第8讲 一次函数应用篇

第八讲 一次函数应用篇
学习目标
1、巩固一次函数知识，掌握利用两个条件可能确定一次函数的解析式。

2、能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达，并能利用所学知识解决简单的实际问题．
3在解决问题的过程中，体会数学的抽象性和应用的广泛性。

一、知识回顾
知识点1、一次函数的图像与性质
1、一次函数y kx b =+的图像是经过点 点 的___________．
2、k>0, y 随x 增大而 ；k<0时，y 随x 增大而 。

也就是说函数的变化规律（增减性）只与_____有关。

3、b>0,截距在y 轴的______; b<0,截距在y 轴的______; b=0,截距在______;
4、图像经过的象限是由______和_____共同决定的。

知识点2、求图像的交点坐标
⑴一次函数y kx b =+与x 轴的交点：令y=0, 求出 x ＝k b －
所以交点为(k
b －,0) ⑵一次函数y kx b =+与y 轴的交点：令x=0, 求出 y ＝－b 所以交点为(0,b)
⑶一次函数y kx b =+与其他图像的交点，把它们的解析式联立起来构成方程组，有多少个解就有多少个交点。

知识点3、求一次函数的解析式
⑴待定系数求一次函数的解析式
①设函数表达式；
②根据已知条件列出有关k ，b 的方程； ③解方程，求k ，b ；
④把k ，b 代回表达式中，写出表达式。

⑵由实际问题的等量关系直接写出解析式。

课前热身：1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB 上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a 米/分，
下山的速度是b 米/分，（a<b ）；乙上山的速度是
1
2
a 米/分，下山的速度是2
b 米/分．如果甲、乙二人同时从点A 出发，时间为t （分），离开点A 的路程为S （米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A 出发后的时间t （分）与离开点A 的路程S （米）•之间的函数关系的是（ C ）
2、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度()m y 与挖掘时间()h x 之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： ⑴乙队开挖到30m 时，用了 h ． 开挖6h 时甲队比乙队多挖了 m ；
⑵请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；
⑶当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
解：⑴2，10；
⑵设甲队在06x ≤≤的时段内y 与x 之间的函数关系式为1y k x =，由图可知，函数图象过点(660)，，1660k ∴=，解得110k =，10y x ∴=．
设乙队在26x ≤≤的时段内y 与x 之间的函数关系式为2y k x b =+，由图可知，函数图象过点
(230)(650)，，，，22
230650k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，．解得2520.k b =⎧⎨=⎩，520y x ∴=+．
⑶由题意，得10520x x =+，解得4x =（h ）．∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
3、甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A 、B 两地间的路程为20km ，他们行走的
路程s(km)与甲出发后的相间t(h)之间的函数图象如图14-2-7所示．根据图象信息，下列说法正确的是 ( C ) A ．甲的速度是4km/h B ．乙的速度是10km/h C ．乙比甲晚出发1h D ．甲比乙晚到B 地3h
二、 例题辨析
例1、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），
超过60次后，超过部分每次0.13元。

（1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；
乙
6050
()
m y 甲 ()
h x 6
2
O
图1
图象与信息
30
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。

