )
= c lim
h →0 +
2h
= cv′ r ( x0 )
也 Schwa rtz可导 , 且 f ′ = u′ v′ r ( x0 ) r ( x0 ) ± r ( x0 ) 。 证明 :设函数 u ( x ) 和 v ( x ) 在点 x0 Schwa rtz可 导 ,则
ϖδ > 0, 当 x ∈ E, | x - x0 | < δ时 , 恒有 f ( x ) >
f ( x0 ) - ε 。
注1
[2 ]
若 f ( x ) 在 x0 及其附近有定义 , 则 f ( x )
给出了一些 Schwartz导数的性质 , 运用这些性质得 出有关 Schwartz导数的 Rolle 中值定理 、 Lagrange 中 值定理和 Cauchy中值定理 。
J IAN G Shen - m ing J IAN G X iao - qiong
( N anchang Hangkong U nversity, N anchang, J iangxi 330063, Ch ina )
Key words: D ifferential mean value theorem; Schwartz derivative; upper( lower) sem icontinuous Abstract: The concep t of Schwartz derivative is introduced in this paper . Some p ropertie of Schwartz derivative are given and by using of these p roperties, Rolle mean value theorem , Lagrange mean value theorem and Cauchy mean value theorem of Schwartz derivative are gained .
f ( x0 - h ) - f ( x0 ) - h f′ r ( x0 )
] = lim
h →0 +
2h
=
2h
[ u ( x0 + h ) - u ( x0 - h ) ] v ( x0 + h )
反之 , 如果函数 f ′ r ( x0 ) 存在 , 但函数 f ( x ) 在点
x0 不一定可导 。
= lim + lim
h →0 +
2h
u ( x0 - h ) v ( x0 + h )
如 :函数 f ( x ) =
x sin
1
x
h →0 +
x ≠ 0
+ lim - lim
h →0 +
2h
[ v ( x0 + h ) - v ( x0 - h ) ] u ( x0 - h )
0 x = 0 证明 :当 x0 = 0 时 ,
h →0
x f ( x )
= ( b - a) f ( x)
- x [ f ( b) - f ( a ) ],
则 F ( x ) 满足 :
( 1 ) 在闭区间 [ a, b ] 上连续 ; ( 2 ) 在开区间在 ( a, b) 内 Schwa rtz可导 ; ( 3 ) F ( a ) = F ( b) ;
在 x0 处连续的充要条件是 f ( x ) 在 x0 处既上半连续 , 又下半连续 。 定义 1. 2 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某个邻域内 有定义 , 如果极限值 lim +
h →0
1 基本概念
定义 1. 1
[2 ]
f ( x0 + h ) - f ( x0 - h )
2h
存在 ,
f′ = r ( x0 ) [ u ( x0 + h ) ± v ( x0 + h ) ] - [ u ( x0 - h ) ] ±v ( x0 - h )
引理 2. 1 设 f ∶ R → R 在 [ a, b ]上为上半连续 , 在 ( a, b) 内 Schwa rtz可导 . 若 f ( a ) < f ( b) , 则至少存 ξ ) ≥ 0。 在一点 ξ∈ ( a, b) , 使得 f ′ r ( 证明 :定义 A (α) = { x | x ∈ [ a, b ], f ( x ) ≥α} , 其中 α ∈ ( f ( a ) , f ( b) ) , 显然 a A (α) 。 首先 A (α) 有 界是显然的 , 下证明 A (α) 为闭集 。 在 A (α) 上任取一个数列 { xn } , 且使得 lim xn =
ξ 则至少存在两点 ξ 1 ,ξ 2 ∈ ( a, b) , 使得 f ′ r ( 1 ) ≤
f ( b) - f ( a ) ξ ≤ f′ r ( 2 )。 b - a
ω) = lim 界 , 设为 ω, 于是 f ′ r ( +
h →0
证明 若 f ( x ) = c ( c为常数 ) , 则上式成立 . 若 f ( x ) ≠ c, 构造辅助函数
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微分中值定理的推广
◎ 江慎铭 江晓琼
(南昌航空大学 ,江西 南昌 330063 ) [关键词 ] 微分中值定理 ; 上 (下 )半连续 ; Schwartz导数 [摘 要 ] 文章引入 Schwartz导数的概念 ,给出了一些 Schwartz导数的性质 ,运用这些性质得出有关 Schwartz导数的 Rolle 中
