一维热传导方程的前向 、紧差分格式

中南林业科技大学

本科课程论文

学院：理学院

专业年级：09信息与计算科学一班

课程：偏微分方程数值解法

论文题目：一维热传导方程的前向Euler和紧差分格式指导教师：***

2012年7月

学生姓名：唐黎学号： 20093936分工：程序编写，数值例子

学生姓名：何雄飞学号：20093925分工：格式建立，资料收集

学生姓名：汪霄学号：20093938分工：文档编辑，资料整理

学生姓名：毛博伟学号：20093931分工：公式编辑，查找资料

学生姓名：倪新东学号：20093932分工：数据分析，查找资料

学生姓名：何凯明学号：20093924分工：数据分析，查找资料

目录

1引言 (1)

2物理背景 (1)

3网格剖分 (2)

4．1.1向前Euler格式建立 (2)

4.1.2差分格式的求解 (4)

4.1.3收敛性与稳定性 (4)

4.1.4 数值例子 (7)

4.2.1紧差分格式建立 (10)

4.2.2差分格式求解 (12)

4.2.3数值例子 (13)

总结 (17)

参考文献 (18)

附录 (19)

1 引言

本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：

22(,),0,0,u u

a f x t x l t T t x

∂∂-=<<<≤∂∂

(,0)(),0,u x x x l φ=≤≤ (0,)(),

(1,)(),

0.u t t u t t t T αβ==<≤

其中a 为正常数，(,),(),(),()f x t x t t ϕαβ为已知函数，(0)(0),(1)(0).ϕαϕβ==

目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler 差分格式、向后Euler 差分格式、Crank-Nicolson 格式、Richardson 格式[1,2,3]．本文将给出前向Euler 格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．

2 物理背景

热传导是由于物体内部温度分布不均匀,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数(),,,u x y z t 表示物体在t 时刻,(),M M x y =处的温度,并假设

(),,u x y z 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数.(),,k k x y z =是物体在(),,M x y z 处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为(),,c c x y z =,密度为

(),,x y z ρ.根据Fourier 热传导定律,热量守恒定律以及Gauss 公式得

,u u u u c kx k k t x x y y z z ρ

⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫

=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 如果物体是均匀的,此时,k c 以及ρ均为常数.令2

k

a c ρ

=

,上式方程化为 2222

2222,t u u u u a a u x y

z ⎛⎫

∂∂∂=++=∆ ⎪∂∂∂⎝⎭

若考虑物体内有热源,其热源密度函数为(),,F F x y z =,则有热源的热传导方程为

()2,,,,t u a u f x y z t =∆+

其中F

f c ρ

=

.

3 网格剖分

取空间步长N l h /=和时间步长M T /=τ，其中M N ,都是正整数．用两族平行直线),1,0(N j jh x j ==和),,1,0(M k k t k ==τ将矩形域}0,0{T t l x G ≤≤≤≤=分割成矩形网格，网格节点为),(k j t x ．记),(k j k j t x u u =．以h G 表示网格内点集合，即位于开矩形G 的网点集合；h G 表示所有位于闭矩形的网点集合；h h h G G -=Γ是网格界点集合.

引进如下记号:

0max i i m

ω

ω∞

≤≤=，

ω=

1ω=，

1ω=

分别称为无穷范式（一直范式）2范数（2L 范数，平均范数），差商的2范数（差商的2L 范式）和1H 范式.

4.1.1向前Euler 格式建立

定义h τΩ上的网格函数

{0,0},

k i U U i m k n =≤≤≤≤

其中

(,),

k i i k U u x t = 0,i m ≤≤ 0 1.k n ≤≤-

在结点处考虑微分方程(3.1-1),有

22(,)(,)(,),

11,0 1.

i k i k i k u u

x t a x t f x t i m k n t

x ∂∂-=≤≤-≤≤-∂∂ (3.2)

将

224112241(,)[(,)2(,)(,)](,)12i k i k i k i k ik k u h u

x t u x t u x t u x t t x h x ξ-+∂∂=-+-∂∂

242

11

4

(,),12k x

i

ik k i ik i h u

U t x x x δξξ-+∂=-<<∂

和

2121(,)[(,)(,)](,)2i k i k i k i ik u u x t u x t u x t x t t τητ+∂∂=--∂∂

21

2

(,),2k

t

i

i ik k ik k u

DU x t t t

τηη+∂=-<<∂

代入(3.2),得到

224224

(,)(,)(,),212k

k t i

x

i

i k i ik ik k u

ah u

DU a U f x t x t t x τδηξ∂∂-=+-∂∂

11,0 1.i m k n ≤≤-≤≤- (3.3-1) 注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有

0(,0)(),

0,

i i i U u x x i m ϕ==≤≤ (3.3-2)

0(),

k k U t α=

(),

1.

k

m k U t k n β=≤≤ (3.3-3)

在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项

224(1)

24(,)(,),212ik

i ik ik k u

ah u

R

x t t x τηξ∂∂=-∂∂ (3.4)

并用k i u 代替k i U ，得到如下差分格式 2(,),k k t i x i i k D u a u f x t δ-= 11,0 1.i m k n ≤≤-≤≤- (3.5-1)

0(),

i i u x ϕ= 0,i m ≤≤ (3.5-2) 0(),

k

k u t α= 1.k n ≤≤ (3.5-3)

称(1)k R 为差分格式的局部截断误差。记

241240101001max{max ,max },

212x x t T t T

u a u c t x ≤≤≤≤≤≤≤≤∂∂=∂∂ (3.6-1)

则有

(1)21(),

ik R c h τ≤+ 11,0 1.i m k n ≤≤-≤≤- (3.6-2)