一类半线性椭圆型方程的可解性
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一
（ ２）
显然
（） ｘ为
子＇
’由
ｃ ＝ｔ ｏ
．
２
㈩
Ｌ＇（） － ｘ ａ
因为
ｃ～
．
以
又 ∽为 磁 陛 子 Ｎｃ ｌ所 ｛ｌ ） ｝ 紧 算 ， ｏ＿ ， 以 Ｌ （ｏ －ｘ ａｃ
为 紧 必 话 过 子 可 ｆ 【１ 上口） 敛。 以 列 集， 要的 通 取 列， 得ｆ ０ ０】 ＿（ 收 所 ｃ∈， ｌ０１ｘ ∈ ，， ｏ Ｂ 且Ｉ ＝。－ ｏ ． Ｊ － ￣
第一 特征 值 。
证明 设 ＝ｃ 历） 中所有非负 ， （ ， 且在 加 上为零的函数构成正锥 Ｂ 且 Ｂ为 的闭凸集 。作算子 ，
Ｔ Ｂ ：Ｂ ，使得“ Ｂ，Ｔ ＝Ｌ ａｘｕ Ｌ （，） ∈ ｕ － （） ＋ － ｘ材，这里 ＝ 一Ｘ ｆ （Ｉ一为紧正算子。从而 ：Ｂ Ｂ为紧正算 ）
第 ２ 卷第 ５ｉ ｈ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｑｉａｒ ｏＱ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖｏ１ ， ． ． Ｎｏ５ ２７
２ １ 年 ９月 ０１
Ｓ ｐ，０１ ｅ． ２ １
一
类 半 线 性 椭 圆型 方 程 的可 解 性
金 启 胜
卜 丑 ＋ｉ Ｉ ＝ｅ “Ｉ ＿ Ｓ ｘ ｎ ∈
【 ０ Ｕ ， ∈
（ ６ ）
则口 ） ｅ一 Ｃ一，ｘｚ ｆｘ ） Ｉ ｌ 各 元连 且０ 厂 ） ， （ｕｅ × 又 ＠＝ 一 （）（ Ｏ， （“＝ ｉ 关于 变 续， ≤ （“ Ｓ ａ） ２ ， ｓ ｎ ， １ｖ ， ． Ｒ， ｘ ）Ｏ
ｌ （一 ） 口） 一 ） 十 厂 ， － （ ２（一 ） ａ ｌ ｉ。 Ｄ 出： （（ ［ｘ ）ｆ ，） （ 。 （ ｘ ］。 ｂ ｕ ｃ
（） ４
］ｔ ｘ ） 甜 调 ［２ （ｕ－ （ ］ 一： ｏ 于 从 ４ 利 ｏｃｅ 式 ［－ （“ 于 单 减， １ ｆ ，）ｆ ，） “ ， 是 式 （） 用Ｐｎｒ 等 得 ￣ ，关 ｊ ｆ ｉ Ｉ ｆ￣ ｘ ， ｘ （ ） ｉａ 不
在 自然科学 、社会科学方面 出现 的很多现象能够用半线性椭圆型方程描述 ，因而引起许多数学工作者
对这类 问题研 究 的兴趣 。本 文利用 不 动 点理 论探 讨半 线 性椭 圆型 方程
ｆＡ ＝ （） ＋ （，） ∈ － ｕ ａｘｕ ｆ ｘ“， ． ｘ
Ｉ “＝０ ， ∈ｏ ｎ
的可解性 。 中 ｃＲ 有 界光 滑域 ， （ ） ｃ（ ， ａｘ ｏｆ（，） 于各 变 元 连续 ， 设存 在常 数 ｃ ｏ 其 为 口 ∈ ） Ｒ （ ） ， ｘ 关 假 ＞，
收 稿 日期 ：２ １ 一 ５ ｏ ０ ｌ０一 ４ 作 者简 介 ：金 启胜 （ ９２ ，男 ，安徽 桐 城人 ，副教 授 ，硕 士 ，主要 从事微 分 方程研 究 ，ｊ ｑｓｅｇ Ｏ８ ｙ ｈｏｃ。 １７ 一） ｉ ｉ ｎ２Ｏ ＠ ａｏ． ｎ ｈ ｎ