解；（1）由题意得：y 与x 之间的函数关系式为：y ＝⎩
⎨
⎧>-+≤≤)60)(60(13.020)600(20x x x （2）当x ＝50时，由于x ＜60，所以y ＝20（元）
当x ＝100时，由于x ＞60，所以y ＝)60100(13.020-+＝25.2（元） （3）∵y ＝27.8＞20 ∴x ＞60
∴8.27)60(13.020=-+x 解得：x ＝120（次）
变式练习：某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量am 3
时，只付基本费8元和
定额损耗费c 元(c ≤5);若用水量超过am 3
时,除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m 3
付b 元的超额费．
某市一家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付费用如下表所示：根据上表的表格中的数据，求a 、b 、c ．
解：设每月用水量为xm 3
，支付水费为y 元．则y=8,08(),c x a b x a c x a +≤≤⎧⎨+-+≥⎩
由题意知：0<c ≤5，∴0<8+c ≤13．从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元， 故用水量15m 3、22m 3均大于最低限量am 3
，
将x=15，x=22分别代入②式，得198(15)338(22)b a c
b a c
=+-+⎧⎨
=+-+⎩ 解得b=2，2a=c+19， ⑤．
再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9>a ， 将x=9代入②，得9=8+2（9-a ）+c ，即2a=c+17， ⑥．
⑥与⑤矛盾．故9≤a ，则一月份的付款方式应选①式，则8+c=9， ∴c=1代入⑤式得，a=10． 综上得a=10，b=2，c=1．
例2、旅客乘车按规定可能随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李
票．设行李票y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，其图象如图14-2-6所示．求： (1)y 与x 之间的函数关系式；
用水量(m 3
) 交水费(元)
一月份 9
9 二月份 15 19 三月 22
33
(2)旅客最多可以免费带行李的质量．
解：(1)设y与x之间的解析式为y=kx+b，由题意可知
605,
9010,
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
,
6
5,
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
则y与x的函
数关系是y=15
6
x-．
(2)当y=0时，由1
6
x-5=0，得x=30，则旅客可以最多免费携带30千克行李．
变式练习:抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：
(1)分别求出x≤1，x≥1时y与x之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”
是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
(1)当x≤1时，设y=k1x.将(1，5)代入，得k1=5.
∴y=5x.
当x＞1时，设y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得，
∴
(2)以y=2代入y=5x ，得；以y=2代入，得x2=7.
. 故这个有效时间为小时.
例3. 为实现衡阳市森林城市建设的目标，在今年春季的绿化工作中，绿化办计划为某住宅小区购买并种植400株树苗。

某树苗公司提供如下信息：
信息一：可供选择的树苗有杨树、丁香树、柳树三种，并且要求购买杨树、丁香树的数量相等。

信息二：如下表：
树苗每棵树苗批发
价格（元）
两年后每棵树苗对空气的净化指数
杨树 3 0.4
丁香树 2 0.1 柳树
P
0.2
设购买杨树、柳树分别为x 株、y 株。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）：
（2）当每株柳树的批发价P 等于3元时，要使这400株树苗两年后对该住宅小区的空气净化指数不低于90，应该怎样安排这三种树苗的购买数量，才能使购买树苗的总费用最低？最低的总费用是多少元？ （3）当每株柳树批发价P （元）与购买数量y （株）之间存在关系P ＝3－0.005y 时，求购买树苗的总费用w （元）与购买杨树数量x （株）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）。

18、解：（1）y x =-4002； （2）根据题意得
01
040240029000...()x x x x y ++-≥≥≥⎧⎨⎪
⎩⎪，
∴x x x ≥≥-≥⎧⎨⎪
⎩
⎪100040020 ∴100200≤≤x 。

设购买树苗的总费用为w 1元，即
w x x y x x x 13235340021200=++=+-=-+() ∴w 1随x 增大而减小，∴当x =200时，w 1最小。

即当购买200株杨树、200株丁香树，不购买柳树树苗时，能使购买树苗的总费用最低，最低费用为1000元。

（3）w x x py x y y =++=+-32530005(.)
=+---=-++530005400240020027400
2
x x x x x [.()]().
变式练习：衡阳火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物
运往广州，这列货车可挂A 、B 两种不同规格的货厢50节，已知用一节A 型货厢的运费是0.5万元，用一节B 型货厢的运费是0.8万元。

（1）设运输这批货物的总运费为y （万元），用A 型货厢的节数为x （节），试写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A 型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B 型货厢，按此要求安排A 、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。

（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
23、解：（1）由题意得：)50(8.05.0x x y -+=＝403.0+-x
∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝403.0+-x
（2）由题意得：
⎩
⎨
⎧≥-+≥-+1150)50(35151530)50(2035x x x x 解得：28≤x ≤30
∵x 是正整数 x ＝28或29或30
∴有三种运输方案：①用A 型货厢28节，B 型货厢22节；②用A 型货厢29节，B 型货厢21
节；③用A 型货厢30节，B 型货厢20节。

