无限时滞抽象泛函微分方程的mild解

（ ｏ， ］ 的 Ｅ值 函数 ， 果 （）∈Ｄ（ 一。 Ｔ 上 如 ｔ Ａ）． 且
满 足积 分方 程
，ｔ
本文 在 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空 间 中 ， ／满 足 局 部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ
（ ： ）（ ＋。（ 』（０ ０ Ｊ ） ， ）
（） ｔ∈ （ 。 ０ ｆ， 一。 ，］
）＝ （ ） ｔｘ） ≥ ０ （ ） （）＋ ，ｔ ， １
【 ｏ＝
构成 一个 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空 间 ， 果称 空间 如 ）为 一 个 允 许 相 空 间 ， 满 足 下 列 则
的 ｍｉ ｌ ． 这里 ， （）是 发展 系统 （ ，）的 ｄ解 在 ｔ ｔＳ
无 穷小 生成元 ．
ｏ≤ ≤ ｔ
ｌ （， ）－ ）Ｉ≤Ｎ（，） ｝ — ）＋ Ｉｔ ｆ （ ｆ ， ｛ ｔ （ ｔ １ ｒ
ｌ 一 ｛ ｌ ｌ ，Ｖ ｌ ｌ ｒ ｌ ｌ ｒ ｌ ｌ≤ ，ｌ ｌ≤
Ｊｏ
＾
Ｉ （ ｓ （ 一丁 …）ｓ１ ，，ｓ ， ｄ 十 ｕ ） Ｉ
故若令 Ｋ １＝０≤ ｆ《 Ｉ ｒ Ｍ１＝０≤ Ｔ≤ ｌＭ（ ）， ＝ ｍｘ ａ Ｋ（ ）， 一 ｍａ ｒ Ｎ ｘ
ｍ ｘ ｔｒ ｔ １， ａ Ｎ（，）， ≤ 则有 Ｉ Ｉ 。≤ （ ＋ ｝ （ ）Ｉ） ＋ Ｉ Ｊ ｈ Ａ Ｉ ０ ｊＫ
［ ］ 晓琳． ２初 带无限 时滞的抽 象泛 函微 分方程 的解［ ］ Ｊ．
ＺＨＯＵ ，ＲＥＮ ｉ ｎ Ｌｉ Ｌ ａ ｇ—ｙｎ ｉ ｇ，ＤＵ ｕ—ｗｅ Ｈｏ ｉ
（ ｅ ｔ ｆ ｐ ｆ ｄＭａｈ ｎｖ ｒｉ ｆＴ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｃｈ ｎ ｄ ￣ ｕ ｎ６ １０ ９， ｉａ Ｄ ｐ．ｏ Ａ ｐ ｅ ｉ ｔ，Ｕ ｉ ｓｙｏ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｅ ｔ ｅ ｇ ｕＳ ｈ ａ １０ ５ Ｃｈｎ ）
＝
一
≤ Ａ， 一 旷 ｈＩ ＿ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｓ ’（ ） 定义 。 Ａ ，
｝，
则 Ｓ叩 （ Ａ）是 日 的 一 个 闭 凸 子 集． ｈ ∈
（） ：Ｖ，（＋ 声ｓ）下 ［ ； （ 』ｔ ０ Ｊ ∈ ７ （）） 。 ） ０ ， ０ ］
氅 一∞’． （） ∈（ 一］ 丁， ０