・
８ ２・
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｒ 一个 数， 得 ＝ 的 为 正常 使 满足 Ｒ 任意“ Ｂ 有 ≠Ｔｕ Ｏ ｔ ， 有一 ∈ ， ｔ ） ＜ ｌ则 （， 个不动 ∈ ， ｌ － 。 点 Ｂ ｉ＜ ｄ Ｒ
定 １ 若 ） ， 题 （ ） 理 ｌ 则问 １ 存在一 界正 其中 Ｉ ＜ 个有 解。 为Ｄ ｉｉ 条件 Ａ 子在 ｉ ｈｔ 下一 算 里的 ｒ ｅ ｃ
｝ Ｉ 。 一） （
２ 应用举例
例 １ 考察 问题
（ ≤ （ｌｕ ｕ 一 ） Ｉ ＞ ｌ－ ｝ ） ： （ ￣ｌ ｌ２ ｘｇ
｛ ｛ 。 ：出 一 ）
（） ５
‘
因 ８ ＜ 从 ５知 ｊ ｚｊ ＝ ， ｕ ＝２ ＝ ， －２ 为 Ｉ （ ， 式（） Ｌ （一２ｄ ０ ｔ ） ｚ加 ｏ 知 － 。 Ｄ ，２ ）ｘ ￣ Ｉ ， Ｊ １ ２
子。
再证 Ｔ满足 引理 的条 件 ，采 用 反证 法证 明。
若７ 满 引 条 则 在｛） ［ｌ Ｂ Ｉ０ ∞ ＋） 使 １ 足 理的 件， 存 ｃｏ】 不 ， ｃ ，ｌ ＋（ ｏ， 得 ， Ｕ ｎ ｏ
ｎ ＂ （ ＝ｔ －ａｘｕ 州 － （ ， ） 、 ） 。（） Ｈ ｘ Ｌ ｆ Ｌ
２ １ 拄 ０１
（） 边 极 得 ｔ ） 故 ｃ ０ 这 ０Ｉ１ 盾 所 满 引 的 件 于 一 ３两 取 限 ＝ Ｌ （ ｏ 口 ， ｏ ， 与％ｌ 矛 。 以 足 理 条 ， 是 有 － ｏ ＝
个 不 动点 甜∈Ｂ， 且 Ｒ， Ｒ为 正 常数 ，即 ＝ － （） ＋Ｌ ｘ ） Ｌ。 ｘｕ － ， 。从 而 为 问题 （ ） ａ ｆ（ １ 的解 ，且解 有界 。
定 理２ 若 ） ， （ 关 减， 题 （ ） 解唯 其中 ｌ ＜ 且／ ） 于 单调 则问 １ 的 一。 为Ｄ ｉｌ条 ， ｉ ｈｔ 件下一 ｒ ｅ ｃ △
算子在 里的第一特征值仁 。
证 明 ： 为何 ，财有 ，
将两方程相减后乘上 （ “） 一 ，并在 上积分得
使得 Ｏ ｆ ｘ ） ， （，） （， ≤ｃＶ ｘ ∈ｎ × １ 同时举 出实 例 验证研 究 结果 的正 确性 。 Ｒ１ １ ￣
ｌ 主要 结 果 及 证 明
引理 （ 不动点定理 ） 设 是一个 Ｂ ｎｃ 空间， ａ ａｈ Ｂ是 Ｘ的一个闭凸子集 ， 若 是 Ｂ到 Ｂ的一个映射 ，
（ 庆职业技术学院 ，安徽 安庆 ２ ６ ０ 安 ４ ０ ３）
摘要 ：利用 不动点理 论探讨半线性椭 圆型方程的可解性 ，得 出了 ２个结论并举 出实例说明结果 的可行性 。
关 键 词 ：椭 圆 型 方程 ；不 动 点 ；算 子 中 图分 类 号 ：Ｏ ７ ．１ １７ ９ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １０ — ８Ｘ（ １）５ ０ ８— ３ ０ ７ ９ ４ ２ ０ — ０ １０ ０１
