一道课本例题的探究

行， 求直 线 Ｐ Ａ、 ＰＢ的斜 率之积 ．
证 明 设 Ｐ（ ｘ ， ） ， Ａｌ （ ｚ ｌ ， ｙ １ ） ， 则Ｂ １ （ 一 ， 一 １ ） ， 所
ｙＺ 以了 ｘｚ １－
问题 进行 一般化 、 特殊 化 、 逆 向思 维 的 处理 ， 从 命 题 角
度 与解 法角度 进行 发散． 可 以提 出“ 概 括 型” “ 猜 想 型” “ 引 申型” “ 探 究开 放型 ” 等 问题． （ 作 者单位 ： 浙 江省瑞 安 市第五 中学）
以下命 题 ．
牛顿 说过 ： “ 没 有大 胆 的猜想 ， 就做 不 出伟 大 的发 现． ” 翻开数学 史册 ， 可 以发 现数 学 的历 史 就 是一 部 充
满 猜想 的历 史 ． 可 见 猜 想 与 数 学 发 现是 形 影 不离 的．
命题 ２ 若 Ｍ 是 椭 圆 的 弦 ＡＢ 之 中点 ， 则 直 线
ｚ －Ｘ Ｙ －ｙ ｛ Ｙ ～Ｙ
一
３
２
’ｚ２ 一
２ ３’
是 一 ・Fra bibliotek誊一 一号 ．
Ｄ
让 学生 自主探 究 ， 再 让 学 生 归 纳 引 申 出一 般 的
◇ 浙江 李 新 平
问题 ．
高 中数 学教材 绝大 多数 例 题 都是 很 经典 的 ， 教 师 应 该鼓励 学 生对其 进行 积极 的探究 ， 通 过 探究 让 学 生 大 胆 的提 出问题 、 解 决 问题 ． 这 样不 仅 能加 深 概 念 、 法 则、 定 理等基 础知 识 的理 解 与 掌 握 ， 更 重 要 的是 开 发 了学 生 的智 力 ， 培 养 学 生 的 探 究 能力 ． 现 以人 教 版 选
命题 １ 椭 圆 ＋ 一１（ ｎ ＞６ ＞０ ） 上任 意 一 点
ａ
Ｐ与过 中心 的 弦 Ａ Ｂ 的 两端 点 Ａ 、 Ｂ 连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 与
对称 轴不平 行 ， 则 直线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 的斜 率之 积为 定值 ．
证 明 设 Ｐ（ ｘ， ） ， Ａ（ ｘ ， ｙ １ ） ， 则 Ｂ（ －Ｘ ｌ ， 一Ｙ １ ） ，
修２ － １ 第４ １页 的一道 例题 教学 为例 ， 并 谈谈 自己的一
些想 法．
所 以 薯 ＋ 芳 一 １ ， 薯 ＋ 一 １ ， 两 式 相 减 得
一 一 一 一
ａ。
ｂ
一
’ ｚ － －５ Ｃ
ｂ ２
ａ 。’
１ 问题 的提 出 例 １ 设 点 Ａ、 Ｂ 的 坐标 （ ５ ， ｏ ） 、 （ 一５ ， ｏ ） ． 直 线
￣ － ｙ ＫＰ ＾・ Ｋ船 一 Ｙ － Ｙ１・ ｙｑ
Ｚ — Ｚ１
＋
Ｚｌ Ｔ
，
ａ。
为定 值．
Ａ Ｍ、 Ｂ Ｍ 相交 于点 Ｍ ， 且 它们 的斜 率之 积是 一４ ／ ９ ， 求
点 Ｍ 的轨 迹方 程．
２ 问题 的 引 申
１ ）逆 向 思 维 ， 大胆 猜 想
Ⅱ
，
ａ
所 以 ＫＯ Ｍ＊ Ｋ仙
一
一
顶 点 Ａ、 Ｂ 与任 意 一点 Ｐ（ 不 同于 Ａ、 Ｂ） 连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ
箸 ｎ 为
的斜 率之 积为定 值．
２ ）大 胆 假 设 ， 归 纳 引 申
定值 ． 对 性质 的解 释 ： 是 圆 中的 垂 径 定 理 “ 圆 心 与 弦 中 点连线 垂直 于弦 ” 在椭 圆 中的推广 ．
～
并 延 长 交 椭 圆 于 点 Ｐ， 连 接
Ｏ Ｍ， ＢＰ， 则 Ｏ Ｍ／ ／ＢＰ， 所 以
是 （ Ｍ—ｋ ｓ ｖ ， 由性 质 ， ＫＰ Ａ ・ ＫＰ Ｂ 一
一
，
、 、
２
＾ ． ２
＼ ＼ ＼ 、 、 ， ／ｊ
猜想 １ 椭圆 ＋鲁 一１（ 口 ＞６ ＞０ ） 上长轴 的两
４ ）类 比 思 想 ， 知 识拓展
先通 过大 胆假 设 ， 再从 特 殊 问 题 人 手 ， 归 纳 出一
般性 的结 论． 这 样 有 利 于学 生 形 成 良好 的认 知 结 构 ． 变式 问题 中 弦 ＡＢ 是 长 轴 ， 能 不 能 改 成 一 般 过 原 点
的 弦？
通 过 以上 的探究 ， 椭 圆与 圆 的知 识建 立 完 美 的解
３ ）极 限 思 想 ， 知 识 串联
Ｇ・ 波利亚 说 过 ： “ 类 比是 一个 伟 大 的引 路 人 ” ． 我
们 这 时引导学 生 ， 然后 提 问 ： 椭 圆 的极 限位 置 是 圆 ， 此 性质 可 以类 比圆中什 么性 质 呢？ 让学 生 分组 探 讨 ， 进
行类 比与归 纳 ． 再 引导 类 比圆 中的性 质 ， 可 以引 申 出
学生课 后进 行探 讨． 我们要 学会 探究 中发 现 问题 与 解 决 问题 ． 那 么 怎 么发 现 问题 呢？我们 要给 自己多 问 几个 “ 为什 么 ” ， 对
—１上任 意 一 点 Ｐ 与 过 中 心
的弦 ＡＢ 的两 端 点 Ａ、 Ｂ连线 Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ 与对 称 轴 不 平
Ｏ Ｍ 与直 线 ＡＢ 的斜率 之积 为定值 ．
证 明 如 右 图 ， 连 接 Ａ０
Ｊ
我们 可 以通过 例题 ， 引 导学 生进 行 大胆 猜 想 与合 情 推
理， 发 展他们 发 现 问题 的能 力． 针 对 以上 例 题 的答 案 为椭 圆方程 ， 学生 不禁 会 问一般 的椭 圆是 不 是都 有 这 样 的性 质 ？
一 １ ， 要＋ 一 １ ， 两式 相 减得
释． 学 生欣喜 之余 ， 进入 深 深沉 思 中． 学 生提 问 双 曲线
中是 否有类 似 的性质 ？
我们 可 以先与 学生 一起 来探 究 一 个特 殊 的 问题 ，
归纳 出方 法 ， 再 引 申出一 般性 的命题 ．
例 ２ 椭 圆Ｘ ２ ＿ 广 ｙ
百
２
猜想 ２ 将椭 圆改 为 双 曲线 ， 命 题 是 否成 立 ？让