《空间向量和垂直关系》

2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的 交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图 所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 中点．
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BD的中点， 求证：(1)AC1⊥BD，(2)AC1⊥A1E.
如 图 所 示 ， 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， M 、 N 分 别 为 AB 、 B1C 的 中 点．试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关 系．
[题后感悟] 用向量法证明线面垂直的方法与步骤
3. 在 直 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中 ， AB⊥BC ， |AB| ＝ |BC| ＝ 2 ， |BB1|＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明： 由题意得AB，BC，B1wenku.baidu.com两两垂直，以B为原点，以 直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐 标系，
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l与α斜交
解析： ∵a∥u，∴l⊥α.
答案： B
已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是 底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点，且 CN＝14CC1.
求证：AB1⊥MN.
解答本题可先选基向量，证明A→B1·M→N＝0或先建系，再证 明A→B1·M→N＝0.
量u＝(a2，b2，c2)，b2，c2)，则
则l⊥a∥α ⇔ u
. α⊥β⇔ u·v＝.0
解析： 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直， 所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0， 解得x＝－10. 答案： B
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的法向量 为u＝(4,0,8)，则( )
空间中的垂直关系及其向量证明方法 (1)线线垂直 ①证明两直线的方向向量垂直． ②证明两直线所成角为90°. ③先证明线面垂直，利用线面垂直的性质． (2)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行． ②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． ③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．
(3)面面垂直 ①证明两平面的法向量相互垂直． ②证明两个半平面内同时垂直于棱的两个向量(起点在棱上) 夹角为90°. ③转化为线线垂直或线面垂直． [提醒] 根据题目条件，要灵活选择基向量法还是坐标法．
空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向
设直线l的方向向 若平面α的法向量u＝
量为a＝(a1，a2， a3)，直线m的方向 向量为b＝(b1，b2， b3)，则 l⊥m ⇔ a⊥b .
量是a＝(a1，b1， (a1，b1，c1)，平面β
c1)，平面α的法向 的法向量为v＝(a2，
◎在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱BB1的中 点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?
【错解】
如 图 所 示 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， D(0,0,0)，
解答本题可证明B→C垂直于平面A1AD内的两个不共线向量 A→A1和A→D或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直．
[题后感悟] 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途 径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线 面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量， 证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
第2课时 空间向量与垂直关系
1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间 中的垂直关系.
1．求直线的方向向量和平面的法向量．(重点) 2．利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直 问题．(重点、难点)
在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面 以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的 关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直 线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？