李廉锟《结构力学》(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(位移法)【圣才出品】

第8章 位移法

8.1 复习笔记

【知识框架】

位移法的定义 位移法的假设

位移法的基本概念 位移法与力法的异同点 相同点：都是两种基本方法 基本未知量不同

不同点 分析超静定结构步骤不同 位移法需要解决的问题 适用范围不同 由支座位移引起的杆端弯矩

由载荷及温度变化等外因引起的杆端弯矩 等截面直杆的转角位移方程 两端固定等截面梁的转角位移方程

一端铰支另一端固定的转角位移方程 等截面单跨超静定梁的固端弯矩和剪力 基本未知量分类：角位移和线位移

基本未知量数目：角位移数目和线位移数目 位移法的基本未知量和基本结构 位移法基本结构

位移法基本体系

特殊结构的未知量数目

无侧移结构位移法计算

有侧移结构位移法计算 位移法的典型方程及计算步骤 n 个独立结点位移结构的位移法典型方程 加入附加联系得基本结构 建立位移法典型方程 位移法的计算步骤 求出各项系数及自由项 求出基本未知量（位移） 直接法建立平衡方程 叠加法绘制最后弯矩图 对称性的利用 对称结构简化原则

利用对称性解题技巧

有侧移的斜柱刚架的定义

有侧移的斜柱刚架 位移法求解该结构的难点

作结点位移线图 典型方程中的自由项需考虑温度的影响

温度变化时的计算难点 温度变化时不能忽略杆的轴向变形 温度变化时的计算 温度变化时位移法的解题步骤 位移法

【重点难点归纳】

一、位移法基本概念

1．位移法的定义

确定原结构基本未知量，加入附加联系而得基本结构，令各附加联系发生与结构相同的结点位移，根据在载荷等外因和个结点位移共同作用下，各附加联系上的反力偶或反力均等于零的条件，建立方程，首先求出未知位移，然后再求出结构反力和内力的方法，称为位移法。

2．位移法假设

忽略受弯杆件的轴向变形，并设弯曲变形也是微小的，于是可以认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变。

3．位移法与力法异同点

（1）相同点

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。

（2）不同点

①基本未知量不同

a．位移法是以某些结点位移作为基本未知量；

b．力法是以多余未知力作为基本未知量。

②分析超静定结构的步骤不同

a．位移法是先确定某些位移，再据此推求内力；

b．力法是先设法求出内力，再计算相应的位移。

③适用范围不同

a．位移法一般适用于高次超静定刚架；

b．力法一般适用于低次超静定刚架。

4．位移法需解决的问题

（1）用力法算出单跨超静定梁在杆端发生各种位移时以及荷载等因素作用下的内力；

（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量；

（3）如何求出这些位移。

二、等截面直杆的转角位移方程

1．由支座位移引起的杆端弯矩

图8-1-1（a）所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。AB杆沿杆轴方向的线位移以及在垂直杆轴方向的平移均不引起弯矩。

图8-1-1

（1）由力法可以求得，杆端弯矩为

式中，，为称为杆件的线刚度；φA和φB为A端和B端转角ΔAB为AB两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移。

（2）位移法中正负号的规定

①杆端弯矩是以对杆端顺时针方向为正；

②角位移φA、φB均以顺时针方向为正；

③线位移ΔAB以使整个杆件顺时针方向转动为正。

2．由载荷及温度变化等外因引起的杆端弯矩

（1）固端弯矩

固端弯矩是指梁在荷载及温度变化等外因作用下的杆端弯矩。用表示。

（2）固端弯矩求法

①用力法可以解得；

②查相应的表。

3．两端固定等截面梁的转角位移方程

将支座位移和载荷及其他外因引起的杆端弯矩进行叠加，可得转角位移方程为

4．一端铰支另一端固定的转角位移方程

式中，为一端固定一端铰支梁的固端弯矩。5．等截面单跨超静定梁的固端弯矩和剪力

等截面单跨超静定梁在各种不同情况下的杆端弯矩和剪力列于表8-1-1中。

表8-1-1 等截面直杆的杆端弯矩和剪力

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续表