对数与对数运算第一课时优秀教案

课 题:2.2.1对数与对数运算 教案目标：

（一）知识目标 （1）理解对数的概念； （2）了解自然对数和常用对数； （3）掌握对数式与指数式的互化； （4）对数的基本性质. （二）能力目标

（1）能用对数解决生活中的实际问题； （2）培养学生应用数学的能力、归纳能力. （三）情感目标

（1）激发学生学习数学的热情； （2）认识事物的相互联系和相互转化．

教案重点：对数概念的理解，对数式与指数式的相互转化. 教案难点：对数概念的理解．

教案方法：讲解法，探究法，讨论法等． 教案准备(教具)：彩色粉笔. 课 型：新授课. 教案过程

（一）引入课题

在2.1.2节例8中我们得到一个关系式13 1.01x y =⨯，其中x 表示的是经过的年数，

y 表示的是那年的人口总数.我们可以看到利用这个关系式可以算出任意一个年头x 的人口总数，反之，如果问哪一年的人口总数能达到18亿、20亿、30亿呢？

上述问题实际上就是从18 1.0113x =，20 1.0113x =，30

1.0113x =，…中分别求出x ，（即

已知底数和幂的值，求指数） 那么x 的值会是多少呢？是否有那么一种运算用底数和幂值来表示指数呢? 为了回答这个问题我们今天一起来学习本节课的新内容——对数与对数运算. （二）讲授新课 1、对数定义

一般地，如果x a N = (01a a >≠且)，那么x 就叫做以a 为底N 的对数，记作

log a x N =，

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式.

从上述定义要知道对数的记法为：log a N ； 读作：以a 为底N 的对数.

例如：42log 16=，读作2是以4为底16的对数(或以4为底16的对数是2).

41log 22=，读作12是以4为底2的对数(或以4为底2的对数是12). 1.0118log 13x =，读作x 是以1.01为底1813的对数(或以1.01为底18

13

的对数是x ).

12

5log a =，读作5是以12为底a 的对数（或以1

2为底a 的对数是5）.

14log 81b

=，读作4是以b 为底181的对数（或以b 为底1

81

的对数是4）. 2、两种特殊的对数

常用对数：以10为底的对数叫作常用对数，并把10log N 记作lg N ． 自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数叫自然对数，并把log N e 记作ln N ．

3、对数与指数间的关系

从某种意义上来说，对数就是一种记号，用底和幂表示对应的指数的记号，也就是指数式x a N =的另一种等价表示形式.即当01a

a >≠且

log x a a N x N =⇔=

指数式 ⇔ 对数式

幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数

幂←N →真数

既然它们之间的关系是等价的，说明指数式里满足的条件，在对数式里同样成立. 比如： ○1底数的限制：01a a >≠且；

②真数的限制：0N >．

③注意对数的书写格式.

4、对数的基本性质

提问：是不是所有的实数都有对数呢？

我们借助指数函数来研究，x y a =中a ＞0且a ≠1，那么y 是恒大于零的，所以在对数中，真数也是大于零的，那么就得出性质：

①零和负数没有对数即：N >0.

根据指数函数图像，它是恒过一个定点（0，1）的，所以根据指数与对数的关系，得出相应的对数性质:（a 0=1 ，a 1=a 如何转化为对数式学生思考）

②a ＞0且a ≠1,01log 10a a =⇔=.（即1的对数是0）

还有一个特别的指数，根据指数与对数的关系，得： ③a ＞0且a ≠1,1log 1a a a a =⇔= .（即底数的对数是1） 根据对数的定义，log a N a =？

④对数恒等式：log N

a a N =；log n

a a n =

小结：在此我还要强调一下，x a N =和x =log a N 表示的是一种关系，只是它们是一种关系的不同表达式，x a N =是指数形式，x =log a N 是对数形式，本质上它们是一回事.

（三）例题讲解

相信大家对对数有了一定的了解，是否真正掌握了呢？下面就做一下练习测试一下.

例1 求下列各式中x 的取值范围

（1）2log (10)x - （2）(1)log (2)x x -+ （3）2(1)log (1)x x +- 解：（1）由题意得100,10x x ->∴>

（2）由题意得201011x x x 且+>⎧⎨->-≠⎩，即212x x x 且>-⎧⎨>-≠⎩，12x x 且∴>≠

（3）由题意得2(1)0

1011

x x x 且⎧->⎨+>+≠⎩，解得10,1x x x 且>-≠≠

小结 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.

例2（P 63例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）54=645 （2）61264-= （3）1

() 5.733

m =

（4）12

log 164=- （5）lg 0.012=- （6）ln10 2.303=

解：（略）

课题练习：教材64页练习1、2题. 例3 求下列各式中x 的值

（1）642

log 3x =- （2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -=

（5）23x =

分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x .

解：（1）因为642log 3

x =-，所以2223()323

331(64)(4)4416x --⋅--=====；