四 川 大 学 学报 ： 自然 科 学 版 ，９７ ３ ：７ ５０ １９ ，４ ５ ６— ８ ． ［ ］ ａ ， ａ ．Ｐ ａｅｓａｅ ｏ ｒｔ ｄｄｅ ｕｔｎ ｉ ３ Ｈ ｌ Ｊ Ｋ ｔ Ｊ ｈｓ ｐｃ ｒｅ ｒｅ ｑ ａｏ ｓ ｍ ｅ ｏ ｆ ａ ｉ ｗ ｉ ｎｔ ｄｌ ［ ］Ｆ ｎｉ ｋａ．９ ８ ２ ：ｌ ４ ． ｒ ｉ ｅ ｙ Ｊ ． ｕ ｃ Ｅ ｖｃ１７ ， Ｉ １ 一 １ ｔ ｅ ａ ｉ ｆ ｌ ａ ［ ］ ａｙＡ Ｓｍｇｏｐ ｆ ｉ ｒ ｐｒ ｏ ａｄＡ ｐｉ ｔｎ ４ Ｐｚ ． ｅ ｉ ｕ ｓ ｎ ｅａ ｒ ｎ ｐｌａｉ ｓｔ ｒ ｏＬ ｅ Ｏ ｔ ｃ ｏ ｏ ｐｔ ｉｅｅｔ ｌ ｑａｏｓＭ］Ｓｒ ｇｒ Ｖ ｄｇ １８． ａａ ｄ ｆ ｎｉ ｕｔｎ［ ．ｐ ｎｅ — ｅ ａ， ９３ ｉ ｆｒ ａｅ ｉ ｌ ｉ
一
，
（ ）在 Ｂ中连续． ０
．
ｆ ｔ （）＝Ａ （）＋ ｆ ） ｔ … ｘ ｔ ， ， ≥０
（２ Ｈ ）存 在 为 常 数 ， 得 对 于 Ｖ ・ ∈ 使 （ ）
，
１。： ∈
其 中－满 足局 部 Ｌｐｃ ｉ 条 件 ， 厂 ｉｓｈｔ ｚ 其基 本 结 果是 非
ｆ
则 Ｖ ∈Ｂ， 在 ｔ ， 存 ＞０使得 （） ［ ，） １ 在 ０ 上可解．
证明 Ｖｔ＞０ 记 Ｂ ， ＝｛ ： 一∞，］ Ｉ （ ｈ ｔ一
≤
ｆ （， （ ， 一 一 ）ｓｆ ｒ ） ｓ Ｕ ） ／ｓ ， ｄ ｆ
Ｕ ｔ０ （ ）一 （ ）ｌ （ ， ） ０ ０ Ｉ＋
象泛 函微 分 方程 的 ｍ ｌ 的存在 唯 一性 ． ｉ ｄ解
［ 键词］ 关 发展 方程 ； 限时滞抽 象泛 函微 分 方程 ； ｌ 无 ｍｉ ｄ解 ［ 图分 类号 ］ １ ５ ［ 中 ０７ 文献标 志码 ］ Ａ ［ 章编 号 ］ ６ ３—８ １ （ ０ ０ ０ ０ ２ ０ 文 １７ ０ ２ ２ １ ）５— ０ １— ２
线性 泛 函微分 方 程 解 的指 数 稳 定 性 可 由解 的有
界性 及线 性部 分 的指数 稳定 性推 出．
有 Ｊ ０ Ｉ≤ Ｋ Ｉ 。 ｌ ）ｌ （ Ｉ ） （
．
（ ３ 存 在 ［ ， ） 的正值 连 续 函数 Ｋ ｔ Ｈ ） ０∞ 上 （） 和局 部有 界 的正 值 可 测 函数 Ｍ（）使 得 对 任 一 ｔ
。
１ 一 ０可 知 ， ） 存在 某个 ｔ （ ， ］ 使得 ，∈ ０ １ ，
ｍ ｘ ｌ Ｐｈ （ （）ｌ Ａ ａ （ ，） ）一 ０ Ｉ≤ ，Ｖｔ∈［ ， ］ （ ） ｌ ０ｔ ８ 。
即 ｐ Ｓ ． （ ） 。 Ａ） （ 。ｌ Ａ ）ｃ Ｓ 山 （ ． ｒ 对 于 Ｖｈ， ｇ∈ Ｓ 。‘ Ａ 。 ’ （ ）有 ｌ（ ｈ （－ ＪＰ ）７ ）一（ ） Ｊ ． （） ｒ
（） ４
ｍ ｘ ｌ（ ｈ （ ａ ｆ Ｐ ） ）一（ ｇ （－）ｌ Ｐ ）７ Ｉ ） 一ｇＩ ． Ｊ
‘
ｕ 毛 ｆ 毫 ｉ
≤ （“ 一１ Ｎ ｅ ）
Ⅲ
（） ９
由（ ） ，（ 。 （ ）ｃ Ｂ． 肌 知 ｐ ｓ 。川 Ａ） ’
故存在 ０≤ ｔ 。≤ ｔ， 得 Ｖｔ∈ ［ ， ］Ｐ为 使 ０ｔ ， 。
ｌ ８ ２ ２）： ９ ９， （ １—６ ．
因此 ， ａ （ ｈ （ ）一 （ ）『 ｘ ｌ Ｐ・ ） 丁 ０ ｌ ｆ