（ ２）
显然
（） ｘ为
子＇
’由
ｃ ＝ｔ ｏ
．
２
㈩
Ｌ＇（） － ｘ ａ
因为
ｃ～
．
以
又 ∽为 磁 陛 子 Ｎｃ ｌ所 ｛ｌ ） ｝ 紧 算 ， ｏ＿ ， 以 Ｌ （ｏ －ｘ ａｃ
为 紧 必 话 过 子 可 ｆ 【１ 上口） 敛。 以 列 集， 要的 通 取 列， 得ｆ ０ ０】 ＿（ 收 所 ｃ∈， ｌ０１ｘ ∈ ，， ｏ Ｂ 且Ｉ ＝。－ ｏ ． Ｊ － ￣
第一 特征 值 。
证明 设 ＝ｃ 历） 中所有非负 ， （ ， 且在 加 上为零的函数构成正锥 Ｂ 且 Ｂ为 的闭凸集 。作算子 ，
Ｔ Ｂ ：Ｂ ，使得“ Ｂ，Ｔ ＝Ｌ ａｘｕ Ｌ （，） ∈ ｕ － （） ＋ － ｘ材，这里 ＝ 一Ｘ ｆ （Ｉ一为紧正算子。从而 ：Ｂ Ｂ为紧正算 ）
第 ２ 卷第 ５ｉ ｈ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｑｉａｒ ｏＱ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ
Ｖｏ１ ， ． ． Ｎｏ５ ２７
２ １ 年 ９月 ０１
Ｓ ｐ，０１ ｅ． ２ １
一
类 半 线 性 椭 圆型 方 程 的可 解 性
金 启 胜
卜 丑 ＋ｉ Ｉ ＝ｅ “Ｉ ＿ Ｓ ｘ ｎ ∈
【 ０ Ｕ ， ∈
（ ６ ）
则口 ） ｅ一 Ｃ一，ｘｚ ｆｘ ） Ｉ ｌ 各 元连 且０ 厂 ） ， （ｕｅ × 又 ＠＝ 一 （）（ Ｏ， （“＝ ｉ 关于 变 续， ≤ （“ Ｓ ａ） ２ ， ｓ ｎ ， １ｖ ， ． Ｒ， ｘ ）Ｏ
ｌ （一 ） 口） 一 ） 十 厂 ， － （ ２（一 ） ａ ｌ ｉ。 Ｄ 出： （（ ［ｘ ）ｆ ，） （ 。 （ ｘ ］。 ｂ ｕ ｃ
（） ４
］ｔ ｘ ） 甜 调 ［２ （ｕ－ （ ］ 一： ｏ 于 从 ４ 利 ｏｃｅ 式 ［－ （“ 于 单 减， １ ｆ ，）ｆ ，） “ ， 是 式 （） 用Ｐｎｒ 等 得 ￣ ，关 ｊ ｆ ｉ Ｉ ｆ￣ ｘ ， ｘ （ ） ｉａ 不
在 自然科学 、社会科学方面 出现 的很多现象能够用半线性椭圆型方程描述 ，因而引起许多数学工作者
对这类 问题研 究 的兴趣 。本 文利用 不 动 点理 论探 讨半 线 性椭 圆型 方程
ｆＡ ＝ （） ＋ （，） ∈ － ｕ ａｘｕ ｆ ｘ“， ． ｘ
Ｉ “＝０ ， ∈ｏ ｎ
的可解性 。 中 ｃＲ 有 界光 滑域 ， （ ） ｃ（ ， ａｘ ｏｆ（，） 于各 变 元 连续 ， 设存 在常 数 ｃ ｏ 其 为 口 ∈ ） Ｒ （ ） ， ｘ 关 假 ＞，
收 稿 日期 ：２ １ 一 ５ ｏ ０ ｌ０一 ４ 作 者简 介 ：金 启胜 （ ９２ ，男 ，安徽 桐 城人 ，副教 授 ，硕 士 ，主要 从事微 分 方程研 究 ，ｊ ｑｓｅｇ Ｏ８ ｙ ｈｏｃ。 １７ 一） ｉ ｉ ｎ２Ｏ ＠ ａｏ． ｎ ｈ ｎ
