关于高阶线性微分方程的一般解法

关于高阶线性微分方程的一般解法

林文业

湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 (本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表)

摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式. 关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法

一. 简单规定

本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m 、n 、k 为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记:

n n dx x f dx dx dx x f ))(())))((((⎰=⋯⎰⋯⎰⎰

n

重 n

重

以下“…”号均表示n 重

2

)

())((

)

)()))()()((()(()(n n

n

n

n n n

n n

dx x p dx dx dx x p x p x p ⎰⎰⎰⎰=⋯⋯

n x

x n

n t x t x x

x dx x f dt dt dt t f n ))()(())))((((01

1

1100⎰⎰⎰

⎰=⋯⋯--

2

)())((

))()))()()((

()((

)(n n x

x n

n

n

n x

x n

x

x n

x

x n

dx x f dx dx dx x f x f x f ⎰

⎰

⎰

⎰

=⋯⋯

二.预备定理及推论

预备定理1: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,都有

)()(x g x f ≤,则

11001100))))(((())))((((1

1

1

1

--⋯⋯≤⋯⋯⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

--n t x t x x

x n t x t x x

x dt dt dt t g dt dt dt t f n n

b x x a ≤≤≤0

预备定理2: 若函数)(x f 在区间[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上也可积,且

11001100))))(((())))((((1

1

1

1

--⋯⋯≤⋯⋯⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰

--n t x t x x

x n t x t x x

x dt dt dt t f dt dt dt t f n n

b x x a ≤≤≤0

预备定理3: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且m x f ≤)(,0>m ,则

1

10011000))))(((())))()((((1

1

1

1

--⋯⋯≤⋯⋯⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰--n t x t x x

x n t x t x x

x dt dt dt t g m dt dt dt t g t f n n

b x x a ≤≤≤0

推论: 若b x x a ≤≤≤0,0＞α,则

)()

(00

1

)(x x n

n x x x x n

e dx e

--≤

⎰

ααα

证明: 当0=n ,或0x x =时,不等式显然是成立的.现在考虑0≠n ,0x x ≠的情形.

当1=n 时, )()()()

(00000

1

11

/1

)(x x x x x x x x x x x x e ＜e e dx e -----=

=

⎰

ααααα

αα

α

即

)()

(00

1

)(x x x x x x e dx e --≤

⎰

ααα

(2.1)

当2=n 时,由预备定理1同理得

)

(2

2)

(2

00

1

)(x x x x x x e dx e

--≤

⎰

ααα

(2.2) 一般地假设当1-=m n 时,有

)(1

1)

(100

01

)(x x m m x

x x x m e dx e

-----≤

⎰

ααα

(2.3)

由预备定理1同理得

)

()

(00

1

)(x x m

m x x x x m

e dx e

--≤

⎰ααα

(2.4) 由开始考虑的情况及(2.1) 、(2.2) 、(2.3)、 (2.4),根据数学归纳法,得对一切n 为自

然数都有

)()

(00

01

)(x x n

n x x x x n

e dx e

--≤

⎰

ααα

0,0＞b x x a α≤≤≤ 证毕

二. 解法基本定理

定理1: 若函数)21)((n ，，

i x p i ⋯=在区间[]b a ,上连续,且)(0x y 在[]b a ,上有连续的n-1阶导数,那么函数项级数

n i n m x

x n

i i m n

dx y

x p y )()()

(111

00

--=∞

=⎰∑∑+ b x x a ≤≤≤0 (3.1)

n i n m x x

n i i m n

dx y

x p y )()()(11

1

00--=∞

=⎰∑∑

+ b x x a ≤≤≤0 (3.2)

分别在区间[]b x ,0、[]0,x a 上一致收敛.

证明: 首先证明(3.1).由于)21)((n ，，

i x p i ⋯=在区间[]b a ,上连续,所以 ξ≤)(x p i 0＞ξ ),,2,1(n i ⋯= (3.3)

又由于)(0x y 在[]b a ,上有连续的n-1阶导数, 所以

η≤-)()

(0x y i n 0＞η ),,2,1(n i ⋯= (3.4)