Ｔｈ ｉｄ ｓ ｌ ｉ ｎ ｆ ａ ｓ ｒ ｃ ｕ ｃ ｉ ｎａ ｉ ｒ ｎｔａ ｅ ｍ ｌ ｏ ｕｔｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｔ ｆ ｎ ｔｏ ｌｄ 仃ｅ ｅ ｉ ｌ ｅ ｕ ｔｏ ｓ ｗｉｈ ｎ ｎ ｔ ｅ ａ ｑ ａ ｉ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉｅ ｄ ｌ ｙ ｉ
定义 １ 设 （Ｅ，ｌ Ｉ 为 实 Ｂ ｎｃ ｌ・ １） ａ ａｈ空 间 ， Ｂ是 （ 一∞ ， ］ Ｅ值 函数 的一个 线性 空 间 ， ０ 上 并按 范数 Ｉ ｆ・ （ １． Ｂ，Ｉ
公理：
１ 引 言 及 预 备 知 识
本文考 虑无 限 时滞 的抽象 泛 函微分 方 程 ：
Ｊ ）＋ （ ｆ ｆ ｒ， ≥０ － ４ ｆ （）＝ ， ） ｆ ｒ 、 ）
【 。＝
其 中 ＿满 足 整 体 Ｌｐｃ ｉ 厂 ｉｓｈｔ 件 ， 给 出 了方 程 ｚ条 并
（） ３ 的广 义解 的存 在唯 一性 ．
定 义 ２ 设 Ｔ ＞ ０， （）是 一 个 定 义 在 ｔ
ｓｓ ０ ）， ， ｄ ≥
条 件下 ， 讨论方程 （ ） ｍ ｌ １的 ｉ ｄ的存在 唯一性 ．
在公 理 化相 空 间 中讨 论 无 限时 滞 的思 想 方 法是 上世 纪 ７ ０年 代 末 由 Ｊ Ｋ Ｈ ｌ ．．ａ ｅ和 Ｊ Ｋ ｔ ．ａ ｏ
则称 （ ）为 （ ） ［ ，］ 的 ｍ ｌ ． ｔ １在 ０ｔ 上 ｉ ｄ解
等人 提 出的 ， 方法 的诞 生极 大 地促 进 了它 的发 此
展 ． 特 点是 问题 的讨论 能 在抽 象 的情 况 下得 以 其 广 阔的发 展 ， 产 生 的结 果具 有 广泛 的适 用性 ． 所
［ 稿 日期 ］０ ０一ｏ 收 ２１ ４—２ ９
２ 结 果 及 证 明
定理 １ 设 厂满 足 局 部 Ｌｐｃｉ ｉｓｈｔ ｚ条件 ， 存 即
０ｅ． ． ２ ｌ ｔ ００ Ｖ０ ． ９ Ｎ ． １２ ｏ ５
无 限 时 滞 抽 象 泛 函 微 分 方 程 的 ｍｉ ｌ ｄ解
周 丽 ， 亮英 ， 厚 维 任 杜
（ 都 理 工 大学 成 应用 数 学 系 ，四川 成都 ６０５ ） １０ ９
［ 摘
要 ］ 据发展 方程理 论 ， 满足 基 本公 理 的抽 象相 空 间 中， 究一 类 具 有 无 限 时滞 的抽 根 在 研
（ ） Ｏ ＨＩ 设 ｒ ｏ＞Ｏ， ｔ 映 （ ｒ （ ）是 一∞ ， ］到 Ｅ ｏ
的一个 映 射 ， 在 ［ 。ｏ］上 连 续 ， 且 ｒ Ｏ ，ｒ 若 （ ） ∈ ０
１９ ９ ４年 ， 进 和 肖体 俊 讨 论 了无 限 时 滞 的 梁
抽 象泛 函微 分方 程 ：
Ｂ， ０Ｖｔ ［ ｏｏ］ 有 （ ）∈Ｂ且 ｔ ［ ０ｏ］ 贝 ∈ Ｏ ，ｒ ， ｒ ０ ∈ ｏ， ｒ ｒ
５ （ Ａ）中的 压 缩 映射 ， 而 Ｐ在 ． （ 从 ｓ 。 Ａ）
根据 （ ） Ｖｈ ∈Ｓ （ ）及 ｓ∈ ［ ｔ ， ｍ ， 。 Ａ ０， 有 ］
