安培力和洛伦兹力的关系资料

24．（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。

（1）一段横截面积为S 、长为l 的直导线，单位体积内有n 个自由电子，电子电量为e 。该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v 。

（a ）求导线中的电流I ；

（b ）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B ，导线所受安培力大小为F 安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F ，推导F 安=F 。

（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量。为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）

24．（1）（a ）设Δt 时间内通过导体横截面的电量为Δq ，由电流定义，有：neSv t t neSv t q I =∆∆=∆∆=

（b ）每个自由电子所受的洛仑兹力：F 洛=evB

设导体中共有N 个自由电子：N =n ·Sl

导体内自由电子所受洛仑兹力大小的总和：F =NF 洛=nSl ·evB

由安培力公式，有：F 安=BlI =Bl ·neSv

得：F 安= F

（2）一个粒子每与器壁碰撞一次，给器壁的冲量为：ΔI =2mv

如答图3，以器壁上的面积S 为底，以v Δt 为高构成柱体，由题设可知，其内的粒子在Δt 时间内有1/6与器壁S 发生碰撞，碰壁粒子总数为：t nSv N ∆=6

1 Δt 时间内粒子给器壁的冲量为：t nSmv l N I ∆=∆=23

1 面积为S 的器壁受到粒子压力为：t

I F ∆= 器壁单位面积所受粒子压力为：231nmv S F f ==

安培力与洛仑兹力的关系

杨兴国

运动电荷在磁场中受到洛仑兹力，通电导线在磁场中受到安培力，导线中的电流是由大量自由电子的定向移动形成的，安培力与洛仑兹力之间必定存在密切的关系，可以认为安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观实质，但不能认为安培力是导线上自由电子所受洛仑兹力的合力，也不能认为安培力是通过自由电子与导线的晶格骨架碰撞产生的．

图中，通电导线置于静止的磁场之中，导线通有电流I，长为d l的导线元，所受的安培力为I d l×B．从微观的角度看，导线中的自由电子以速度v向右运动，在洛仑兹力f=-ev×B的作用下，以圆周运动的方式向导线下方侧向偏移，使导线下侧出现负电荷的积累；在导线中产生侧向的霍耳电场，霍耳电场对自由电子有作用力，阻碍自由电子作侧向运动．经过一段时间后，自由电子受到的洛仑兹力与霍耳电场力N平衡，自由电子只沿导线方向作定向运动，此时，-eE+（-ev×B）=0，霍耳电场的场强=

-

B

E⨯

v

导线内有带负电的自由电子和带正电的晶格，均匀导线内部的电荷体密度为零，自由电子所带电量与晶格骨架所带电量等量异号，若单位体积内自由电子的个数为n，导线的横截面积为S，则在导线元d l中，自由电子电量为- enS d l，晶格骨架所带的电量为

=

dl

Q⋅

nes

在讨论安培力时，可以认为品格均匀分布，排列有序．霍耳电场在导线元d l内也是均匀的，在导线元d l通有电流I时，晶格骨架所受的力为

QE

dF=

将(3.1 3.5)、(3.1 3.6)两式代入，有

⋅

=

dF⨯

-

v

)

(B

dl

nes

考虑到自由电子的定向运动与电流元的关系

⋅

Idl

⋅

-

v

dl

nes=

可将(3.1 3.7)式改写为df= Idl×B，即为(3.1 3.3)式．

如果通电导线在静磁场运动，运动速度为u（图3. 13 -3）．在导线中的自由电子，相对于参考系的速度为u+v，受洛仑兹力-e (u+ v)×B，同样令在导线中产生霍耳电场．当霍耳电场的场强为E= -(u+v)×B时，自由电子没有侧向偏移，仍沿导线方向作定向运动，

通电导线运动时，晶格骨架随之运动，也受到洛仑兹力，晶格骨架受到的力为

])([B v u Q B Qv dF ⨯+-+⨯=

B Qv ⨯-=

)(B v dl neS ⨯⋅-=

B Idl ⨯=

通过上面的论述可以看出：无论磁场中的通电导线是否运动，导线中作定向运动的自由电子均在洛仑兹力的作用下，使导线表面的电荷分布发生变化，在导线内产生霍耳电场，平衡时，自由电子在侧向受到的合力为零，仍沿导线方向作定向运动，没有偏向偏移，不会在侧向与晶格碰撞产生安培力．带正电的晶格所受合力不为零，导线的晶格骨架所受到各力的合力即为安培力．

5.2洛仑兹力与安培力的关系

赵凯华

比较一下洛仑兹力公式(4.41)和安培力公式(4.34)，可以看出二者很相似。这里的qv 与电流元Idl 相当。

这并不是偶然的，因为运动电荷就是一个瞬时的电流元。载流导线中包含了大量自由电子，下面我们来证明，导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表现。

如图4-50所示，考虑一段长度为△l 的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中（在图中用“×’’表示磁感应线方向）。设导线中通有电流I ，其方向向上。

从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为u ，导体单位体积内的自由电子数（叫做自由电子数密度）为n ，每个电子所带的电量为-e (e =1.60 ×10-19库仑)。按照定义，电流强度是单位时间内通过导线截面的电量。现在我们看看，在时间间隔△t 内通过导线某一截面B 的电量有多少。因为在时间△t 内每个电子由于定向运动而向下移动了距离u △t.我们可以在截面S 之上相距u △t 的地方取另一截面S’.在这两个截面之间是一段体积△V =Su △t 的柱体（这里心又代表截面的面积）.不难看出，凡是处在这个柱体内的电子，在时间间隔△t 后都将通过截面S ;凡是位于这个柱体之外的电子，在时间间隔△t 内都不会通过S .所以在时间间隔△t 内通过S 的电子数等于这个柱体内的全部电子数，它应是

n △V=nSu △t

而在时间间隔△t 内通过S 的电量△q 应等于上述这个数目再乘以每个电子的电量e （这里只考虑数值，暂不管它的正负），即

t enSU V en q ∆=∆=∆

子是电流强度

o ensu t q ==

∆∆1