南昌航空大学学报
J ou rna l of N anchang HangKong U n iversity
自然科学版 ………N a tu ra l S ciences
2009 年 9 月 第 23 卷 第 3 期
51 微分中值定理的推广
( x0 ) 一 注 2 如果函数 f ( x ) 在点 x0 可导 , 则 fr ′
( 1 ) 所谓 f ( x ) 在 x0 处上半连续 , 是指 : Πε > 0,
ϖδ > 0, 当 x ∈ E, | x - x0 | < δ时 , 恒有 f ( x ) <
f ( x0 ) +ε 。
[收稿日期 ] 2009 - 06 - 09 [修回日期 ] 2009 - 09 - 21 [作者简介 ]江慎铭 ( 1972 - ) ,男 ,南昌航空大学数学与信息科学学院讲师 。主要研究方向 : 泛函分析 。
值定理 、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理 。
[中图分类号 ] O17 [文献标志码 ] A [文章编号 ] 1001 - 4926 ( 2009 ) 03 - 0050 - 05
Genera liza tion of D ifferen tia l M ean Va lue Theorem
n →∞
h →0
lim +
2h
u ( x0 + h ) - u ( x0 - h )
= lim
h →0 +
2h
±lim +
h →0
v ( x0 + h ) - v ( x0 - h )
2h
( x0 ) ±v′ = u′ r ( x0 )
x0 , 因为 xn ∈ A (α) , 所以 f ( xn ) ≥α,
f (ω + h ) - f (ω - h ) ≤ 0。 2h
故由定理 3. 1知 :至少存在一点 ξ 1 ∈ ( a, b ) , 使 ξ ξ 得 F′ r ( 1 ) ≥ 0, 即 ( b - a ) f ′ r ( 1 ) - [ f ( b) - f ( a ) ] ξ ≥ 0, 则 f ′ r ( 1 ) ≤
( cv ( x ) ) ′ rx = x 0 = lim cv ( x0 + h ) - cv ( x0 - h )
h →0 +
- 0 = lim
h →0 +
( 0 ) = lim f′
h →0 +
h
= lim sin
h →0 +
1
h
极限不存在 。
2 S chw a rtz导数的性质
性 质 2. 1 若 函 数 u ( x ) 和 v ( x ) 在 点
微分中值定理是数学分析中最重要的定理之 一 ,是研究函数的有力工具 ,是沟通函数及其导数之 间的桥梁 。文献 [ 1 ]已探讨了 Schwartz导数的牛顿
- 莱布尼兹公式 。本文引入 Schwartz导数的概念 ,
( 2 ) 所谓 f ( x ) 在 x0 处下半连续 , 是指 : Πε > 0,
F ( x) = b - a f ( b) - f ( a )
≥ 0。 引理 2. 2 设 f ∶ R → R在 [ a, b ]上为下半连续 , 在 ( a, b) 内 Schwa rtz可导 . 若 f ( a ) > f ( b) , 则至少存 ξ ) ≤ 0。 在一点 ξ∈ ( a, b) , 使得 f ′ r ( 证明 定义 A (α) = { x | x ∈ [ a, b ], f ( x ) ≤ α} , 其中 α ∈ ( f ( b) , f ( a ) ) , 显然 a A (α) 。 类似引理 2. 1 的证明 , 由 f的下半连续知 , A (α) 为有界闭集 , 由确界原理知 A (α) 中必有下确界 , 设 ω) = lim 为 ω, 于是 f ′ r ( +
f′ r ( x0 ) = lim u ( x0 + h ) v ( x0 + h ) - u ( x0 - h ) v ( x0 - h )
h →0 +
定存在 , 并且值相等 。
( x0 ) = lim 证明 f ′ +
h →0
1 f ( x0 + h ) - f ( x0 ) [ + 2 h
f ( x0 + h ) - f ( x0 - h )
可知函数 f ( x ) = u ( x ) v ( x ) 在点 x0 也 Schwa rtz 可导 ,
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h
= lim
h →0 +
2h
h sin
1
h h
性质 2. 3 若函数 v ( x ) 在点 x0 Schwa rtz可导 , c 为常数 , 则 ( cv ( x ) ) ′ rx = x 0 = cv′ r ( x0 ) 。 证明 :若函数 v ( x ) 在点 x0 Schwa rtz可导 , c为常 数 ,则
导 , 则函数 f ( x ) = u ( x ) v ( x ) 在点 x0 也 Schwa rtz可 导 ,且 f ′ r ( x0 ) = u ′ r ( x0 ) v ( x0 ) + v′ r ( x0 ) u ( x0 ) 。 证明 设函数 u ( x ) 和 v ( x ) 在点 x0 Schwa rtz可 导 ,则