ｈ ≤ （）ｓｐ ｓ ｕ
～
７ Ｉ＋ （） － ）『 ５
Ｕ… ｆ
中有 唯一 的不 动 点 ， 不 动 点 即 为 （ ）在 ［ ，］ 此 １ ０ｔ
２１ ０ ０年 １ Ｏ月 第２ ９卷 第 ５期
重 庆文 理 学 院学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｑｎ ｎｖ ｒ ｔ ｏ ｒ ｎ ｃ ｎ ｅ Ｎ ｔ ｒ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｏ ｇ ｉｇＵ ｉｅ ｉ ｆ ｔ ａ ｄ Ｓ ｉ ｃ ｓ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉ ｏ ） Ｃ ｓｙ Ａ ｓ ｅ ｌ ｎ ｉ
在一 个局 部 有 界 非 负 可 测 函 数 Ｎ（ ，） ＞０， ｔｒ 使
［ 作者简 介］ 周丽 （９ ４一） 女 ， １８ ， 山西忻州人 ， 在读研究生 ， 主要从事应用泛函分析方面的研究
２ｌ
得 Ｖｔ≥ ０有
≤ ｍ ｘｆＵ ｚ０ （ ）一ｅ（ ）Ｉ ａ （ ， ） ０ Ｉ ｏ Ｊ十
（） ｆ
１（ ｓ ｆｕ 一 ６Ｉ ＋ ） ＋ （） ｐｆ ｄ ｓ ｆ ｆｓ
一 ＋。 ｍａ ｘ
一
）ｌ） １．
（） ７
于是 ， 发展 系统 的强连续性 及 当 ｔ ＋ 时 ，ｅ 有 ＿０ （“
一
。 Ａ） ＝ ｛ ∈Ｂ ， Ｉ （ ） ０ ｌ ， （ ｈ ｍ Ｉ ｒ （ ）『 ａ ｘ
上 的解 ， 唯一性 由（ ） ９ 即得 ． （） ５
≤ （ ＋ Ｉ （ ）Ｉ） ｕＥ ）＋ Ａ ｌ ０ １ ｓ Ｋ（
ｓｐ （ ） ｕ ｒ ・
［ 参考 文献 ］
［］ １ 梁进 ， 体 俊． 限 时滞抽 象泛 函微 分 方 程 的 可解 性及 肖 无 稳 定性 ［ ］四川 大 学学报 ： Ｊ． 自然科 学版 ， ９ ，１８— ４ １ ４３ ： １． ９
ｌ ｛
ｓｐ ・ Ｑ ｓ∈ ［，］ ｕ 垒 ，Ｖ ０ｆ．
（） ６
因为 ｕ ｔｓ （ ，）是 由 Ａ（）生成 的双 曲型发 展系 统 ， ｔ 存在 ＞０ ∞ ＞０使得 ， Ｖｔ≥０，Ｉ （ ，）ｌ ｅ “ ， ｌ ｔｓ Ｉ≤
［］ ５ 何猛省． ｉ ｕ ｏ Ｌａ ｎｖ型定理及其 逆定理 ［ ］ 应用数学 ， ｐ Ｊ．
， ｆ
一
在［ ， 上连续， ｈ （ １ ）赋范数 ０ｔ ］ 且 ｆ ∈ ． 一
ｆ Ｉ ＝ｍ ｘ ｆ （ ）１ ｌ Ｂ ｈ『ｌ ａ ｛ｌ ｔ ｆ ｒ ． ｈ ｒ∈ ［ ， ｝ ｆ 一 ０ ， ０ｔ ＋ Ｉ ｆ ） ］ （ ｈ
则 按范数 『 ｉ 构 成 Ｂ ｎｃ 间． ｌ・『 ａ ａｈ空 ＶＡ ＞０和 ∈Ｂ， 令
满足 （ ） ＨＩ 的 ， 都有 Ｉ ｌ ｌ Ｉ Ｂ≤ Ｋ ｔ—ｏ）ｓｐ Ｉ （ ）ｌ （ ｒ ｕ ｌ Ｓ Ｉ＋
１９ ９ ７年 ， 晓 琳 讨 论 了 无 时 滞 的抽 象 泛 函 初
微分 方程 ：
Ｍ（ —ｏ）Ｉ ｔ ｒ ｌ
， ［ ， ｏ． Ｖｔ∈ ｏ ］ ｒ