函数一致连续的若干方法

函数一致连续的若干方法

学生XX：钱建英学号:20115031297

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师：段光爽职称：讲师

摘要函数在区间上的一致连续性是学习数学分析课程中的重要理论之一，本文主要讲述了函数在有限区间与无线区间上一直连续的若干方法并举例说明

关键词函数；一致连续；极限；

Several methods of uniformly continuous function

Abstract The function uniform in interval is one of the most of important theories in the mathematics analysis course .this paper describes several methods function on a finite interval with a wireless range has been continuous and illustrated.

Key words : function consistent-continuity limit.

0 前言

一致连续是在数学分析中频繁用到的概念，是数学分析中经常涉及的问题，并且一致连续性问题是数学分析中的主要理论，函数一致连续与处处连续有着本质的区别：处处连续是局部概念而一致连续是函数和区间共同决定的，是整体的概念.目前数学分析课本上的判别法大多是利用函数一致连续的定义，没有提出一些直观的判别法.对于初等函数一致连续的问题并没有系统的总结，函数非一致连续也是利用定义，没有直观判别.

函数一致连续性的判定是学习数学分析的重点和难点，因此寻找函数一致连续性的较为直观的判定方法非常重要，对于今后的学习以及数学分析教学有帮助，学习函数一致连续性时有更加直观的感觉，建立感性认识，将一致连续与其他知识联系起来，开阔分析问题的思路，为其他问题的解决奠定基础，本文给出了一些判定方法.

1有限区间上函数一致连续

1.1 一致连续性定义

设f 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0>ε，存在()0>=εδδ，使的对任何的I x x ∈''',,只要δ<''-'x x ，就有

()()ε<''-'x f x f .

则称函数f 在区间I 上一致连续.

f 在I 上一致连续意味着：任意的两点x x ''',,不论这两点在I 中处于什么位置，

只要它们的距离小于δ，就可得到()()ε<''-'x f x f . 1.2 有限区间上一致连续性定理

定理1 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，那么可以得到函数f 在[]b a ,一致连续.

证 若不然，则00>∃ε，以及点列[]b a y x n n ,,⊂ 虽然

()0lim =-∞

→n n n y x ，

但是

()() ,2,1,0=≥-n y f x f n n ε

因为{}n χ有界，所以由致密性定理，{}n χ有一个收敛的点列{}

k n χ， 设

0lim x x k n k =∞

→，

从而

()[]

0lim lim x x x y y k k k k n n n k n k =+-=∞

→∞

→.

又因为b x a k n ≤≤，由极限的不等式性质我们可以推得b x a ≤≤0，可知()χf 在点

0χ连续.

()()()()0lim 000=-=-≤∞

→x f x f y f x f k

k

n n k ε.

矛盾.

定理2 若函数f 在开区间()b a ,上连续，那么f 在()b a ,上一致连续的充要条件是

()()0,0-+b f a f 均存在.

证明 做函数f 的连续延拓函数*f ， 令

()()()()⎪⎩

⎪

⎨⎧=-∈=+=*b x b f b a x x f a x a f f ,0,,,0.

易知函数()x f *在[]b a ,上连续，由函数一致连续定理可知()x f *在[]b a ,上一致连续，必在开区间()b a ,上一致连续，即在开区间()b a ,上一致连续. 由函数f 在开区间上()b a ,一致连续的定义可知，

()b a x x ,,,0,0∈'''∀>∍>∀δε，

当δ<''-'x x 时，有()()ε<''-'x f x f ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛

+∈'''∀2,,δa a x x ，

可得

δ<''-+-'≤''-'x a a x x x ，

因此

()()ε<''-'x f x f .

由柯西收敛准则知()0+a f 存在，同理可证()0-b f 存在. 定理3 函数f 在区间I 上一致连续的充要条件

任意的{}{},,I y x n n ⊂()∞→→n y x n N ，就有()()()∞→→n y f x f n n

由于数列{}{}n n y x ,是任意性，所以该定理常可用于证明函数不是一致连续. 1.3 有限区间上一致连续性条件

推论1 设()x f 在有限区间[)b a ,上连续，那么由上面定理可知()x f 在[)b a ,上一致连续充要条件是极限()()0,0-+b f a f 均存在.

推论2 设()x f 在有限区间(]b a ,上连续，那么有上面定理可知()x f 在(]b a ,上一致

连续充要条件是极限()()0,0-+b f a f 均存在.

2 无限区间上一致连续

2.1无限区间上一致连续判定定理

定理4 若函数f 在[)+∞,a 上连续，且()x f 极限存在，则f 在[)+∞,a 一致连续. 定理5 设f 在[)+∞,a 连续，g 在[)+∞,a 上一致连续，且()()0lim =-∞

→x g x f x ，则f

在[)+∞,a 一致连续.

证明 由与()()0lim =-∞

→x g x f χ，所以A x x a A ≥'''∀>∍>∀,,,0ε，

可得

()()3

ε

<

''-'x g x f .

以及

()()3

ε

<

''-'x g x f .

由于函数g 在[)+∞,a 上一致连续，因此A x x ≥'''∀>∍>∀,,0,0δε，且δ<''-'x x ，因此

()()3

ε

<

''-'x g x g .

因此，A x x ≥'''∀,，δ<''-'x x ，可得

()()()()()()()()ε<''-'+'-'+'-'≤''-'x g x f x g x g x g x f x f x f .

f 在[)+∞,a 上一致连续，又因为f 在[]A a ,上一致连续，所以f 在[)+∞,a 上一致

连续.

直观表述：若连续函数在无穷远出可以充分贴近一个一致连续函数，那么这个函数必定一致连续.

定理6 若函数f 在[)+∞,a 可导，并且()λ='+∞

→x f x lim ，则f 在[)+∞,a 上一致连续的