（3）在函数y ＝403.0+-x 中 ∵y 随x 的增大而减小
∴当x ＝30时，总运费y 最小，此时y ＝40303.0+⨯-＝31（万元） ∴方案③的总运费最少，最少运费是31万元。

三、 归纳总结
归纳1.利用一次函数解决实际问题的步骤是什么？
①列解析式并确定函数的定义域。

②根据解析式画图象
③通过图象准确地读取信息作出判断
归纳2.我们应用了那些数学思想方法? 转化与数形结合的思想方
四、拓展延伸
例1、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，•现在决定把这些机器支援给D 市18台，
E 市10．已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B•市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元．
（1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值．
（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值．
解（1）由题设知，A 市、B 市、C 市发往D 市的机器台数分x ，x ，18-2x ，
发往E 市的机器台数分别为10-x ，10-x ，2x-10．
于是W=200x+300x+400（18-2x ）+800（10-x ）+700（10-x ）+500（2x-10）=-800x+17200．
又
010,010, 01828,59, x x
x x
≤≤≤≤
⎧⎧
∴
⎨⎨
≤-≤≤≤
⎩⎩
∴5≤x≤9，∴W=-800x+17200（5≤x≤9，x是整数）．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，
所以当x=9时，W取到最小值10000元；•
当x=5时，W取到最大值13200元．
（2）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，
发往E市的机器台数分别是10-x，10-y，x+y-10，
于是W=200x+800（10-x）+300y+700（10-y）+•400（19-x-y）+500（x+y-10）=-500x-300y-17200．
又
010,010, 010,010, 0188,1018, x x
y y
x y x y ≤≤≤≤
⎧⎧
⎪⎪
≤≤∴≤≤
⎨⎨
⎪⎪
≤--≤≤+≤
⎩⎩
∴W=-500x-300y+17200，且
010,
010,
018.
x
y
x y
≤≤
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤+≤
⎩
（x，y为整数）．
W=-200x-300（x+y）+17200≥-200×10-300×18+17200=9800．
当x=•10，y=8时，W=9800．所以，W的最小值为9800．
又W=-200x-300（x+y）+17200≤-200×0-300×10+17200=14200．
当x=0，y=10时，W=14200，
所以，W的最大值为14200．
变式练习：某租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．现将这50台联合收割机派往A、B两地收割小麦，其中30•台派往A地，20台派往B地．两地区与该租赁公司商定的每天的租赁价格如下：
甲型收割机的租金乙型收割机的租金
A地 1800元/台 1600元/台
B地 1600元/台 1200元/台
（1）设派往A地x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），请用x表示y，并注明x的范围．
（2）若使租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案写出．
答案:（1）y=200x+74000，10≤x ≤30
（2）三种方案，依次为x=28，29，30的情况．
五、课后作业
1、如图，l 1表示神风摩托厂一天的销售收入与摩托车销售量之间的关系；l 2表示摩托厂一天的销售成本与销售量之间的关系。

（1）写出销售收入与销售量之间的函数关系式； （2）写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
（3）当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本； （4）一天的销售量超过多少辆时，工厂才能获利？
解（1）y =x 。

（2）设y =kx +b ，
∵直线过（0，2）、（4，4）两点，∴y =kx +2，又4=4k +2，∴k =
12，∴y =1
2
x +2。

（3）由图象知，当x =4时，销售收入等于销售成本。

（4）由图象知，当x ＞4时，工厂才能获利。

2、小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图2中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量桶中水面升高___________cm ；
49cm 30cm
36cm 3个球
有
水溢出
（第23题） 图2
（2）求放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？ 解：（1）2．
（2）设y kx b =+，把()030，，()336，代入得：30336b k b =⎧⎨+=⎩，．解得230k b =⎧⎨=⎩
，
．即230y x =+．
（3）由23049x +>，得9.5x >，即至少放入10个小球时有水溢出．
图2。