待定系数法求二次函数解析式(讲义)

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待定系数法求二次函数解析式（讲义）

一、【基础知识精讲】

(一）、中考导航图

1.二次函数的意义;

2.二次函数的图象;

3.二次函数的性质??

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顶点

对称轴

开口方向增减性

顶点式：y=a(x-h)2

+k(a ≠0)

4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)

5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 （二）、中考知识梳理 1.二次函数的图象

在画二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a

2

4ac-b 的形式,先

确定顶点(-b 2a ,4a

2

4ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右

侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a 2

4ac-b ;反之当a

2

4ac-b . 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y?的值)?可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解.

4.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,?方程ax 2+bx+c=0无实根. 5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定

a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,?抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半

轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y?轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;?简记左同右异.

6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,?应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.

二、【典型例题精析】

一般式：

例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.

解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+??=++??=++? 解得1,0,2.a b c =??

=??=?

∴解析式为y=x 2+2.

变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。

解:设解析式为y=ax 2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得

3,3,642.a b c a b c a b c =-+??=++??=++? 解得1,0,2.a b c =??

=??=?

∴解析式为y=x 2+2.

顶点式：

例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y ＝a(x －8)2＋9

由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。 请同学们完成本例的解答。

变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).?

设解析式为y=a(x-h)2+k, 即y=a(x-1)2-8.

把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上,

把x=1,y=-8?代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2, ∴解析式为y=2x 2-4x-6.

解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.

∴2

4(3)(2)4a a a a

---=-8.

又∵a ≠0,∴a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.

变式2： 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。 解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，

因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c ＝－5，

又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得

?

????－b 2a ＝29a ＋3b ＝6 解这个方程组，得：???a ＝－2

b ＝8

所以所求的二次函数的关系式为y ＝－2x 2＋8x －5。

解法二：设所求二次函数的关系式为y ＝a(x －2)2＋k ，

由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到

???a(3－2)2

＋k ＝1a(0－2)2

＋k ＝－5 解这个方程组，得：???a ＝－2

k ＝3

所以，所求二次函数的关系式为y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5。

变式3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法1：设所求的函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x －2)2－4

因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a ＝2。所以，所求二次函数的关系式为y ＝2(x －2)2－4，即y ＝2x 2－8x ＋4。 解法2：设所求二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c?依题意，得

?????－b 2a ＝24ac －b 2

4a ＝－4c ＝4

解这个方程组，得：?????a ＝2

b ＝－8

c ＝4

所以，所求二次函数关系式为y ＝2x 2－8x ＋4。 变式4：一条抛物线y x mx n =

++142

经过点()032，与()432

，。求这条抛物线的解析式。 分析：解析式中的a 值已经知道，只需求出mn

,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点(,),(,)03

2

432

的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x =2，这样又可以从抛物线的顶点式入手。

解： 抛物线y x m

x n =++1

4

2

经过点（032,）和(,)43

2

， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2。

设所求抛物线的解析式为y x h =-+1

4

2

2

()。

将点(,)032代入，得

1402322()-+=h ，解得h =12

。 ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+143

2

2。

点评：当点M （x y 11,）和N （x y 22,）都是抛物线上的点时，若y y 12=，

则对称轴方程为x x x =+12

2

，这一点很重要也很有用。

两根式：

例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。 解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.

由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),

将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.

变式： 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。

想一想:还有其它方法吗?

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;?如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).

根据图像求解析式：

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A 点坐标是(8，0)，C 点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x ＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A 、C 两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x ＝3。因为对称轴是直线x ＝3，所以B 点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y ＝ax 2

＋bx ＋c ，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c ＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到

???64a ＋8b ＝－44a －2b ＝－4

解这个方程组，得???

????=-=234

1b a

所以，所求二次函数的关系式是y ＝－14x 2＋3

2

x ＋

4

练习：

一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

其它应用类型：

【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．

（1）求这个函数的表达式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．

【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．

（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：

刹车时车速（km/h）0 10 20 30 40 50 60 70

刹车距离（m）0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9 （1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；

（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；

（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．

【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f （t ），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g （t ）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和

种植成本的单位：元/102

kg ，时间单位：天）

三、【同步练习】

1. 已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为图象过点(0，3)，所以c ＝3，又由于二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，可以得到：???

－b 2a ＝－312a －b

2

4a

＝－1 解这个方程组，得：?

??a ＝49

b ＝83 所以，所求二次函数的关系式为y ＝49x 2＋8

3

x ＋3。

解法2：所求二次函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x ＋3)2－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a ＝4

9

所以，所求二次函数的关系为y ＝44/9(x ＋3)2－1，即y ＝49x 2＋8

3

x ＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，

应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得???－p

2＝5

4q －p

2

4＝－2

解得：p ＝－10,q ＝23

所以，所求二次函数的关系式是y ＝x 2－10x ＋23。

3. 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。 4．函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，求p 和q 。 5．若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，求b 和c 。

6．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y 随x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是______。

7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的关系式。

四、【创新探究】

美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？

为解决该问题，我们可把该班人数n 与握手次数s 间的关系用下面的模型来表示．

（1）若把n 作为点的横坐标，s 作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．

（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．

（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？

星海学校家庭作业

姓名： 规定时间： 实际时间：

第一部分：根据下列条件求二次函数解析式

（1）已知一个二次函数的图象经过了点A （0，－1），B （1，0），C （－1，2）；

（2）已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；

（3）二次函数图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （4，10）；

（4）已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；

（5）已知二次函数的图象经过一次函数y ＝－2

3

x+3的图象与x 轴、y 轴的交点，且过(1，1)；

（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8；

第二部分：

1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，那么这个二次函数的解析式是_______________。

2、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数的解析式是_______________。

3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式是_______________。

4、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，那么这个二次函数的解析式是_______________。

5、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8），那么这个二次函数的解析式是_______________。

6、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。

第三部分：在延伸中中考、在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO ＝BO，点A的坐标为（－3,1）。

（1）求点B的坐标。

（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；

（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求ΔAB1B的面积。