中山大学概论统计第2章习题解

习题二(解)

1. 下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？如果是,请写出它们的分布函数.

1) 2)

3)

解 1) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又0.50.30.21++=,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

[1,3)[3,5)[5,)()0.5()0.8()()F x I x I x I x +∞=++.

2) 因为0.70.10.10.91++=≠,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.

3) 因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又121k k +∞

-==∑,所以满足命题 2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

[,1)1()(12)()k k k k F x I x +∞

-+==-∑.

2. 设随机变量X 只取正整数值1,2,,且()P X n =与(1)n n +成反比,求X 的概率分布.

解 设()(1)

c

P X n n n ==

+,其中c 是待定常数.则根据命题2.1,

11

11111()lim lim 1(1)11l n n n l l c P X n c c c n n n n l ∞

∞

===→∞→∞⎛⎫⎛

⎫====-=--= ⎪ ⎪+++⎝⎭

⎝⎭∑∑∑. 因此1c =,

1

()(1)

P X n n n ==

+, 1,2,

n =.

3. 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p .设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.

解 在每次调整后前k 个产品都是及格品而第1k +个产品是废品的概率是

(1)k p p -, 1,2,

k =.

因而,设两次调整之间生产的合格品数为X ,则

()(1)k P X k p p ==-, 1,2,

k =.

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,

k =,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现

反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布

11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,

k =.

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算

3

1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k

k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑.

2) 用泊松近似律计算

331004

1000

04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665!

k

k k k

k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑

∑

.

7. 设X 服从泊松分布,且已知(1)(2)P X P X ===,求(2)P X =和(2)P X ≥. 解 设X 服从参数为λ泊松分布,则

2

(1)(2)2!

e

P X P X e λ

λλλ--=====

,

解得2λ=.因而

22

22(2)20.27072!

P X e e --====,

22(2)1(0)(1)120.5940P X P X P X e e --≥=-=-==--=.

8. 设X 服从泊松分布,分布律为

(),0,1,2,

!

k

P X k e k k λλ-==

=.

问当k 取何值时{}P X k =最大？ 解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,

k =,则

1/!/(1)!k k k e k a k

e k λλλλλ+--==-,

数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.

若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得

1) 若1λ<,则(0)P X =最大.

2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=⇔≥+≤⇔-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有

[]

{}1P X k k λλλλλ⎧=⇔=⎨-⎩不是整数最大或是整数

.

9. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形.

解 ()

(,0)[0,1)0

()()()0()

0x

x

x

F x p v dv I x dv I x dv vdv -∞-∞

-∞

-∞

==⋅+⋅+⎰

⎰⎰

⎰

()01

[1,2)1()0(2)x I x dv vdv x dv -∞

-∞

+⋅++-⎰⎰

⎰

()

12[2,)

1

2

()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞

+∞-∞

+⋅++-+⋅⎰

⎰⎰⎰

()()

1

1

2

[0,1)[1,2)[2,)0

1

1

()()

(2)()

(2)x x

I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++-++-⎰⎰

⎰⎰

⎰

22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.

10. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率(16/10)P X X +≤.

解 10

2

100

1()502

cx p x dx cxdx c +∞

-∞

===

=⎰

⎰

, 1/50c =.

2[0,10)[10,)[0,10)[10,)0

()()()()()()50100

x

x

v x F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞

==+=+⎰

⎰

. 2(16/10)(10160)(28)P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤

8

28

8

2

22

()3/550100x x p x dx dx ====⎰⎰.

11. 地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.

解 园盘中心离木条的最近的边的距离X 服从[0,15]上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是1015X ≤≤,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是