・
８ ２・
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｒ 一个 数， 得 ＝ 的 为 正常 使 满足 Ｒ 任意“ Ｂ 有 ≠Ｔｕ Ｏ ｔ ， 有一 ∈ ， ｔ ） ＜ ｌ则 （， 个不动 ∈ ， ｌ － 。 点 Ｂ ｉ＜ ｄ Ｒ
定 １ 若 ） ， 题 （ ） 理 ｌ 则问 １ 存在一 界正 其中 Ｉ ＜ 个有 解。 为Ｄ ｉｉ 条件 Ａ 子在 ｉ ｈｔ 下一 算 里的 ｒ ｅ ｃ
｝ Ｉ 。 一） （
２ 应用举例
例 １ 考察 问题
（ ≤ （ｌｕ ｕ 一 ） Ｉ ＞ ｌ－ ｝ ） ： （ ￣ｌ ｌ２ ｘｇ
｛ ｛ 。 ：出 一 ）
（） ５
‘
因 ８ ＜ 从 ５知 ｊ ｚｊ ＝ ， ｕ ＝２ ＝ ， －２ 为 Ｉ （ ， 式（） Ｌ （一２ｄ ０ ｔ ） ｚ加 ｏ 知 － 。 Ｄ ，２ ）ｘ ￣ Ｉ ， Ｊ １ ２
子。
再证 Ｔ满足 引理 的条 件 ，采 用 反证 法证 明。
若７ 满 引 条 则 在｛） ［ｌ Ｂ Ｉ０ ∞ ＋） 使 １ 足 理的 件， 存 ｃｏ】 不 ， ｃ ，ｌ ＋（ ｏ， 得 ， Ｕ ｎ ｏ
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２ １ 拄 ０１
（） 边 极 得 ｔ ） 故 ｃ ０ 这 ０Ｉ１ 盾 所 满 引 的 件 于 一 ３两 取 限 ＝ Ｌ （ ｏ 口 ， ｏ ， 与％ｌ 矛 。 以 足 理 条 ， 是 有 － ｏ ＝
个 不 动点 甜∈Ｂ， 且 Ｒ， Ｒ为 正 常数 ，即 ＝ － （） ＋Ｌ ｘ ） Ｌ。 ｘｕ － ， 。从 而 为 问题 （ ） ａ ｆ（ １ 的解 ，且解 有界 。
定 理２ 若 ） ， （ 关 减， 题 （ ） 解唯 其中 ｌ ＜ 且／ ） 于 单调 则问 １ 的 一。 为Ｄ ｉｌ条 ， ｉ ｈｔ 件下一 ｒ ｅ ｃ △
算子在 里的第一特征值仁 。
证 明 ： 为何 ，财有 ，
将两方程相减后乘上 （ “） 一 ，并在 上积分得
使得 Ｏ ｆ ｘ ） ， （，） （， ≤ｃＶ ｘ ∈ｎ × １ 同时举 出实 例 验证研 究 结果 的正 确性 。 Ｒ１ １ ￣
ｌ 主要 结 果 及 证 明
引理 （ 不动点定理 ） 设 是一个 Ｂ ｎｃ 空间， ａ ａｈ Ｂ是 Ｘ的一个闭凸子集 ， 若 是 Ｂ到 Ｂ的一个映射 ，
（ 庆职业技术学院 ，安徽 安庆 ２ ６ ０ 安 ４ ０ ３）
摘要 ：利用 不动点理 论探讨半线性椭 圆型方程的可解性 ，得 出了 ２个结论并举 出实例说明结果 的可行性 。
关 键 词 ：椭 圆 型 方程 ；不 动 点 ；算 子 中 图分 类 号 ：Ｏ ７ ．１ １７ ９ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １０ — ８Ｘ（ １）５ ０ ８— ３ ０ ７ ９ ４ ２ ０ — ０ １０ ０１