[数学]工程流体力学

积分得：
u2 p z C 2g g
C为积分常数，在整个流场中取同一值。
二、伯努里方程的物理意义
上式表明单位质量流体的总能量（动能、 势能和压能的总和）在同一流线上守恒，如图 示。
例 1 ：常用皮托管 测量流速，皮托管测 速原理如图示，如果 被测流体为不可压缩 流体。
根据伯努里方程有：
2 2 u1 p1 u2 p2 z1 z2 2g g 2g g






u y u y 1 2 2 2 u z u z u u ux u y uz i u y i uz i ux j ux k 2 x x x x x u x u x 1 2 2 2 u z u z ux u y uz j ux j uz j uy i uy k 2 y y y y y u y u y u x u x 1 2 2 2 ux u y uz k ux k uy k uz i uz j 2 z z z z z
例2：已知不可压缩流体水平面上作有势流流 动，在X方向上的速度分量为ux=yt-x，且在x ＝y＝o处，ux=uy=0，p＝p0。试求t＝o时流场 的压力分布。
§5.2 理想流体的伯努里方程
一、伯努里方程
当理想流体的压强仅与密度有关时，我们称 它为理想正压流体。理想正压流体在有势质量力的 作用下，其运动方程在定常及无旋两种特殊情况下 可以积分出来。理想流体运动方程： 1 u 1 2 u u u F p t 2






1 2 u y u x u x u z i u u u u u y z x 2 y z x u z u y u y u x u z y z u x x y j u x u z u z u y k u u x y z x y z 1 2 u u u 2
duz p Fz dt z
du F p dt
1 du F p dt
在第三章，介绍欧拉法描述流体运动时， 我们知道其加速度为：
du u u u dt t
其中：
u u u x u x i u y j u z k u y u x i u y j u z k x y uz uxi u y j uz k z
式中， z1=z2 ，且在第 2 点处 u2=0 。根据静压平 衡原理，有 p2 p1 m gh ，故：
2 m gh 2 p2 p1 u1
三、总流伯努里方程
在同一过流断面上各点的速度不一定相同。 因此，上式适合于流束而不适合总流，总流是 由无限个流束组成的，对每个流束进行积分即 可得出实际流体总流能量方程式。 设微小流束的流量为 dQ，单位时间内通过 微小流束任何过流断面的流体重量为 ρ gdQ ， 将适合于流束的伯努里方程各项乘以 ρ gdQ ， 在总流的两个过流断面积分，即：
当理想流体为不可压缩均质流体时，则：
p p 1
当质量力仅为重力时，则： F gz
运动方程具有以下形式：
1 2 u p u gz u u 0 t 2
当流体为理想、均质不可压、质量力仅为 重力且运动为定常时，上式变为：
因此，理想流体的运动方程写为：
p du u 1 2 u u u F dt t 2
例： 巳知流体流动的速度为：
2 2 u y 6 xy 3 yz ux 3x 2xy y uz z 3 xy2
2
质量力仅有重力，求流体质点在（2，3，1） 位置上的压力梯度。采用ρ=1000kg/m3, g＝ 9.8m/s2。
沿流线积分得：
1 2 p u gz C 2
C为积分常数，沿同一流线取相同值，不同流线 取不同的值，这就是伯努里方程。伯努里方程 写成：
u2 p z C1 2g g
当流体为理想、均质不可压、质量力仅为 重力、定常且无旋时，运动方程写成：
1 2 p 2 u gz 0
1 2 p u 0 u gz u 2
பைடு நூலகம்
将等式两端点乘流线上任意点的切线方向的单 u 位矢量 s u ，得：
1 2 p s 2 u gz s u u 0 1 2 p u gz 0 s 2
工程流体力学
主讲: 冯 进
长江大学机械工程学院
§5 理想流体动力学
假设存在一种流体，其粘度为零，该流体 称为理想流体。客观上是不存在这种流体的，
但当流体的粘度非常小且对运动过程的影响可
以不考虑时，可以把它当理想流体处理。
§5.1 理想流体运动方程
dux p Fx dt x
duy p Fy dt y